Brunの篩（素数による篩の評価）

\eqref{eq2}より
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq \kappa\left(k\Lambda+\frac{A_1 e^{k\Lambda}}{\log z}\right) =k\kappa\left(\Lambda+A_1\frac{e^{k\Lambda}-1}{k\log z}\right)+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
となるが、\eqref{eq1}より
$$\frac{e^{k\Lambda}-1}{k}\leq \frac{e^{r\Lambda}-1}{r}<\Lambda\frac{e^{r\Lambda}}{r\Lambda} \leq \Lambda\frac{e^\Lambda\log z}{\log 2\log(\log z/\log 2)}$$
となるから、
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq k\kappa\Lambda\left(1+A_1\frac{e^\Lambda}{\log 2\log (\log z/\log 2)}\right)+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
が成り立つ。
仮定より
$$\frac{A_1e^\Lambda}{\log 2\log (\log z/\log 2)}\leq \epsilon$$
となるので、
$$\log \frac{W(z_k)}{W(z)}\leq k\kappa\Lambda(1+\epsilon)+\frac{\kappa A_1}{\log z} =2k\lambda+\frac{\kappa A_1}{\log z}$$
となって、\eqref{eq4}が成り立つ。また
$$\sum_{z_k\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}\leq \sum_{z_k\leq p< z} -\log\left(1-\frac{\rho(p)}{p}\right)=\log\frac{W(z_k)}{W(z)}$$
より\eqref{eq3}も成り立つ。

\eqref{eq3}は
$$\sum_{z_k\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}<2(k\lambda+\mu)$$
とあらわされ、\eqref{eq4}は
$$\frac{W(z_k)}{W(z)}\leq e^{2(k\lambda+\mu)}$$
とあらわされる。
$k=0$ のとき
$$\sum_{z_k\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}=0$$
なので
$$\label{eq6}\begin{split} H_i(z)= & \sum_{k\geq 1}\frac{W(z_k)}{W(z)(2(k+b)+i)!}\left(\sum_{z_k\leq p< z}\frac{\rho(p)}{p}\right)^{2(k+b)+i} \\ \leq & \sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!} \end{split}\tag{6}$$
となる。
$(2(k+b)+i)!\geq (2k)!(2k)^{2b+i}$ より
$$\begin{split} \sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!} \leq & e^{2\mu}\sum_{k\geq 1}\left(\frac{k\lambda+\mu}{k}\right)^{2b+i}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2k}}{(2k)!} e^{2k\lambda} \\ \leq & e^{2\mu}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}\frac{(2k)^{2k}}{(2k)!}\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k} (\lambda e^{\lambda})^{2k} \end{split}$$
となるが、
$$\begin{split} \log\frac{(2k/e)^{2k}}{(2k)!}= & 2k(\log(2k)-1)-\sum_{n=1}^{2k}\log n \\ = & 1+\int_1^{2k} \log tdt-\sum_{n=1}^{2k}\log n \\ = & 1+\sum_{n=2}^{2k}\left(\int_{n-1}^n (\log t-\log n)dt\right) \end{split}$$
は減少関数なので、
$$\frac{(2k)^{2k}}{(2k)!}=e^{2k}\frac{(2k/e)^{2k}}{(2k)!}\leq \frac{2e^{2k}}{e^2}$$
となる。また
$$\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k}< e^{2\mu/\lambda}$$
だから
$$\begin{split} \sum_{k\geq 1}e^{2(k\lambda+\mu)}\frac{(2(k\lambda+\mu))^{2(k+b)+i}}{(2(k+b)+i)!} \leq & 2e^{2\mu-2}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}\left(1+\frac{\mu}{k\lambda}\right)^{2k} (\lambda e^{1+\lambda})^{2k} \\ \leq & 2e^{2\mu-2+2\mu/\lambda}(\lambda+\mu)^{2b+i}\sum_{k\geq 1}(\lambda e^{1+\lambda})^{2k} \\ = & 2e^{2\mu-2+2\mu/\lambda}(\lambda+\mu)^{2b+i}\frac{(\lambda e^{1+\lambda})^2}{1-(\lambda e^{1+\lambda})^2} \\ = & e^{2\mu(1+1/\lambda)}\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}} \end{split}$$
となる。よって\eqref{eq6}から
$$H_i(z)\leq e^{2\mu(1+1/\lambda)}\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}$$
であることがわかる。ここで、$\lambda<1$ より
$$\left(1+\frac{\mu}{\lambda}\right)^{2b+i}< e^{(2b+i)\mu/\lambda}, e^{2\mu(1+1/\lambda)}< e^{4\mu/\lambda}$$
となるので、
$$H_i(z)\leq e^{(2b+i+4)\mu/\lambda}\frac{2\lambda^{2b+i+2}e^{2\lambda}}{1-\lambda^2 e^{2(1+\lambda)}}$$
であることがわかり、\eqref{eq5}が示される。

