ユニタリー変換の固有値と対角化

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$V$ を、エルミート積をもつ有限次元の複素ベクトル空間とする。

$V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ が全単射で、$V$ の部分空間 $W$$f$ で安定ならば、$f(W)=W$ となる。さらに $W$$f^{-1}$ で安定。

$f$$W$ から $f(W)$ への写像とみても、$f$ は全単射線形写像だから、 次元定理 より、
$$\dim W=\dim \Ker f+\dim f(W)=\dim f(W)$$
となる。$W$$f$ で不変だから、$f(W)$$W$ の部分空間であるから、 線形独立性とベクトル空間の基底:定理8 より $f(W)$ の基底は $W$ の基底ともなる。
よって、$f(W)=W$ であるから、$f^{-1}(W)=W$ となるので、$W$$f^{-1}$ でも不変。

$f\colon V\to V$ がユニタリー変換で、$W$$f$ で安定ならば、$W^\perp$$f$ で安定。

$\Bv\in W^\perp$ ならば、任意の $\Bw\in W$ について $\angleb{\Bv, \Bw}=0$ となる。$f^*=f^{-1}$ となるが、
補題1 より、$W$$f^{-1}$ で不変。よって、任意の $\Bv\in W^\perp$, $\Bw\in W$ について $f^{-1}(\Bw)\in W$ より
$$\angleb{\Bw, f(\Bv)}=\angleb{f^*(\Bw), \Bv}=\angleb{f^{-1}(\Bw), \Bv}=0$$
となるから $f(\Bv)\in W^\perp$ となる。

$f\colon V\to V$ がユニタリー変換ならば、$V$$f$ の固有ベクトルを含む直交基底をもつ。

次元に関する帰納法で示す。$\dim V=1$ のときは明らか。$\dim V\leq m-1$ のときに定理が成り立つと仮定し、$\dim V=m$ とする。
$V$ は複素ベクトル空間だから、$V$ は少なくともひとつの $f$ の固有ベクトルを含む。そこで $f$ の固有ベクトルをひとつとり、$\Bv_1$ とおいて、$V_1=\angleb{\Bv_1}$ とおく。$f(\Bv_1)\in V_1$ より、$V_1$$f$ で安定。よって先の補題から、$W=V_1^\perp$$f$ で安定であるから、
$f$$W$ 上のユニタリー変換を与える。帰納法の過程から、$W$$f$ の固有ベクトルを含む直交基底 $\Bv_2, \ldots, \Bv_m$ をもつ。
よって、$V$$f$ の固有ベクトルを含む直交基底 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_m$ をもつ。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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