$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
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\newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
$f^*=f$ となる線形変換 $f\colon V \to V$ をHermite変換、あるいはhermitianであるという。これは
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=\angleb{\Bv, f(\Bw)}$$
となることと同義である。
$V$ 上の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと、
随伴変換と随伴行列:定理3
より、$f$ がHermite変換であることは $A^*=A$ つまり $^t A=\overline{A}$ が成り立つことと同値である。
それで、$A^*=A$ となる行列 $A$ をHermite行列 (Hermitian matrix) という。
線形変換 $f\colon V \to V$ がhermitian $\Longleftrightarrow$ すべての $\Bv\in V$ について $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ が実数
$f$ がhermitianであるとき、$\Bv\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}$$
より $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ は実数である。
逆に、$\angleb{f(\Bv), \Bv}$ がつねに実数であるとすると、
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\angleb{f^*(\Bv), \Bv}$$
となるから、$g(\Bv)=f^*(\Bv)-f(\Bv)$ とおくと、
$$\angleb{g(\Bv), \Bv}=0$$
が任意の $\Bv\in V$ について成り立つが、
線形写像と内積:定理2
より
$g$ は零写像となるから、 $f^*=f$ となる。つまり $f$ はhermitianである。