Hilbert空間上の作用素論19：von Neumann環とBorel汎関数計算

19. von Neumann環とBorel汎関数計算

von Neumann環にアフィリエイトする線形作用素

$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。$\mathcal{H}$ 上の（有界とは限らない）線形作用素 $T\colon D(T)\rightarrow\mathcal{H}$ が $\mathcal{M}$ にアフィリエイトするとは、
$$ ST\subset TS\quad(\forall S\in \mathcal{M}') $$
が成り立つことを言う。$\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体を $\widetilde{\mathcal{M}}$ と表す。

$\widetilde{\mathcal{M}}$ は、次の命題で見るように、von Neumann環 $\mathcal{M}$ を非有界作用素を含む様に自然に拡張したものである。

von Neumann環 $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ の基本性質

Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}$ と $\mathcal{M}$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ に対し次が成り立つ。

$(1)$　$\widetilde{\mathcal{M}}\cap \mathbb{B}(\mathcal{H})=\mathcal{M}$.
$(2)$　任意の $T,T_1,T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$、任意の $\alpha\in \mathbb{C}$ に対し、$\alpha T,T_1+T_2,T_1T_2\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義されているならば、$T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
$(4)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が可閉であるならば、$\overline{T}\in\widetilde{\mathcal{M}}$.
$(5)$　$T\in\widetilde{\mathcal{M}}$ が単射であるならば、$T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$.

$(1)$　$\mathcal{M}=\mathcal{M}' '$ であることと $\widetilde{\mathcal{M}}$ の定義より明らかである。
$(2)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$ S(\alpha T)=\alpha ST\subset \alpha TS=(\alpha T)S, $$
$$ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2\subset T_1S+T_2S=(T_1+T_2)S, $$
$$ S(T_1T_2)\subset T_1ST_2\subset (T_1T_2)S $$
であるから成り立つ。
$(3)$　任意の $S\in \mathcal{M}', u\in D(T),v\in D(T^*)$ を取る。$S^*T\subset TS^*$ より$S^*Tu=TS^*u$ なので、
$$ (u\mid ST^*v)=(S^*u\mid T^*v)=(TS^*u\mid v)=(S^*Tu\mid v)=(Tu\mid Sv), $$
よって $Sv\in D(T^*)$ であり、$(u\mid ST^*v)=(u\mid T^*Sv)$ である。これより $ST^*v=T^*Sv$ であるから $ST^*\subset T^*S$ である。ゆえに $T^*\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
$(4)$　任意の $S\in \mathcal{M}', v\in D(\overline{T})$ を取る。$D(T)$ の点列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}(v_n,Tv_n)=(v,\overline{T}v)$ なるものを取ると、$ST\subset TS$と$\lim_{n\rightarrow\infty}Sv_n=Sv$　より、
$$ S\overline{T}v=\lim_{n\rightarrow\infty}STv_n =\lim_{n\rightarrow\infty}TSv_n=\overline{T}Sv $$
である。よって $S\overline{T}\subset \overline{T}S$ であるから $\overline{T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
$(5)$　任意の $S\in \mathcal{M}'$ を取る。任意の $v\in D(T^{-1})={\rm Ran}(T)$ に対し、$u=T^{-1}v\in D(T)$ とおけば $STu=TSu$ であるから、
$$ ST^{-1}v=Su=T^{-1}TSu=T^{-1}STu=T^{-1}Sv $$
である。よって $ST^{-1}\subset T^{-1}S$ であるから $T^{-1}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。

von Neumann環とBorel汎関数計算、極分解

Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上のvon Neumann環 $\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ にアフィリエイトする線形作用素全体 $\widetilde{\mathcal{M}}$ について次が成り立つ。

$(1)$　$T\in {\cal M}$ が正規作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
$(2)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が自己共役作用素ならば任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$.
$(3)$　$T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ が稠密に定義された閉線形作用素ならば $T$ の極分解（定理2 ） $T=V\lvert T\rvert$ に対し $V\in \mathcal{M}, \lvert T\rvert\in \widetilde{\mathcal{M}}$.

