篩密度と篩の次元
ところで、先の $(1)$ の右辺に現れる積
$$\prod_{p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)$$
の大きさも知る必要がある。Legendreの篩の場合はすべての素数に対して $\rho(p)=1$ であったから
Mertensの第3定理
より
$$\prod_{p< z}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}=\frac{e^{-\gamma}}{\log z}\left(1+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right)$$
となることがわかる。このことから $z>w>1$ のとき
$$\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{\log w}{\log z}\left(1+O\left(\frac{1}{\log w}\right)\right)$$
となることもわかる。ただし、この右辺の $O$ 記号における定数は $w$ にも $z$ にも依存しない絶対定数である。
さらに、
$$\log\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{k}{p}\right)=\sum_{w\leq p< z}\log\left(1-\frac{k}{p}\right)=-k\sum_{w\leq p< z}\frac{1}{p}+O\left(\frac{1}{p^2}\right)$$
となるから、有限個の素数を除いて $\rho(p)=k$ となるとき
$$\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)^{-1}=(1+o(1))\left(\frac{\log z}{\log w}\right)^k$$
となる（この右辺の $o(1)$ は $w\rightarrow +\infty$ のとき $0$ に近づく）。とくに
$$\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)^{-1}=O\left(\left(\frac{\log z}{\log w}\right)^k\right)$$
が成り立つ。ただし、この右辺の $O$ 記号における定数は $w$ にも $z$ にも依存しない絶対定数である。
一般に、実数（整数でなくてもよい） $k$ に対して上記の式が成り立つとき、$k$ を篩密度 (sifting density) という。この場合の篩を $k$ 次元の篩 ($k$-dimensional sieve) という。
与えられた定数 $k$ について、つぎの $(1)$ が成り立つとき $(2)$ が成り立ち、$(2)$ が成り立つとき $(3)$ が成り立つ。
$(1)$
$$\sum_{w\leq p< z}\rho(p)\leq k\int_w^z\frac{dt}{\log t}+A_0$$
となる定数 $A_0$ が存在する。
$(2)$
$$\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)\log p}{p}\leq k\log\left(\frac{z}{w}\right)+A_1$$
となる定数 $A_1$ が存在する。
$(3)$
$$\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}\leq k(\log\log z-\log\log w)+\frac{A_2}{\log w}$$
となる定数 $A_2$ が存在する。
さらに、$(3)$ が成り立つとき
$$\sum_{p< z}\rho(p)\leq (k+A_2)\mathrm{Li} z+\frac{2A_2}{\log 2}$$
となる。かつ、このとき
$$\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)^{-1}
<\left(\frac{\log z}{\log w}\right)^k\left(1+\frac{A_3}{\log w}\right)$$
となる定数 $A_3$ が存在する。なお、対数積分の定義で定めたように、
$$\mathrm{Li} z=\int_2^z \frac{dt}{\log t}$$
である。
$(1)$ が成り立つとして、左辺を
$$S_1(w, z)=\sum_{w\leq p< z}\rho(p)$$
とおく。
Abelの総和公式
より
$$\begin{split}
\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)\log p}{p}= & \frac{S_1(w, z)\log z}{z}+\int_w^z \frac{S_1(w, t)(1+\log t)}{t^2}dt \\
< & \frac{\log z}{z}\left(A_0+k\int_w^z\frac{dt}{\log t}\right)-\int_w^z\left(k\int_w^t\frac{du}{\log u}+A_0\right)\frac{1+\log t}{t^2}dt \\
= & \frac{\log z}{z}\left(A_0+k\int_w^z\frac{dt}{\log t}\right)-\frac{S_1(w, z)\log z}{z}+\int_w^z\frac{kdt}{t} \\
< & k\left(\log\frac{z}{w}\right)+\frac{\log z}{z}\left(A_0+k\int_w^z\frac{dt}{\log t}\right)
\end{split}$$
となるが、
対数積分:定理1
より
$$\int_w^z\frac{dt}{\log t}<\frac{z}{\log z}+\sqrt{z}+\frac{4z}{\log^2 z}$$
となるので
