Hilbert空間上の作用素論10：掛け算作用素
10. 掛け算作用素
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とし、任意の $B\in \mathfrak{M}$ に対しHilbert空間 $L^2(X,{\frak M},\mu)$ 上の射影作用素
$$
E^{\mu}(B)\colon L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto [\chi_Bf]\in L^2(X,{\frak M},\mu)
$$
を考える。このとき、
$$
E^{\mu}:{\frak M}\ni B\mapsto E^{\mu}(B)\in \mathbb{P}(L^2(X,{\frak M},\mu))
$$
は射影値測度（
定義2
）である。そして任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、$f$ の $E_{\mu}$ による積分（
定義4
）の定義域は、
$$
D_{E^{\mu}}(f)=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
$$
であり、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in D_{E_{\mu}}(f))\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
任意の $[f],[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $[\overline{f}g]\in L^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
\mathfrak{M}\ni B\mapsto E^{\mu}_{[f],[g]}(B)=([f]\mid E^{\mu}(B)[g])=\int_{B}\overline{f(x)}g(x)d\mu(x)\in\mathbb{C}
$$
は複素数値測度である。よって $E^{\mu}$ は射影値測度である。任意の可測単関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し明らかに、
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]=[fg]\quad(\forall [g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**)
$$
が成り立つ。有界可測関数は可測単関数列によって一様近似できる（
命題6
）ので、$(**)$ は $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$が 有界可測関数の場合も成り立つ。今、任意の可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を取り、有界可測関数の列 $f_n=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ を定義すると、任意の $[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、単調収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\|\int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right\|_2^2\\
&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}\lvert f_n(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)=\int_{X}\lvert f(x)g(x)\rvert^2d\mu(x)
\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{aligned}
D_E(f)&=\left\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):\int_{X}\lvert f(x)\rvert^2dE^{\mu}_{[g],[g]}(x)<\infty\right\}\\
&=\{[g]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu):[fg]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)\}
\end{aligned}
$$
であり、任意の $[g]\in D_{E^{\mu}}(f)$ と任意の $[h]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し、Lebesgue優収束定理より、
$$
\begin{aligned}
\left([h]\mid \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left([h]\mid \int_{X}f_n(x)dE^{\mu}(x)[g]\right)
=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\overline{h(x)}f_n(x)g(x)d\mu(x)\\
&=\int_{X}\overline{h(x)}f(x)g(x)d\mu(x)
=([h]\mid [fg])
\end{aligned}
$$
である。よって $(*)$ が成り立つ。
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を測度空間とする。可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
命題1
における
$$
\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\colon D_{E^{\mu}}([f])\ni [g]\mapsto [fg]\in L^2(X,\mathfrak{M,\mu})
$$
を $f$ による $L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上の掛け算作用素と言う。混乱の恐れがない場合は、$\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)$ はそのまま $f$ と表す。また、射影値測度 $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度と呼ぶこととする。
$(X,\mathfrak{M},\mu)$ を $\sigma$-有限測度空間とし、$E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{P}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき、
$$
L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\ni [f]\mapsto \int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\in \mathbb{B}(L^2(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(*)
$$
は等長 $*$-環準同型写像である。
$(*)$ が $*$-環準同型写像であることは明らかである。$L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ は $C^*$-環であるから、
Banach環とC*-環のスペクトル理論の定理10.2
より、 $(*)$ が単射であることを示せば等長性も示せたことになる。そこで $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)=0$ であるとして、$[f]=0$ が成り立つことを示す。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の単調増加列 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_n,\quad \mu(X_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
なるものが取れる。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し、$[\chi_{X_n}]\in L^2(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
$$
0=\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)[\chi_{X_n}]=[\chi_{X_n}f]\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall B\in\mathfrak{M})
$$
である。よって単調収束定理より、
$$
\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X_n}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=0
$$
であるので、$[f]=0$ である。
$X$ を位相空間、$\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow [0,\infty]$ を $\sigma$-有限なBorel測度とし、任意の空でない開集合 $U\subset X$ に対し $\mu(U)>0$ が成り立つとする。そして $E^{\mu}\colon\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{P}(L^2(X,\mathcal{B}_X,\mu))$ を掛け算作用素を表す射影値測度とする。このとき任意の連続関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$
\sigma\left(\int_{X}f(x)dE^{\mu}(x)\right)=\overline{f(X)}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
