Hilbert空間上の作用素論16：トレースクラスとHilbert–Schmidtクラス

• $(1)$　$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。また任意の $j,j'\in J$ に対し、
  $$ \alpha_{j,j'}\colon=(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})=(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\geq0 $$
  とおく。すると、
  $$ \begin{aligned} \sum_{j\in J}(e_j\mid T^*Te_j)&=\sum_{j\in J}(Te_j\mid Te_j) =\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid Te_j)(Te_j\mid e_{j'})\\ &=\sum_{j\in J}\sum_{j'\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}\alpha_{j,j'}=\sum_{j'\in J}\sum_{j\in J}(T^*e_{j'}\mid e_j)(e_j\mid T^*e_{j'})\\ &=\sum_{j'\in J}(T^*e_{j'}\mid T^*e_{j'})=\sum_{j'\in J}(e_{j'}\mid TT^*e_{j'}) \end{aligned} $$
  （非負数の総和については 定義2 を参照）となる。
• $(2)$　 定理7 より全単射 $\gamma\colon J\rightarrow I$ が取れ、 定理5 より $\mathcal{H}$ 上のユニタリ作用素 $U$ で、
  $$ Ue_j=f_{\gamma(j)}\quad(\forall j\in J) $$
  を満たすものが取れる。任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ に対し、
  $$ \sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(f_{\gamma(j)}\mid Tf_{\gamma(j)}) =\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j) $$
  であり、$U^*TU=(\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)$ であることと $(1)$ より、
  $$ \sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)^*(\sqrt{T}U)e_j\right) =\sum_{j\in J}\left(e_j\mid (\sqrt{T}U)(\sqrt{T}U)^*e_j\right) =\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) $$
  であるから、
  $$ \sum_{i\in I}(f_i\mid Tf_i)=\sum_{j\in J}(e_j\mid U^*TUe_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) $$
  である。

$(1),(2),(3)$ は自明である。$(4)$ を示す。$\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ に対し 命題1 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} {\rm Tr}(V^*TV)&={\rm Tr}\left(\left(\sqrt{T}V\right)\left(\sqrt{T}V\right)^*\right) ={\rm Tr}\left(\sqrt{T}VV^*\sqrt{T}\right)=\sum_{j\in J}\left(e_j\mid \sqrt{T}VV^*\sqrt{T}e_j\right)\\ &=\sum_{j\in J}\| V^*\sqrt{T}e_j\|^2 \leq\| V\|^2\sum_{j\in J}\| \sqrt{T}e_j\|^2=\| V\|^2\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j) =\| V\|^2{\rm Tr}(T) \end{aligned} $$
である。$(5)$ を示す。
$$ \| T\|^2=\| T^*T\|=\| \lvert T\rvert^2\|=\| \lvert T\rvert\|^2 $$
より、
$$ \| T\|=\| \lvert T\rvert\|=\| \sqrt{\lvert T\rvert}^2\|=\| \sqrt{\lvert T\rvert}\|^2 $$
である。そして、
$$ \| \sqrt{\lvert T\rvert}\|^2=\sup\{\| \sqrt{T}e\|^2:e\in \mathcal{H},\| e\|=1\} =\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\| e\|=1\} $$
であるから、
$$ \| T\|=\| \sqrt{\lvert T\rvert}\|^2=\sup\{(e\mid \lvert T\rvert e):e\in \mathcal{H},\| e\|=1\}\quad\quad(*) $$
が成り立つ。任意の単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ に対し 命題6 より $e$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが存在するので、
$$ (e\mid \lvert T\rvert e)\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert) $$
が成り立つ。よって $(*)$ より $\| T\|\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。