仮定から
$$\sum_{d\mid P(z)}\chi_i(d)\abs{R_d}\leq \sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)$$
となるが、
$\chi_i(d)=1$ のとき、 $z_k$ 以上の素因数の個数は $2(b+k)+i-1$ 以下であるから、
$$\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq\left(1+\sum_{p< z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p< z_k}\rho(p)\right)^2$$
となる。 篩密度と篩の次元:定理1 より
$$\sum_{p< z}\rho(p)\leq (\kappa+A)\mathrm{Li} z+\frac{2A}{\log 2}$$
なので、
$$\begin{split} \sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq & \left(1+\sum_{p< z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p< z_k}\rho(p)\right)^2 \\ \leq & \left(1+(\kappa+A)\mathrm{Li} z+\frac{2A}{\log 2}\right)^{2b+i+1} \prod_{k=1}^{r-1} \left(1+(\kappa+A)\mathrm{Li} z_k+\frac{2A}{\log 2}\right)^{2b+i+1} \end{split}$$
となる。

[対数積分:定理1]](/glossaries/LZ41mVthM1FhMERCYa5E#th1)より
$$1+(\kappa+A)\mathrm{Li} x+\frac{2A}{\log 2}<\frac{B_1 x}{\log x}$$
となる、$\kappa, A$ にのみ依存する $B_1$ が存在するから
$$\begin{split} \sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq & \left(1+\sum_{p< z}\rho(p)\right)^{2b+i+1}\prod_{k=1}^{r-1}\left(1+\sum_{p< z_k}\rho(p)\right)^2 \\ \leq & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} \prod_{k=1}^{r-1} \left(\frac{B_1 z_k e^{k\Lambda}}{\log z}\right)^2 \\ = & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} \exp\left(2\log z \sum_{k=1}^{r-1} e^{-k\Lambda} \right) \prod_{k=1}^{r-1} \left(\frac{B_1 e^{k\Lambda}}{\log z}\right)^2 \\ \leq & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1}{\log z}\right)^{2(r-1)} e^{\frac{r(r-1)\Lambda}{2}} \\ = & \left(\frac{B_1 z}{\log z}\right)^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1e^{r\Lambda /2}}{\log z}\right)^{2(r-1)} \end{split}$$
となる。$z$ が大きいとき $\log z>B_1$ となるから
$$\label{eq8}\sum_{d\mid P(z), \chi_i(d)=1}\rho(d)\leq z^{2b+i+1} z^{2/(e^\Lambda -1)} \left(\frac{B_1e^{r\Lambda /2}}{\log z}\right)^{2(r-1)} \tag{8}$$
であることがわかる。

ここで
$$e^{2\lambda/\kappa}-e^\Lambda<(e^{2\lambda/\kappa-\Lambda}-1)e^{2\lambda/\kappa}<\left(\frac{2\lambda}{\kappa}-\Lambda\right)e^{2\lambda/\kappa}$$
および
$$\frac{2\lambda}{\kappa}-\Lambda=\frac{2\lambda}{\kappa}\left(1-\frac{1}{1+\epsilon}\right)=\epsilon\Lambda$$
より
$$e^{2\lambda/\kappa}-e^\Lambda<\epsilon\Lambda e^{2\lambda/\kappa}$$
であることがわかる。よって
$$\frac{e^{2\lambda/\kappa}-1}{e^\Lambda -1}<1+\frac{\epsilon\Lambda e^{2\lambda/\kappa}}{e^\Lambda -1}$$
となるが、$\lambda<1/2$ なので
$$\frac{e^{2\lambda/\kappa}-1}{e^\Lambda -1}<1+\epsilon e^{2\lambda/\kappa}<1+\epsilon e^{1/\kappa}=\frac{201}{200}$$
となる。さらに $e^{(r-1)\Lambda}<\log z/\log 2$ より
$$\frac{e^{r\Lambda/2}}{\log z}\leq \frac{e^{2\lambda/\kappa+(r-1)\Lambda/2}}{\log z}<\frac{e^{1/\kappa}}{\sqrt{\log z}}$$
となるが、$z$ が大きいとき $\sqrt{\log z}>e^{1/\kappa}$ となるから、上記不等式の右辺は $1$ より小さくなる。
よって、\eqref{eq8}より\eqref{eq7}が示される。