$$\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)\log p}{p}\leq k\log\left(\frac{z}{w}\right)+A_1$$
となる定数 $A_1$ がとれるので、 $(2)$ が成り立つ。
つぎに $(2)$ が成り立つとして、左辺を
$$S_2(w, z)=\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)\log p}{p}$$
とおくと、先と同様に、
$$\begin{split}
\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}= & \frac{S_2(w, z)}{\log z}+\int_w^z\frac{S_2(w, t)}{t\log^2 t}dt \\
< & \frac{k\log (z/w)}{\log z}+\frac{A_1}{\log z}+\int_w^z \frac{k}{t\log t}+\frac{A_1-k\log w}{t\log^2 t}dt \\
= & k(\log\log z-\log\log w)+\frac{A_1}{\log w}+\frac{k\log (z/w)}{\log z}-k\left(1-\frac{\log w}{\log z}\right) \\
= & k(\log\log z-\log\log w)+\frac{A_1}{\log w}
\end{split}$$
となるので、$(3)$ が成り立つ。
$(3)$ が成り立つとして、左辺を
$$S_3(z)=\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}$$
とおく。
$$\begin{split}
\int_2^z S_3(w, z)dw= & \sum_{w\leq p< z}\left(\int_2^p\frac{\rho(p)}{p} dt\right) \\
= & \sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)(p-2)}{p} \\
= & S_1(2, z)-2S_3(2, z)
\end{split}$$
なので、
$$\begin{split}
S_1(2, z)= & 2S_3(2, z)+\int_2^z S_3(w, z)dw \\
\leq & 2k(\log\log z-\log\log 2)+\frac{2A_2}{\log 2}+\int_2^z k(\log\log z-\log\log t)+\frac{A_2}{\log t}dt
\end{split}$$
となる。ここで
$$\int_2^z \log\log tdt=z\log\log z-2\log\log 2-\int_2^z \frac{dt}{\log t}$$
であるから
$$\begin{split}
\int_2^z k(\log\log z-\log\log t)+\frac{A_2}{\log t}dt
= & k((z-2)\log\log z-z\log\log z+2\log\log 2)+\int_2^z \frac{k+A_2}{\log t}dt \\
= & 2k(\log\log 2-\log\log z)+(k+A_2)\mathrm{Li} z
\end{split}$$
となるので、
$$S_1(2, z)\leq (k+A_2)\mathrm{Li} z+\frac{2A_2}{\log 2}$$
となることがわかる。
また、$(3)$ が成り立つとき
$$\frac{\rho(p)}{p}\leq -\log (1-\frac{\rho(p)}{p})\leq \frac{\rho(p)}{p}+\frac{\rho(p)}{2p^2}+\frac{\rho(p)}{3p^3}+\cdots\leq \frac{\rho(p)}{p}+\frac{\rho(p)}{p^2}$$
となるから
$$\exp \sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}<\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)^{-1}<\exp\left(\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}+\frac{\rho(p)}{p^2}\right)$$
が成り立つ。ここで、
$$\begin{split}
\sum_{w\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p^2}= & \frac{S_3(w, z)}{z}+\int_w^z \frac{S_3(w, t)}{t^2}dt \\
< & \frac{k(\log\log z-\log\log w)}{z}+\frac{A_2}{z\log w}+\int_w^z \frac{k(\log\log t-\log\log w)}{t^2}+\frac{A_2}{t^2\log w} dt \\
< & \frac{k\log\log z}{z}+\frac{A_2}{z\log w}+\int_w^z \frac{k\log t}{t^2}+\frac{A_2}{t^2\log w} dt \\
< & \frac{k\log\log z}{z}+\frac{k(1+\log w)}{w}+\frac{A_2}{w\log w} \\
< & \frac{A_4}{\log w}
\end{split}$$
となる定数 $A_4$ が存在するので、
$$\prod_{w\leq p< z}\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)^{-1}<\exp\left(k(\log\log z-\log\log w)+\frac{A_2+A_4}{\log w}\right)<\left(\frac{\log z}{\log w}\right)^k\left(1+\frac{A_3}{\log w}\right)$$
となることがわかる。
参考文献