$$ \mathcal{T}\colon={\rm span}(\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+)={\rm span}\{T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+: {\rm Tr}(T)<\infty\} $$
とおく。まず $\mathcal{T}$ が $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルであることを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$、任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（ 定義4 ）と 命題2 の $(4)$ より、
$$ \begin{aligned} ST&=(\sqrt{T}S^*)^*\sqrt{T}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)^*\left(i^k\sqrt{T}S^*+\sqrt{T}\right)\\ &=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+1)^*T(i^kS^*+1)\in \mathcal{T}, \end{aligned} $$
よって、
$$ ST\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T}) $$
が成り立つ。また $\mathcal{T}$ は明らかに $*$-演算で閉じているので、
$$ TS=(S^*T^*)^*\in \mathcal{T}\quad(\forall S\in \mathbb{B}(\mathcal{H}),\forall T\in \mathcal{T}) $$
も成り立つ。これより $\mathcal{T}$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。次に $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つことを示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（ 定理2 ）とすると、$\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから $T=V\lvert T\rvert\in \mathcal{T}$ である。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathcal{T}$ が成り立つ。任意の $T\in \mathcal{T}$ に対し $T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解とすると、$\lvert T\rvert=V^*V\lvert T\rvert=V^*T$ であり $\mathcal{T}$ はイデアルであるから、$\lvert T\rvert\in\mathcal{T}$ である。よって ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty$ であるから $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\mathcal{T}$ が成り立つ。

任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し 命題1 の $(1)$ より ${\rm Tr}(TT^*)={\rm Tr}(T^*T)<\infty$ であるから $T^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $S\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ に対し 命題2 の $(4)$ より、
$$ {\rm Tr}((TS)^*TS)={\rm Tr}(S^*T^*TS)\leq \| S\|^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty $$
であるから、$TS\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立ち、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $*$-演算で閉じているから $ST=(T^*S^*)^*\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。任意の $T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ と任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、
$$ {\rm Tr}((\alpha T)^*\alpha T)={\rm Tr}(\lvert\alpha\rvert^2T^*T)=\lvert\alpha\rvert^2{\rm Tr}(T^*T)<\infty $$
であるから $\alpha T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、
$$ (S+T)^*(S+T)\leq (S+T)^*(S+T)+(S-T)^*(S-T)=2(S^*S+T^*T) $$
であることと 命題2 の $(1),(2)$ より、
$$ {\rm Tr}((S+T)^*(S+T))\leq 2({\rm Tr}(S^*S)+{\rm Tr}(T^*T))<\infty $$
であるから $S+T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ の $*$-イデアルである。

• $(1)$　$\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})$ を取る。有限次元部分空間 ${\rm Ran}(T)\subset \mathcal{H}$ の上への射影作用素を $P\in\mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ とおき、${\rm Ran}(T)$ のCONSを $(e_1,\ldots,e_n)$ とおく。 命題6 より $\{e_1,\ldots,e_n\}$ を含む $\mathcal{H}$ のCONSが取れるので、
  $$ {\rm Tr}(P)=\sum_{j=1}^{n}(e_j\mid Pe_j)=n<\infty $$
  である。よって $P\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ はイデアルである（ 命題3 ）から、$T=PT\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が成り立つ。
  $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ を示す。任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T=V\lvert T\rvert$ を $T$ の極分解（ 定理2 ）とする。このとき、
  $$ {\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}^2)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty $$
  であるから $\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ は $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のイデアルである（ 命題4 ）から、$T=V\lvert T\rvert=V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。ゆえに $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ が成り立つ。
  $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。そして、
  $$ P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$
  とおく。 命題2 の $(5)$ より任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
  $$ \begin{aligned} \| T-TP_F\|^2&=\|(1-P_F)T^*T(1-P_F)\|\leq {\rm Tr}((1-P_F)T^*T(1-P_F))\\ &=\sum_{j\in J}(e_j\mid (1-P_F)T^*T(1-P_F)e_j)=\sum_{j\in J\backslash F}(e_j\mid T^*Te_j)\\ &={\rm Tr}(T^*T)-\sum_{j\in F}(e_j\mid T^*Te_j) \end{aligned} $$
  であり、右辺は $F\rightarrow J$ で $0$ に収束するので $\lim_{F\rightarrow J}\| T-P_FT\|=0$ が成り立つ。よって、
  $$ T=\lim_{F\rightarrow J}P_FT\in \overline{\mathbb{B}_{\rm f}(\mathcal{H})}=\mathbb{B}_0(\mathcal{H}) $$
  である。ゆえに $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})\subset \mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ が成り立つ。
• $(2)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ に対し、偏極恒等式（ 定義4 ）より、
  $$ ST=S^{**}T=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k(i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T) $$
  であり、 命題4 より、
  $$ {\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))<\infty\quad(k=0,1,2,3) $$
  であるから $ST\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ である。