$(1)$　$T$ のスペクトル測度を $E^T\colon \mathcal{B}_{\sigma(T)}\rightarrow \mathbb{P}(\mathcal{H})$ とする。任意の連続関数 $f\in C(\sigma(T))$ に対し、
$$ f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in C^*(\{1,T\})\subset \mathcal{M} $$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}', u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$ \int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{S^*u,v}(\lambda)=\left(S^*u\mid f(T)v\right) =(u\mid f(T)Sv)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T_{u,Sv}(\lambda) $$
である。よってRiesz-Markov-角谷の表現定理（定理15 ）より、
$$ (u\mid SE^T(B)v)=(S^*u\mid E^T(B)v)=E^T_{S^*u,v}(B)=E^T_{u,Sv}(B)=(u\mid E^T(B)Sv)\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}) $$
である。これより任意の $B\in \mathcal{B}_{\sigma(T)}$ に対し $E^T(B)\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ であるから、任意のBorel単関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ f(T)=\int_{\sigma(T)}f(\lambda)dE^T(\lambda)\in \mathcal{M}\quad\quad(*) $$
が成り立つ。有界Borel関数はBorel単関数の列によって一様近似できる（命題6 ）ので、$(*)$ は任意の有界Borel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対しても成り立つ。そこで今、任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し $f_n\colon=f\chi_{(\lvert f\rvert\leq n)}$ として有界Borel関数の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f_n(T)\in \mathcal{M}$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ であり、任意の $v\in D(f(T))$ に対しLebesgue優収束定理より、
$$ \| f(T)v-f_n(T)v\|^2=\int_{\sigma(T)}\lvert f(\lambda)-f_n(\lambda)\rvert^2dE^T_{v,v}(\lambda)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
であるから、任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$ Sf(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}Sf_n(T)v=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(T)Sv=\lim_{n\rightarrow\infty}f(T)E^T((\lvert f\rvert\leq n))Sv=f(T)Sv $$
である。ただし最後の等号において $f(T)$ が閉線形作用素であることと、$\lim_{n\rightarrow\infty}E^T((\lvert f\rvert\leq n))v=v$ であることを用いた。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し $Sf(T)\subset f(T)S$ であるから $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
$(2)$　$T$ のCayley変換 $C(T)=(T-i)(T+i)^{-1}$ はユニタリ作用素であり（定理4 ）、命題1 より $C(T)\in\mathcal{M}$ である。定理2 の証明より任意のBorel関数 $f\colon \sigma(T)\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
$$ f(T)=\int_{\sigma(C(T))\backslash \{1\}}f(C^{-1}(\lambda))dF^{C(T)}(\lambda) $$
であるから、$(1)$ より $f(T)\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。
$(3)$　命題1 より $T^*T\in \widetilde{\mathcal{M}}$ であるから、$(2)$ より $\lvert T\rvert=\sqrt{T^*T}\in \widetilde{\mathcal{M}}$ である。よって任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$ S\lvert T\rvert v=\lvert T\rvert Sv\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert)) $$
であるから、
$$ S(\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)})\subset \overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)} $$
である。そして $V^*V$ は $\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ の上への射影作用素であるから、
$$ SV^*V=V^*VSV^*V\quad(\forall S\in \mathcal{M}') $$
である。これより、
$$ SV^*V=V^*VSV^*V=(V^*VS^*V^*V)^*=(S^*V^*V)^*=V^*VS\quad(\forall S\in \mathcal{M}') $$
であるので $V^*V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。また任意の $S\in \mathcal{M}'$ に対し、
$$ SV\lvert T\rvert v=STv=TSv=V\lvert T\rvert Sv=VS\lvert T\rvert v\quad(\forall v\in D(\lvert T\rvert)) $$
であるから、${\rm Ran}(V^*V)=\overline{{\rm Ran}(\lvert T\rvert)}$ 上で $SV=VS$ が成り立つので、
$$ SV=SVV^*V=VSV^*V=VV^*VS=VS $$
である。よって $V\in \mathcal{M}' '=\mathcal{M}$ である。

