Hermite変換

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$f^*=f$ となる線形変換 $f\colon V \to V$Hermite変換、あるいはhermitianであるという。これは
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=\angleb{\Bv, f(\Bw)}$$
となることと同義である。
$V$ 上の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと、 随伴変換と随伴行列:定理3 より、$f$ がHermite変換であることは $A^*=A$ つまり $^t A=\overline{A}$ が成り立つことと同値である。
それで、$A^*=A$ となる行列 $A$Hermite行列 (Hermitian matrix) という。

線形変換 $f\colon V \to V$ がhermitian $\Longleftrightarrow$ すべての $\Bv\in V$ について $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ が実数

$f$ がhermitianであるとき、$\Bv\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}$$
より $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ は実数である。
逆に、$\angleb{f(\Bv), \Bv}$ がつねに実数であるとすると、
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\angleb{f^*(\Bv), \Bv}$$
となるから、$g(\Bv)=f^*(\Bv)-f(\Bv)$ とおくと、
$$\angleb{g(\Bv), \Bv}=0$$
が任意の $\Bv\in V$ について成り立つが、 線形写像と内積:定理2 より
$g$ は零写像となるから、 $f^*=f$ となる。つまり $f$ はhermitianである。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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