• $(1)$　 定義3 より $T_0,T_1,T_2,T_3\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ で $T=\sum_{k=0}^{3}i^kT_k$ なるものに対し、${\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)$ であるから、
  $$ {\rm Tr}(T)=\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}(T_k)=\sum_{k=0}^{3}i^k\sum_{j\in J}(e_j\mid T_ke_j) =\sum_{j\in J}\sum_{k=0}^{3}i^k(e_j\mid T_ke_j)=\sum_{j\in J}(e_j\mid Te_j). $$
• $(2)$　$(1)$ より明らかである。
• $(3)$　 命題5 の $(2)$ より任意の $S,T\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ である。$(2)$ と偏極恒等式（ 定義4 ）、および 命題1 の $(1)$ より、
  $$ \begin{aligned} {\rm Tr}(ST)&={\rm Tr}(S^{**}T)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)^*(i^kS^*+T))\\ &=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((i^kS^*+T)(i^kS^*+T)^*) =\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k{\rm Tr}((S+i^kT^*)^*(S+i^kT^*))\\ &={\rm Tr}(T^{**}S)={\rm Tr}(TS). \end{aligned} $$
• $(4)$　$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の極分解（ 定理2 ）を $T=V\lvert T\rvert$ とすると、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}, \sqrt{\lvert T\rvert}S, V\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、$(3)$ より、
  $$ \begin{aligned} {\rm Tr}(ST)={\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}) ={\rm Tr}(\sqrt{\lvert T\rvert}SV\sqrt{\lvert T\rvert}) ={\rm Tr}(V\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert}S)={\rm Tr}(TS). \end{aligned} $$

$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 定義4 の $(*)$ より $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は作用素ノルムによるBanach空間 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| T-T_n\|=0$ を満たすものが定まる。$(e_j)_{j\in J}$ を $\mathcal{H}$ のCONSとし、$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$、任意の $F\in\mathcal{F}_J$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\sum_{j\in F}(e_j\mid (T-T_m)^*(T-T_m)e_j)=\sum_{j\in F}\| (T-T_m)e_j\|^2 =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\| (T_n-T_m)e_j\|^2\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_n-T_m)^*(T_n-T_m)e_j) =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_n-T_m)e_j)\\ &\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}(e_j\mid (T_k-T_m)^*(T_k-T_m)e_j) =\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm HS}^2 \end{aligned} $$
であるから、
$$ {\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm HS}^2\quad(\forall m\in\mathbb{N})\quad\quad(*) $$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$ \| T_n-T_m\|_{\rm HS}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
を満たすものが取れるので、$(*)$ より任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$ {\rm Tr}((T-T_m)^*(T-T_m))\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm HS}^2\leq\sup_{k\geq n_0}\| T_k-T_m\|_{\rm HS}^2\leq\epsilon^2 $$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であり、
$$ \| T-T_m\|_{\rm HS}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^2({\cal H})$ において $T$ に収束するので、$\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ はHilbert空間である。