von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体 $\mathbb{P}(\mathcal{M})$

von Neumann環 $\mathcal{M}$ の射影全体を $\mathbb{P}(\mathcal{M})$ と表す。

非負値係数の線形結合全体

線形空間 $V$ の空でない部分集合 $D$ に対し、
$$ {\rm span}_+(D)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j:n\in\mathbb{N},\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in [0,\infty),v_1,\ldots,v_n\in D\right\} $$
と定義する。

von Neumann環は射影によって生成される

$\mathcal{M}\subset \mathbb{B}(\mathcal{H})$ をvon Neumann環とする。このとき次が成り立つ。

$(1)$　$\mathcal{M}_+=\overline{{\rm span}_+(\mathbb{P}(\mathcal{M}))}^{\| \cdot\|}$.
$(2)$　任意の $P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ に対し $P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}):Q\leq P\}}^{\| \cdot\|}$.

$(1)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H})_+$ を取る。${\rm id}\colon \sigma(T)\ni \lambda\mapsto \lambda\in [0,\infty)$ は非負値有界Borel関数なので、$\sigma(T)$ 上の非負値Borel単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で ${\rm id}$ に一様収束するものが取れる（命題6 ）。定理2 より、
$$ s_n(T)\in {\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
であり、
$$ \| T-s_n(T)\|\leq \sup_{\lambda\in \sigma(T)}\lvert \lambda-s_n(\lambda)\rvert\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
であるから、$T=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(T)\in \overline{{\rm span}_+\mathbb{P}(\mathcal{M})}^{\| \cdot\|}$ である。
$(2)$　$P=0$ ならば自明なので $P>0$ とする。
$$ \Phi\colon P\mathbb{B}(\mathcal{H})P\ni PTP\mapsto PTP|_{{\rm Ran}(P)}\in \mathbb{B}({\rm Ran}(P)) $$
は等長 $*$-環同型写像である。そしてネットによる連続性の特徴付け（ネットによる位相空間論の定理3 ）により $\Phi$ はWOTに関して同相写像であることが分かる。$P\in \mathbb{P}(\mathcal{M})$ であることとネットによる閉包の特徴付け（ネットによる位相空間論の命題2.4 ）より、$P\mathcal{M}P$ は $P\mathbb{B}(\mathcal{H})P$ のWOT閉部分 $*$-環なので、 $\Phi(P\mathcal{M}P)$ は $\mathbb{B}({\rm Ran}(P))$ のWOT閉部分 $*$-環である。また $\Phi(P)\in \Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上の恒等作用素なので、$\Phi(P\mathcal{M}P)$ は ${\rm Ran}(P)$ 上のvon Neumann環である。そして $\Phi$ が $*$-環同型写像であることから、
$$ \Phi(P\mathcal{M}_+P)=\Phi((P\mathcal{M}P)_+)=\Phi(P\mathcal{M}P)_+ $$
であり、
$$ \mathbb{P}(\Phi(P\mathcal{M}P))=\{\Phi(Q):Q\in \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\} $$
であるので、$(1)$ より、
$$ \Phi(P\mathcal{M}_+P)=\overline{{\rm span}_+\{\Phi(Q):Q\leq \mathbb{P}(\mathcal{M}),Q\leq P\}}^{\Vert \cdot\|} $$
である。よって $\Phi$ の等長性より、
$$ P\mathcal{M}_+P=\overline{{\rm span}_+\{Q\in \mathbb{P}(\mathbb{M}):Q\leq P\}}^{\| \cdot\|} $$
が成り立つ。

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