複素解析の初歩7：Cauchyの積分公式と積分定理

$K\times c^*$ はコンパクトであるから $f\colon K\times c^*\rightarrow\mathbb{C}$ は一様連続（ 距離空間の位相の基本的性質の定理7.3 ）である。また 命題1 より任意の $z_1,z_2\in K$ に対し、
$$ \left\lvert \int_{c}f(z_1,w)dw-\int_{c}f(z_2,w)dw\right\rvert =\left\lvert\int_{c}(f(z_1,w)-f(z_2,w))dw\right\rvert \leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(z_1,w)-f(z_2,w)\rvert $$
である。よって $(*)$ は連続である。

$(*), (**)$ が連続関数であることは 補題1 による。今、任意の連続関数 $\varphi_k\colon c_k^*\rightarrow\mathbb{C}$ $(k=1,2)$ に対し、
$$ \varphi_1\otimes\varphi_2\colon c_1^*\times c_2^*\ni (z,w)\mapsto \varphi_1(z)\varphi_2(w)\in\mathbb{C} $$
なる連続関数を定義し、このような連続関数の線形結合全体
$$ \text{span}\{\varphi_1\otimes\varphi_2\colon \varphi_k:c_k^*\rightarrow\mathbb{C}\text{ } (k=1,2)\text{ は連続関数 }\}\subset C(c_1^*\times c_2^*)\quad\quad(****) $$
を考える。$(***)$ は $(****)$ の元に対しては明らかに成り立つ。そしてUrysohnの補題（ 定理3 ）とStone-Weierstrassの定理（ 定理17 ）より $(****)$ は $C(c_1^*\times c_2^*)$ において稠密である。よって 命題1 より $(***)$ は任意の $f\in C(c_1^*\times c_2^*)$ に対して成り立つ。

$z\neq w$ なる任意の $(z,w)\in \Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることは明らかである。そこで任意の $z_0\in\Omega$ を取り $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$ において $g$ が連続であることを示す。$f$ は正則なので $f$ の複素導関数 $f'\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は連続である。よって任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $z_0$ を中心とする $\mathbb{C}$ の開球
$$ B(z_0,\delta)\colon=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-z_0\rvert<\delta\}\subset \Omega $$
が存在し、
$$ \lvert f'(z)-f'(z_0)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall z\in B(z_0,\delta))\quad\quad(*) $$
が成り立つ。任意の $z,w\in B(z_0,\delta)$ に対し微積分学の基本定理より、
$$ g(z,w)=\int_{0}^{1}f'(w+t(z-w))dt $$
であるから、
$$ g(z,w)-g(z_0,z_0)=\int_{0}^{1}\left(f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\right)dt $$
である。そして $B(z_0,\delta)$ は凸集合なので $w+t(z-w)\in B(z_0,\delta)$ $(\forall t\in [0,1])$ であるから $(*)$ より、
$$ \lvert g(z,w)-g(z_0,z_0)\rvert\leq \int_{0}^{1}\lvert f'(w+t(z-w))-f'(z_0)\rvert dt\leq\epsilon $$
である。よって $g$ は $(z_0,z_0)\in\Omega\times \Omega$に おいて連続である。

$g\colon\Omega\times \Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$ g(z,w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(z\neq w)\\f'(z)&(z=w)\end{array}\right. $$
と定義すると、 補題3 より $g$は連続関数である。よって $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$ h(z):=\int_{c}g(z,w)dw\quad(\forall z\in \Omega) $$
と定義すると、 補題1 より $h$ は連続関数である。
$$ h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)\quad(\forall z\in \Omega\backslash c^*) $$
であるから、$(**)$ を示すには $h(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であることを示せばよい。まず $h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ が正則関数であることを示す。 そのためにはMoreraの定理（ 系 ）より $\Omega$ に含まれる任意の凸開集合 $U$ と任意の $\alpha,\beta,\gamma\in U$ を取り、
$$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=0\quad\quad(***) $$
が成り立つことを示せばよい。 補題2 より、
$$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}h(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}\left(\int_{c}g(z,w)dw\right)dz =\int_{c}\left(\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz\right)dw\quad\quad(****) $$
である。そして任意の $w\in c^*$ に対し連続関数 $U\ni z\mapsto g(z,w)\in \mathbb{C}$ は $U\backslash \{w\}$ において正則関数であるから、 定理2 より、
$$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}g(z,w)dz=0\quad(\forall w\in c^*) $$
である。よって $(****)$ より $(***)$ は成り立つので、$h\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ は正則関数である。今、
$$ \Omega_1\colon=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*: {\rm Ind}_c(z)=0\} $$
とおき、
$$ h_1\colon\Omega_1\ni z\mapsto \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw\in \mathbb{C} $$
とおく。 命題2 の $(2)$ より $\Omega_1$ は開集合であり、 命題1 より $h_1$ は正則関数である。そして $(*)$ より $\mathbb{C}=\Omega\cup\Omega_1$ であり、任意の $z\in \Omega\cap \Omega_1$ に対し、
$$ h(z)=\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw=\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-2\pi if(z){\rm Ind}_c(z)=h_1(z) $$
であるから、
$$ \widetilde{h}(z)\colon=\left\{\begin{array}{cl}h(z)&(z\in \Omega)\\h_1(z)&(z\in \Omega_1)\end{array}\right. $$
として整関数 $\widetilde{h}\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。 命題2 の $(4)$ より十分大きい $R\in (0,\infty)$ を取れば $\lvert z\rvert>R$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し $z\in \Omega_1$ であり、 命題1 より、
$$ \lvert \widetilde{h}(z)\rvert=\lvert h_1(z)\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\left\lvert \frac{f(w)}{w-z}\right\rvert\leq \ell(c)\underset{w\in c^*}{\rm max}\lvert f(w)\rvert\frac{1}{\lvert z\rvert-R} $$
である。よって $\lim_{\lvert z\rvert\rightarrow\infty}\lvert \widetilde{h}(z)\rvert=0$ であるからLiouvilleの定理（ 定理2 ）より $\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \mathbb{C})$ が成り立つ。ゆえに $h(z)=\widetilde{h}(z)=0$ $(\forall z\in \Omega)$ であるから $(**)$ が成り立つ。

任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ を取り固定する。$F\colon\Omega\ni w\mapsto f(w)(w-z)\in \mathbb{C}$ は正則関数であるからCauchyの積分公式より、
$$ \frac{1}{2\pi i}\int_{c}f(w)dw=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{F(w)}{w-z}dw={\rm Ind}_c(z)F(z)=0 $$
である。よって $(*)$ が成り立つ。