• $(1)$　$T$ の極分解（ 定理2 ）を $T=V\lvert T\rvert$ とおくと、$\sqrt{\lvert T\rvert},SV\sqrt{\lvert T\rvert}\in \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ であるから、Hilbert-Schmidt内積に関するSchwarzの不等式と 命題2 の $(4)$ より、
  $$ \begin{aligned} \lvert {\rm Tr}(ST)\rvert^2&=\lvert {\rm Tr}(SV\sqrt{\lvert T\rvert}\sqrt{\lvert T\rvert})\rvert^2 =(\sqrt{\lvert T\rvert}\mid SV\sqrt{\lvert T\rvert})_{\rm HS}^2 \leq \| \sqrt{\lvert T\rvert}\|_{\rm HS}^2\| SV\sqrt{\lvert T\rvert}\|_{\rm HS}^2\\ &={\rm Tr}(\lvert T\rvert){\rm Tr}(SV\lvert T\rvert V^*S^*)\leq \| SV\|^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2\leq\| S\|^2{\rm Tr}(\lvert T\rvert)^2 \end{aligned} $$
  である。よって $\lvert {\rm Tr}(ST)\rvert\leq \| S\|{\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ が成り立つ。
• $(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$, $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し $\lvert\alpha T\rvert=\sqrt{(\alpha T)^*(\alpha T)}=\sqrt{\lvert \alpha\rvert^2T^*T}=\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert$ であるから、
  $$ {\rm Tr}(\lvert \alpha T\rvert)={\rm Tr}(\lvert \alpha\rvert\lvert T\rvert)=\lvert\alpha\rvert{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\quad(\forall T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H}),\forall \alpha\in \mathbb{C}) $$
  である。また 命題2 の $(5)$ より $\| T\|\leq {\rm Tr}(\lvert T\rvert)$ であるから、$T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ が ${\rm Tr}(\lvert T\rvert)=0$ を満たすならば $T=0$ である。任意の $S,T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ に対し $S+T$ の極分解（ 定理2 ）を $S+T=W\lvert S+T\rvert$ とおくと、$\lvert S+T\rvert=W^*(S+T)=W^*S+W^*T$ であるから $(1)$ より、
  $$ {\rm Tr}(\lvert S+T\rvert)={\rm Tr}(W^*S)+{\rm Tr}(W^*T)\leq\| W^*\|{\rm Tr}(\lvert S\rvert)+\| W^*\|{\rm Tr}(\lvert T\rvert)\leq {\rm Tr}(\lvert S\rvert)+{\rm Tr}(\lvert T\rvert) $$
  となる。よって $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(\lvert T\rvert)\in [0,\infty)$ はノルムである。

$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ の任意のCauchy列 $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る。 命題2 の $(5)$ より、
$$ \| T_n-T_m\|_{\rm Tr}\leq \| T_n-T_m\|\quad(\forall n,m\in\mathbb{N}) $$
であるから $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| T-T_n\|=0$ を満たすものが存在する。$\mathcal{H}$ のCONS $\{e_j\}_{j\in J}$ に対し $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とし、
$$ P_F\colon=\sum_{j\in F}e_j\odot e_j\quad(\forall F\in \mathcal{F}_J) $$
とおく（ 命題4 を参照）。任意の $m\in \mathbb{N}$, 任意の $F\in \mathcal{F}_J$ を取る。$T-T_m$ の極分解（ 定理2 ）を $T-T_m=V_m\lvert T-T_m\rvert$（したがって $\lvert T-T_m\rvert=V_m^*(T-T_m)$）とすると、 命題8 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} &\sum_{j\in F}(e_j\mid \lvert T-T_m\rvert e_j)=\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T-T_m)e_j) =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\lvert\sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_n-T_m)e_j)\right\rvert\\ &=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in F}(V_me_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert =\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert \sum_{j\in J}(V_mP_Fe_j\mid (T_k-T_m)e_j)\right\rvert\\ &=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left\lvert {\rm Tr}(P_FV_m^*(T_k-T_m))\right\rvert \leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm Tr} \end{aligned} $$
となるから、
$$ {\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm Tr}\quad(\forall m\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$
が成り立つ。$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ のCauchy列であるから、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
$$ \| T_n-T_m\|_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
を満たすものが取れ、$(*)$ より、任意の $m\geq n_0$ に対し、
$$ {\rm Tr}(\lvert T-T_m\rvert)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_k-T_m\|_{\rm Tr} \leq \sup_{k\geq n_0}\| T_k-T_m\|_{\rm Tr}\leq \epsilon $$
となる。よって $T=T-T_m+T_m\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ であり、
$$ \| T-T_m\|_{\rm Tr}\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$
である。ゆえに $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{B}^1({\cal H})$ において $T$ に収束するから、$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はBanach空間である。

