Mertensの定理

素数 $p$ が $n!$ を割り切る回数を $e(p, n)$ とおくと
Legendreの公式 より
$$e(n, p)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor$$
であるから
$$\floor{\frac{n}{p}}\leq e(n, p)<\frac{n}{p-1}$$
が成り立つ。よって
$$\log n!=\sum_p e(n, p)\log p<\sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p-1}$$
となる。
$$\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\log k}{k(k-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{2\log k}{k^2}$$
は収束するから
$$C_1=\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)}$$
とおくと
$$\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\geq \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p-1}-C_1>\log(n!)-C_1$$
が成り立つ。

Abelの総和公式の応用例 から
$$\log n!=\sum_{k=1}^n \log k>(n-1)\log n-n$$
がすぐわかるから、
$$\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\geq \frac{1}{n}\log n!-C_1\geq\log n-C_2$$
となる定数 $C_2$ が存在する。

また
$$\begin{split} \log n!=& \sum_p e(n, p)\log p \\ >& \sum_{p\leq n}\log p\left(\frac{n}{p}-1\right) \\ =& \sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p}-\theta(n) \end{split}$$
となるから Chebyshev関数の初等的評価の定理2 より
$$\log n!>\sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p}-2n\log 2$$
が成り立つ。再び Abelの総和公式の応用例 より
$$\log n!=\sum_{k=1}^n \log k< n\log n-n+\log n$$
となるから
$$\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}<\frac{1}{n}\log(n!)+2\log 2<\log n+C_3$$
となる定数 $C_3$ が存在する。

$$S(x)=\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}, \tau(x)=S(x)-\log x$$
とおくと第一定理より $\tau(x)=O(1)$ であることがわかる。よって積分
$$\int_2^x \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t}$$
は$x\rightarrow\infty$のとき収束するので、 Abelの総和公式 より
$$\begin{split} \sum_{p\leq n}\frac{1}{p} = & \frac{S(x)}{\log x}+\int_2^x \frac{S(t)}{t\log^2 t}dt \\ = & 1+\frac{\tau(x)}{\log x}+\int_2^x \frac{dt}{t\log t}+\int_2^x \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t} \\ = & 1+\log\log x-\log\log 2+\frac{\tau(x)}{\log x}+\int_x^\infty \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t}-\int_x^\infty \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t} \\ = & 1+\log\log x-\log\log 2+\int_2^\infty \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t}+\frac{\tau(x)}{\log x}+O\left(\int_x^\infty \frac{dt}{t\log^2 t}\right) \\ = & 1+\log\log x-\log\log 2+\int_2^\infty \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t}+O\left(\frac{1}{\log x}\right) \end{split}$$
となるので、第二定理は
$$b=1-\log\log 2+\int_2^\infty \frac{\tau(t)dt}{t\log^2 t}$$
について成り立つ。

$$\sum_{p\leq x} -\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}+\sum_{p\leq x}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}$$
および
$$\sum_{p>x}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}=O\left(\sum_{p>x}\frac{1}{p^2}\right)=O\left(\frac{1}{x}\right)$$
から、第二定理より
$$\sum_{p\leq x} -\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=\log\log x+C_4+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$$
となる定数 $C_4$ が存在する。よって
$$\prod_{p\leq x} \left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-C_4}}{\log x}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)$$
となることはすぐにわかる。

定数部分が $e^{-\gamma}$ であることを示す。$1$ より大きな実数 $s$ について
$$h(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}, g(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}+\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right), P(x)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}$$
とおく。
Abelの総和公式 より
$$h(s)=(s-1)\int_1^{\infty}\frac{P(t)}{t^s}dt$$
が得られる。第二定理より
$$P(t)=\log\log t+b+o(1)$$
となるので
$$h(s)=(s-1)\int_1^\infty\frac{\log\log t}{t^s}dt+b+O(s-1)$$
が得られる。ここで $t=e^{u/(s-1)}$ とおくと Eulerの定数の積分表示
$$\gamma=-\int_0^\infty(\log t)e^{-t} dt$$
から
$$(s-1)\int_1^{\infty}\frac{\log\log t}{t^s}dt=\int_0^{\infty}e^{-u}\log\frac{u}{s-1}du=-\gamma-\log (s-1)$$
となる。
$$h(s)=-\gamma-\log(s-1)+b+O(s-1)$$
となるので
$$h(s)+\log (s-1)+\gamma-b\rightarrow 0 ~ (s\rightarrow 1+0)$$
つまり
$$\lim_{s\rightarrow 1+0} h(s)+\log(s-1)=b-\gamma$$
が得られる。

前ページで見たように $$(s-1)\zeta(s)\rightarrow 1 (s\rightarrow 1+0)$$ なので
$$\lim_{s\rightarrow 1+0} h(s)-\log\zeta(s)=b-\gamma$$
となる。 ζ関数 のオイラー積から $s>1$ のとき
$g(s)=h(s)-\log \zeta(s)$ が成り立つことがすぐにわかるので
$$\lim_{s\rightarrow 1+0} g(s)=b-\gamma$$
つまり
$$\lim_{s\rightarrow 1+0} \sum_p \frac{1}{p^s}+\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right)=b-\gamma$$
となるが、この左辺の和は $1/2$ より大きい実数 $s_0$ に対し $s\geq s_0$ において一様収束するから、この和は $s>1/2$ において連続なので
$$\sum_p \frac{1}{p}+\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=b-\gamma$$
となる。つまり
$$\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=b-\gamma-P(x)+o(1)$$
である。再び第二定理を用いて
$$\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=-\log\log x-\gamma+o(1)$$
が得られ、第三定理が示される。