複素解析の初歩3：複素路・サイクルと複素線積分
3. $\mathbb{C}$ 内の（閉）路、サイクル、複素線積分の定義
$\mathbb{C}$ 内の曲線とは、ある有界閉区間 $I$ 上で定義された $\mathbb{C}$ 値連続関数 $c\colon I\rightarrow \mathbb{C}$ であって、$I$ を含む開区間上で定義された $C^1$ 級関数に拡張できるもののことを言う。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなしたとき$\mathbb{C}$ 内の曲線は、
定義4
における $\mathbb{R}^2$ 内の曲線（ $1$ 次の曲方体）である。$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c(a)$ を $c$ の始点、$c(b)$ を $c$ の終点と言う。
$\mathbb{C}$ 内の曲線の形式的な和 $c=c_1+\ldots+c_n$ が $\mathbb{C}$ 内の路であるとは、各 $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ に対し $c_k$ の終点と $c_{k+1}$ の始点が一致する場合を言う。そしてさらに $c_n$ の終点と $c_1$ の始点が一致するならば $c$ を $\mathbb{C}$ 内の閉路と言う。
$\mathbb{C}$ 内の閉路の和のことをサイクルと言う。
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c:I\rightarrow \mathbb{C}$ に対し $c^*=c(I)$ を $c$ の跡と言う。$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し、
$$
c^*=c_1^*\cup\ldots\cup c_n^*
$$
を$c$の跡と言う。$\mathbb{C}$ の部分集合 $\Omega$ に対し $c^*\subset \Omega$ であるとき $c$ は $\Omega$ に含まれると言う。
曲線 $c$ と逆の曲線（
定義6
）を $-c$ と表すことがある。
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$と、その跡 $c^*$ 上で定義された連続関数 $f:c^*\rightarrow\mathbb{C}$ を考える。$f_1,f_2\colon c^*\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とし、$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標とする。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなし、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上で定義された $\mathbb{R}^2$ の $1$ 階連続微分形式
$$
f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2
$$
の $c$ 上での積分（
定義5
、
定義7
を参照）
$$
\begin{aligned}
&\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}(f_1dx_1-f_2dx_2),\\
&\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f_2dx_1+f_1dx_2)
\end{aligned}
$$
を考え、$f$ の $c$ 上での複素線積分を、
$$
\int_{c}f(z)dz\colon=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)
$$
と定義する。
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz
$$
である。
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ と連続関数 $f\colon c^*\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\int_{c}f(z)dz=\int_{I}f(c(t))c'(t)dt
$$
である。実際、$c^*\subset \mathbb{R}^2$ 上の $1$ 階微分形式 $f_1dx_1-f_2dx_2$ と $f_1dx_2+f_2dx_1$ の $c$ による引き戻し（
定義6
、
定義5
を参照）は、
$$
\begin{aligned}
&(c^*(f_1dx_1-f_2dx_2))_t=f_1(c(t))c_1'(t)dt-f_2(c(t))c_2'(t)dt={\rm Re}(f(t)c'(t))dt,\\
&(c^*(f_1dx_2+f_2dx_1))_t=f_1(c(t))c_2'(t)dt+f_2(c(t))c_1'(t)dt={\rm Im}(f(t)c'(t))dt
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c}f(z)dz&=\int_{c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{c}(f_2dx_1+f_1dx_2)\\
&=\int_{I}{\rm Re}(f(t)c'(t))dt+i\int_{I}{\rm Im}(f(t)c'(t))dt\\
&=\int_{I}f(t)c'(t)dt
\end{aligned}
$$
である。
$\mathbb{C}$ 内の曲線 $c\colon I\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\int_{I}\lvert c'(t)\rvert dt
$$
と定義する。また $\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c=c_1+\ldots+c_n$ に対し $c$ の長さを、
$$
\ell(c)\colon=\ell(c_1)+\ldots+\ell(c_n)
$$
と定義する。
$\mathbb{C}$ 内の曲線の和 $c$ に対し、
$$
C(c^*)\ni f\mapsto \int_{c}f(z)dz\in \mathbb{C}
$$
（ただし $C(c^*)$ はコンパクト空間 $c^*$ 上の複素数値連続関数全体に各点ごとの演算と $\sup$ ノルムを入れたBanach空間である。）は有界線形汎関数であり、そのノルムは $c$ の長さ $\ell(c)$ 以下である。
曲線 $c_k:I_k\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,\ldots,n)$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とすると
注意
より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt
$$
である。よって、
$$
\begin{aligned}
\left\lvert\int_{c}f(z)dz\right\rvert&\leq \sum_{k=1}^{n}\left\lvert\int_{I_k}f(c_k(t))c_k'(t)dt\right\rvert
\leq \sum_{k=1}^{n}\| f\|\int_{I_k}\lvert c_k'(t)\rvert dt=\| f\|\ell(c)
\end{aligned}
$$
である。これより $(*)$ は有界線形汎関数でノルムは $\ell(c)$ 以下である。
サイクルは閉路の和であるから、$c$ は閉路であるとして示せば十分である。曲線 $c_k\colon[a_k,b_k]\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $c=c_1+\ldots+c_n$ とし、
$$
c_k(b_k)=c_{k+1}(a_{k+1})\quad(k=1,\ldots,n-1),\quad c_n(b_n)=c_1(a_1)
$$
とする。$(x_1,x_2)$ を $\mathbb{R}^2$ の標準座標、$f_1,f_2\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ を $f$ の実部と虚部とする。Cauchy-Riemannの関係式（
定理3
）より、
$$
\begin{aligned}
&(f')_1dx_1-(f')_2dx_2=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}dx_2=df_1,\\
&(f')_2dx_1+(f')_1dx_2=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2}dx_2=df_2
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
\int_{c_k}f'(z)dz&=\int_{c_k}((f')_1dx_1-(f')_2dx_2)+i\int_{c_k}((f')_2dx_1+(f')_1dx_2)\\
&=\int_{c_k}df_1+i\int_{c_k}df_2\\
&=f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k))\quad(k=1,\ldots,n)
\end{aligned}
$$
である。（注：$c_k^*df_j=d(f_j\circ c_k)=\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}dt$であるから、
ベクトル解析6：Stokesの定理の定義5
より、$\int_{c_k}df_j=\int_{a_k}^{b_k}\frac{d(f_j\circ c_k)}{dt}(t)dt=f_j(c_k(b_k) )-f_j(c_k(a_k) )$ である。）よって $(*)$ より、
$$
\int_{c}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{c_k}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}(f(c_k(b_k))-f(c_k(a_k)))
=0
$$
である。