• $(1)$　$v=\| v\| e$ を満たす単位ベクトル $e\in \mathcal{H}$ を取る。$e$ を含む ${\cal H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ を取れば、
  $$ {\rm Tr}(u\odot v)=\sum_{j\in J}(e_j\mid (u\odot v)e_j)=(e\mid (u\odot v)e)=\| v\|(e\mid u)=(v\mid u). $$
• $(2)$　 命題2 の $(5)$ より $\| u\odot v\|\leq \| u\odot v\|_{\rm Tr}$ である。逆の不等式を示す。$u\odot v=V\lvert u\odot v\rvert$ を $u\odot v$ の極分解（ 定理2 ）とすると、
  $$ \lvert u\odot v\rvert =V^*(u\odot v)=(V^*u)\odot v $$
  であるから、$(1)$ より、
  $$ \| u\odot v\|_{\rm Tr}={\rm Tr}(\lvert u\odot v\rvert)={\rm Tr}((V^*u)\odot v) =(v\mid V^*u)\leq\| u\|\| v\|=\| u\odot v\|. $$
• $(3)$　任意の $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}\mathcal{H}$ に対し $(2)$ とHölderの不等式より、
  $$ \sum_{j\in J}\| u_j\odot v_j\|_{\rm Tr}=\sum_{j\in J}\| u_j\|\| v_j\| \leq \| (u_j)_{j\in J}\|\| (v_j)_{j\in J}\|<\infty $$
  であるから、$\sum_{j\in J}u_j\odot v_j$ は $\mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ において絶対収束する。
• $(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ を取り、$T$ の極分解を $T=V\lvert T\rvert$ とおく。 命題5 より $\lvert T\rvert\in\mathbb{B}_0(\mathcal{H})$ であるから 命題4 の $(3)$ より $\lvert T\rvert$ の固有ベクトルからなる $\mathcal{H}$ のCONS $(e_j)_{j\in J}$ が取れる。そこで $\lvert T\rvert e_j=\lambda_je_j$ $(\forall j\in J)$ とおくと、
  $$ \{\lambda_j\}_{j\in J}\subset \sigma(\lvert T\rvert)\subset [0,\infty),\quad \sum_{j\in J}\lambda_j=\sum_{j\in J}(e_j\mid \lvert T\rvert e_j)={\rm Tr}(\lvert T\rvert)<\infty $$
  である。よって、
  $$ v_j\colon=\sqrt{\lambda_j}e_j,\quad u_j\colon=\sqrt{\lambda_j}V e_j\quad (\forall j\in J) $$
  とおけば $\sum_{j\in J}\| v_j\|^2=\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$、$\sum_{j\in J}\| u_j\|^2\leq\sum_{j\in J}\lambda_j<\infty$より $(u_j)_{j\in J},(v_j)_{j\in J}\in \bigoplus_{j\in J}{\cal H}$ であるから、$(3)$ より $\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\in \mathbb{B}^1(\mathcal{H})$ はトレースノルムで収束する。 命題4 より $1=\sum_{j\in J}e_j\odot e_j$ (SOT収束)であるから、任意の $v\in {\cal H}$ に対し、
  $$ Tv=T\sum_{j\in J}(e_j\odot e_j)v =\sum_{j\in J}((V\lvert T\rvert e_j)\odot e_j)v=\sum_{j\in J}(\lambda_j(Ve_j)\odot e_j)v =\sum_{j\in J}(u_j\odot v_j)v $$
  である。よって、
  $$ T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束}) $$
  が成り立つ。ここで 命題1 より、
  $$ J_0\colon=\{j\in J:\| u_j\odot v_j\|_{\rm Tr}>0\} $$
  は可算集合であり、
  $$ T=\sum_{j\in J}u_j\odot v_j=\sum_{j\in J_0}u_j\odot v_j\quad(\text{トレースノルムで収束}) $$
  となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}u_n\odot v_n: (u_n)_{n\in \mathbb{N}},(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$が成り立つ。$T\in \mathbb{B}^1({\cal H})\cap \mathbb{B}({\cal H})_+$の場合は、
  $$ T=\sum_{j\in J}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)} $$
  と表されるので、ある可算集合 $J_1\subset J$に対し、
  $$ T=\sum_{j\in J_1}v_j\odot v_j\quad\text{(トレースノルムで収束)} $$
  となる。よって$\mathbb{B}^1(\mathcal{H})\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})_+=\left\{\sum_{n\in \mathbb{N}}v_n\odot v_n:(v_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}\right\}$ が成り立つ。

