複素解析の初歩4：凸開集合におけるCauchyの積分定理

$(1)\Rightarrow(2)$ は 命題2 による。$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。$(3)$ が成り立つとする。
任意の $\alpha\in \Omega$ を取り固定し、
$$ F(z):=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw\quad(\forall z\in \Omega) $$
として $F:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。$(*)$ より、
$$ \begin{aligned} F(z)-F(z_0)&=\int_{[\alpha,z]}f(w)dw-\int_{[\alpha,z_0]}f(w)dw=\int_{[z_0,z]}f(w)dw\quad(\forall z_0,z\in \Omega) \end{aligned} $$
であるから、任意の $z_0,z\in\Omega$ に対し 命題1 より、
$$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}-f(z_0)\right\rvert =\frac{1}{\lvert z-z_0\rvert}\left\lvert\int_{[z_0,z]}f(w)-f(z_0)dw\right\rvert \leq \underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert \end{aligned} $$
である。ここで $f$ は $z_0$ において連続であるから、
$$ \lim_{z\rightarrow z_0}\underset{w\in[z_0,z]^*}{\rm max}\lvert f(w)-f(z_0)\rvert=0 $$
である。よって $F'(z_0)=f(z_0)$ であるから $F$ は $f$ の原始関数である。

命題1 より、任意の $\alpha,\beta,\gamma\in\Omega$ に対し、
$$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=0\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。$\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが等しい場合、もしくは $\alpha,\beta,\gamma$ のうちのいずれかが他の $2$ 点を端点とする線分上に乗っている場合、$(*)$ は明らかに成り立つので、それ以外の場合を考える。$\alpha,\beta,\gamma$ を頂点とする三角形を、
$$ K\colon=\{t_1\alpha+t_2\beta+t_3\gamma:t_1,t_2,t_3\geq0, t_1+t_2+t_3=1\}\subset \Omega $$
とおく（注：$K$ はコンパクト集合 $\{(t_1,t_2,t_3)\in [0,1]^3:t_1+t_2+t_3=1\}$ の連続写像による像であるからコンパクトである。）。

• $(1)$　$p\in \Omega\backslash K$ の場合を示す。$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ 内の $2$ 次の $C^\infty$ 級曲方体（ 定義4 ）
  $$ c\colon[0,1]\times [0,1]\ni (s,t)\mapsto (1-t)((1-s)\alpha+s\beta)+t\gamma\in \mathbb{C} $$
  を定義する。$c$ の跡は、
  $$ c^*=c([0,1]\times [0,1])=K\subset \Omega\backslash \{p\} $$
  である。$c$ の境界（ 定義8 ）$\partial c$ は、
  $$ \partial c=[\alpha,\beta]+[\beta,\gamma]-[\alpha,\gamma]-[\gamma,\gamma] $$
  であるので、
  $$ \int_{\partial c}f(z)dz=\int_{[\alpha,\beta]}f(z)dz+\int_{[\beta,\gamma]}f(z)dz+\int_{[\gamma,\alpha]}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz $$
  である。$c^*=K$ を含む開集合 $\Omega\backslash \{p\}$ 上で定義された $\mathbb{R}^2$ の $1$ 階微分形式
  $$ f_1dx_1-f_2dx_2,\quad f_2dx_1+f_1dx_2 $$
  は $C^1$ 級であり、外微分の定義（ 定義4 ）とCauchy-Riemannの関係式（ 定理3 ）より、
  $$ d(f_1dx_1-f_2dx_2)=-\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)dx_1\wedge dx_2=0, $$
  $$ d(f_2dx_1+f_1dx_2)=\left(-\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\right)dx_1\wedge dx_2=0 $$
  であるから、Stokesの定理（ 定理7 ）より、
  $$ \int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)=\int_{c}d(f_1dx_1-f_2dx_2)=0, $$
  $$ \int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=\int_{c}d(f_2dx_1+f_1dx_2)=0 $$
  である。ゆえに、
  $$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial c}f(z)dz= \int_{\partial c}(f_1dx_1-f_2dx_2)+i\int_{\partial c}(f_2dx_1+f_1dx_2)=0 $$
  であるから $(*)$ が成り立つ。
• $(2)$　$p$ が三角形 $K$ の頂点にある場合を示す。$p=\alpha$ であるとして示せば十分である。任意の $\epsilon\in (0,1)$ を取り、
  $$ \beta'\colon=\alpha+\epsilon(\beta-\alpha),\quad \gamma'\colon=\alpha+\epsilon(\gamma-\alpha) $$
  を定義する。このとき、
  $$ \partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')+\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma')+\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma') $$
  であるから、
  $$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz= \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta',\beta,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta,\gamma,\gamma')}f(z)dz $$
  である。$(1)$ より右辺の第二項と第三項は $0$ なので、
  $$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz $$
  である。よって 命題1 より、
  $$ \begin{aligned} \left\lvert\int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz\right\rvert &=\left\lvert \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma')}f(z)dz\right\rvert \leq \underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\ell(\partial\Delta(\alpha,\beta',\gamma'))\\ &=\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta'\rvert+\lvert\beta'-\gamma'\rvert+\lvert \alpha-\gamma'\rvert\right)\\ &=\epsilon\text{ }\underset{z\in K}{\rm max}\lvert f(z)\rvert\left(\lvert\alpha-\beta\rvert+\lvert\beta-\gamma\rvert+\lvert \alpha-\gamma\rvert\right) \end{aligned} $$
  である。ここで $\epsilon\in(0,\infty)$ は任意であるので $(*)$ が成り立つ。
• $(3)$　$p$ が三角形 $K$ の辺上にある場合を示す。$p\in [\alpha,\beta]^*$ の場合を示せば十分である。このとき、
  $$ \partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)=\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)+\partial\Delta(p,\beta,\gamma) $$
  であるから、
  $$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz=\int_{\partial\Delta(\alpha,p,\gamma)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(p,\beta,\gamma)}f(z)dz $$
  であり、$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ である。よって $(*)$ が成り立つ。
• $(4)$　$p$ が三角形 $K$ の内部にある場合を示す。このとき、
  $$ \partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)= \partial\Delta(\alpha,\beta,p)+\partial\Delta(\beta,\gamma,p)+\partial(\gamma,\alpha,p) $$
  であるから、
  $$ \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,\gamma)}f(z)dz= \int_{\partial\Delta(\alpha,\beta,p)}f(z)dz+\int_{\partial\Delta(\beta,\gamma,p)}f(z)dz+\int_{\partial(\gamma,\alpha,p)}f(z)dz $$
  である。$(2)$ より右辺の項はいずれも $0$ であるから $(*)$ が成り立つ。