複素解析の初歩5：サイクルの回転数

定理4 より冪級数関数は何回でも複素微分可能であるので $(**)$ を満たす任意の $a\in \mathbb{C}\backslash c^*$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $(***)$ が成り立つことを示せば十分である。任意の $z\in B(a,r)$ を取り固定する。任意の $w\in c^*$ に対し $\lvert w-a\rvert\geq r$ であるから、
$$ \frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}<1\quad(\forall w\in c^*) $$
である。よって任意の $w\in c^*$ に対し $\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}$ は絶対収束し、
$$ \frac{1}{w-z}=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}\quad(\forall w\in c^*)\quad\quad(****) $$
である。$c^*$ はコンパクトであるから $\underset{w\in c^*}{\rm max}\frac{\lvert z-a\rvert}{\lvert w-a\rvert}$ が存在するので、$(****)$ の右辺は $c^*$ 上一様収束する（（ 距離空間の位相の基本的性質 )の 命題8.5 ）。よって 命題1 より、
$$ \int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw=\int_{c}f(w)\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\frac{(z-a)^n}{(w-a)^{n+1}}dw =\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\left(\int_{c}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}dw\right)(z-a)^n $$
であるから $(***)$ が成り立つ。

• $(1)$　サイクルは閉路の和である（ 定義1 ）から $c$ は閉路であるとして示せば十分である。そして適当にパラメータ変換することにより　$c$　はある有界閉区間　$[a,b]$　上で定義された区分的に　$C^1$　級の連続関数（注：$[a,b]$ を有限個の閉区間に分割すると各閉区間上で $C^1$ 級であるような連続関数。）で $c(a)=c(b)$ なるものであるとしてよい。任意の $z\in \mathbb{C}\backslash c^*$ を取り固定する。ある $a=t_0< t_1<\ldots< t_n=b$ に対し $c$ は 各 $[t_{k-1},t_k]$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で $C^1$ 級であり、
  $$ \int_{c}\frac{dw}{w-z}=\sum_{k=1}^{n}\int_{t_{k-1}}^{t_k}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt =\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt $$
  である。（注：$\int_{a}^{b}\frac{c'(t)}{c(t)-z}dt$ の被積分関数における $c'(t)$ の $t=t_1,\ldots,t_n$ における値は積分に関係しないので、適当に定める）。そこで、
  $$ f(t)\colon=\int_{a}^{t}\frac{c'(s)}{c(s)-z}ds\quad(\forall t\in [a,b]) $$
  とおく。このとき $f\colon[a,b]\ni t\mapsto f(t)\in \mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
  $$ f'(t)=\frac{c'(t)}{c(t)-z}\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n) $$
  である。よって、
  $$ g(t)\colon=\frac{\exp(f(t))}{c(t)-z}\quad(\forall t\in [a,b]) $$
  とおくと、$g\colon[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ は連続関数であり、各 $(t_{k-1},t_k)$ $(k=1,\ldots,n)$ 上で微分可能で、
  $$ g'(t)=\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))-\frac{c'(t)}{(c(t)-z)^2}\exp(f(t))=0\quad(\forall t\in (t_{k-1},t_k),\text{ }k=1,\ldots,n) $$
  である。よって平均値の定理より、
  $$ g(b)=g(t_n)=g(t_{n-1})=\ldots=g(t_0)=g(a) $$
  であり、$c(a)=c(b)$ であることと合わせると $\exp(f(a))=\exp(f(b))$ を得る。 よって
  $$ \exp\left(\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right)=\exp(f(b))=\exp(f(a))=\exp(0)=1 $$
  であるから、
  $$ {\rm Ind}_c(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{Z} $$
  が成り立つ。
  $(2)$　 命題1 より、
  $$ {\rm Ind}_c\colon\mathbb{C}\backslash c^*\ni z\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\in \mathbb{C}\quad\quad(*) $$
  は連続関数であり、$(1)$ より任意の $n\in\mathbb{Z}$ に対し、
  $$ \{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}=\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:n-1<{\rm Ind}_c(z)< n+1\} $$
  である。よって $\{z\in \mathbb{C}\backslash c^*:{\rm Ind}_c(z)=n\}$ は $\mathbb{C}\backslash c^*$ の開かつ閉の集合である。
• $(3)$　$(*)$ は連続関数であるから連結集合 $C\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ に対し ${\rm Ind}_c(C)$ は連結である。よって $(1)$ より ${\rm Ind}_c(C)$ は一点集合である。
• $(4)$　$c$ の跡 $c^*$ はコンパクトであるから十分大きい $R_0\in (0,\infty)$ を取れば、
  $$ z\in c^*\quad\Rightarrow\quad \lvert z\rvert\leq R_0 $$
  となる。$\lvert z\rvert>R_0$ を満たす任意の $z\in \mathbb{C}$ と任意の $w\in c^*$ に対し、
  $$ \lvert w-z\rvert\geq \lvert z\rvert-\lvert w\rvert\geq \lvert z\rvert-R_0 $$
  であるから、
  $$ \frac{1}{\lvert z-w\rvert}\leq\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0} $$
  である。よって 命題1 より、
  $$ z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R_0\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert =\left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{dw}{w-z}\right\rvert \leq\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{\lvert z\rvert-R_0} $$
  である。これより十分大きい $R\in (R_0,\infty)$ を取れば、
  $$ z\in \mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert<\frac{\ell(c)}{2\pi}\frac{1}{R-R_0}<1 $$
  となる。$(1)$ よりこれは、
  $$ z\in\mathbb{C},\quad \lvert z\rvert>R\quad\Rightarrow\quad \lvert {\rm Ind}_c(z)\rvert=0 $$
  を意味する。

$B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert< r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は連結であるから 命題2 の $(3)$ より任意の $z\in B(\alpha,r)$ に対し、
$$ {\rm Ind}_c(z)={\rm Ind}_c(\alpha)=\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{c'(\theta)}{c(\theta)-\alpha}d\theta =\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}d\theta=1 $$
である。また $\{z\in \mathbb{C}:\lvert z-\alpha\rvert>r\}\subset \mathbb{C}\backslash c^*$ は非有界な連結集合であるから 命題2 の $(3),(4)$ より $\lvert z-a\rvert>r$ なる任意の $z\in \mathbb{C}$ に対し ${\rm Ind}_c(z)=0$ である。

任意の $z\in \Omega\backslash c^*$ に対し $g\colon\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$ g(w)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}&(w\neq z)\\ f'(w)&(w=z)\end{array}\right. $$
と定義すると $g$ は連続関数であり $\Omega\backslash \{z\}$ 上で正則関数である。よって 定理2 より、
$$ \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)}{w-z}dw-f(z){\rm Ind}_c(z)= \frac{1}{2\pi i}\int_{c}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}dw= \int_{c}g(w)dw=0 $$
である。