命題8 の $(1)$ より、$\varphi_A\colon \mathbb{B}^1(\mathcal{H})\ni T\mapsto {\rm Tr}(AT)\in \mathbb{C}$ は有界線型汎関数であり、
$(*)$ はノルム減少な線形写像である。$A_1,A_2\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ が $\varphi_{A_1}=\varphi_{A_2}$ を満たすならば、 命題10 の $(1)$ より、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (u\mid A_1v)={\rm Tr}(A_1v\odot u)=\varphi_{A_1}(v\odot u)=\varphi_{A_2}(v\odot u)={\rm Tr}(A_2v\odot u)=(u\mid A_2v) $$
であるから $A_1=A_2$ である。よって $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射かつ等長であることを示す。任意の $\varphi\in (\mathbb{B}^1(\mathcal{H}))^*$ に対し 命題10 の $(2)$ より、
$$ \mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto \varphi(v\odot u)\in \mathbb{C} $$
はノルムが $\| \varphi\|$ 以下の有界準双線形汎関数である。よって 定理1 より $A\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ で、
$$ \varphi(v\odot u)=(u\mid Av)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
を満たすものが定まり、$\| A\|\leq\| \varphi\|$ である。 命題10 の $(1)$ より、
$$ \varphi(v\odot u)=(u\mid Av)={\rm Tr}(Av\odot u)=\varphi_{A}(v\odot u)\quad(\forall u,v\in \mathcal{H}) $$
であるから、 命題10 の $(4)$ より $\varphi=\varphi_{A}$ である。そして、
$$ \| A\|\leq \| \varphi\|=\| \varphi_A\|\leq \| A\| $$
であるから、$(*)$ は全射かつ等長である。

任意の $(i,j),(i',j')\in J\times J$ に対し 命題10 の $(1)$ より、
$$ \begin{aligned} (e_i\odot e_j\mid e_{i'}\odot e_{j'})_{\rm HS}&={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*(e_{i'}\odot e_{j'})) ={\rm Tr}((e_j\odot e_i)(e_{i'}\odot e_{j'}))\\ &=(e_i\mid e_{i'}){\rm Tr}(e_j\odot e_{j'}) =(e_i\mid e_{i'})(e_{j'}\mid e_j) \end{aligned} $$
であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のONSである。$\{e_i\odot e_j\}_{(i,j)\in J\times J}\subset \mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ の直交補空間の任意の元 $T$ に対し、
$$ \begin{aligned} (e_i\mid Te_j)={\rm Tr}(Te_j\odot e_i)={\rm Tr}((e_j\odot e_i)T)={\rm Tr}((e_i\odot e_j)^*T) =((e_i\odot e_j)\mid T)_{\rm Tr}=0 \end{aligned} $$
であるから、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ (u\mid Tv)=\sum_{i\in J}(u\mid (e_i\mid Tv)e_i)=\sum_{i\in J}(e_i\mid Tv)(u\mid e_i)= \sum_{i\in J}\sum_{j\in J}(e_i\mid Te_j)(e_j\mid v)(u\mid e_i)=0 $$
である。よって $T=0$ であるから $(e_i\odot e_j)_{(i,j)\in J\times J}$ は $\mathbb{B}^2(\mathcal{H})$ のCONSである。

任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)$ に対しHölderの不等式とFubiniの定理より、
$$ L^2(X,\mu)\times L^2(X,\mu)\ni ([f],[g])\mapsto \int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\in \mathbb{C} $$
はノルムが $\| K\|_2$ 以下の有界準双線形汎関数であるから、 定理1 より、$\widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))$ で、
$$ ([f]\mid \widehat{K}[g])_2=\int_{X\times X}\overline{f(x)}g(y)K(x,y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu)) $$
を満たすものが定まり、
$$ L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}(L^2(X,\mu))\quad\quad(*) $$
はノルム減少な有界線形作用素である。 定義4 より、
$$ L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)=L^2(X,\mu)\otimes L^2(X,\mu)=\overline{{\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}} $$
であり、任意の $[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)$ に対し、Fubiniの定理より、
$$ \begin{aligned} &\left([f]\mid (\widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]})[g]\right)_2 =\int_{X\times X}\overline{f(x)}\varphi(x)\overline{\psi(y)}g(y)d(\mu\otimes\mu)(x,y)\\ &=\int_{X}\overline{f(x)}\varphi(x)d\mu(x)\int_{X}\overline{\psi(y)}g(y)d\mu(y) =([f]\mid [\varphi])_2([\psi]\mid [g])_2\\ &=\left([f]\mid \left([\varphi]\odot [\psi]\right)[g]\right)\quad(\forall [f],[g]\in L^2(X,\mu)) \end{aligned} $$
であるから、
$$ \widehat{[\varphi]\otimes [\overline{\psi}]}=[\varphi]\odot [\psi]\quad(\forall [\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)) $$
が成り立つ。任意の $[\varphi_1],[\psi_1],[\varphi_2],[\psi_2]\in L^2(X,\mu)$ に対し、
$$ \begin{aligned} &\left(\widehat{[\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]}\mid \widehat{[\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}]}\right)_{\rm HS}=([\varphi_1]\odot [\psi_1]\mid [\varphi_2]\odot [\psi_2])_{\rm HS} ={\rm Tr}\left(([\varphi_1]\odot [\psi_1])^*([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right)\\ &={\rm Tr}\left(([\psi_1]\odot [\varphi_1])([\varphi_2]\odot [\psi_2])\right) =([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2{\rm Tr}([\psi_1]\odot [\psi_2]) =([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\psi_2]\mid [\psi_1])_2\\ &=([\varphi_1]\mid [\varphi_2])_2([\overline{\psi_1}]\mid [\overline{\psi_2}])_2 =([\varphi_1]\otimes [\overline{\psi_1}]\mid [\varphi_2]\otimes [\overline{\psi_2}])_2 \end{aligned} $$
であるから、
$$ {\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\ni K\mapsto \widehat{K}\in \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))\quad\quad(**) $$
は内積を保存する線形作用素であり、その値域
$$ {\rm span}\{[\varphi]\odot [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}\subset \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu)) $$
は 命題12 より $\mathbb{B}^2(L^2(X,\mu))$ において稠密である。よって $(**)$ を $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ 上に一意拡張したもの
$$ U\colon L^2(X\times X,\mu\otimes\mu)\rightarrow \mathbb{B}^2(L^2(X,\mu)) $$
はユニタリ作用素である。後は任意の $K\in L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$ に対し $UK=\widehat{K}$ が成り立つことを示せばよい。そこで ${\rm span}\{[\varphi]\otimes [\psi]:[\varphi],[\psi]\in L^2(X,\mu)\}$ の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| K_n-K\|_2=0$ を満たすものを取る。すると $(*)$ がノルム減少であることから、
$$ \| \widehat{K}-\widehat{K_n}\|\leq \| K-K_n\|_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
が成り立ち、作用素ノルムがHilbert-Shcmidtノルム以下であることから、
$$ \| UK-\widehat{K_n}\|\leq \| UK-\widehat{K_n}\|_{\rm HS}=\| K-K_n\|_2\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
が成り立つ。よって、
$$ \| \widehat{K}-UK\|\leq \| \widehat{K}-\widehat{K_n}\|+\| \widehat{K_n}-UK\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
であるから $\widehat{K}=UK$ が成り立つ。