多項式環

$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\K}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\LCM}{\mathrm{LCM}}$ $\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}$ $\newcommand{\wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}$ $\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}$ $\newcommand{\mathmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}$

$A$ が可換環であるとき、 $$a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0 \quad (n\in\N, a_0, a_1, \ldots, a_n\in A)$$ の形の式を $A$ 上の多項式といい、そのようなもの全体の集合 $$A[X]=\{a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0\mid n\in\N, a_0, a_1, \ldots, a_n\in A\}$$ は再び可換環である。これを $A$ 上の多項式環という。 $a_0\in A$ ならば $a_0$ も $A[X]$ に含まれる。$a_0\in A$ の形の多項式を定数という。多項式とみたときの $0$ を零多項式という。

$\K$ が体でも $\K[X]$ は体ではない。$1/X$ のようなものは $\K[X]$ には含まれないからである。しかし $\K$ 上の有理関数 $$P(X)/Q(X) \quad (P(X), Q(X)\in\K[X], Q(X)\neq 0)$$ 全体の集合 $$\K(X)=\{P(X)/Q(X)\mid P(X), Q(X)\in\K[X], Q(X)\neq 0\}$$ は体となる。これを $\K$ 上の有理関数体という。

$$P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0\in A[X], a_n\neq 0$$ のとき $$\deg P=n$$ を多項式 $P(X)$ の次数という。たとえば $0$ でない定数の次数は $0$ である。零多項式については $$\deg 0=-\infty$$ と定める。$a_k$ を $P(X)$ の $k$ 次の係数という。 $P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0\in A[X]$ が $A$ 上の多項式で $a_n=1$ であるとき $P(X)$ はモニックであるという。

$P(X), Q(X)\in A[X]$ に対して $$P(X)=Q(X)G(X)$$ となる多項式 $G(X)\in A[X]$ が存在するとき $A[X]$ において（あるいは単に $A$ において） $Q(X)$ は $P(X)$ を割り切るあるいは整除するといい、$Q(X)\mid P(X)$ であらわす。 倍数と約数:定理2.2と同様のことは多項式の整除関係についても成り立つ。

また、整数の合同式と同様に $A[X]$ において $$P(X)\mid (F(X)-G(X))$$ となるとき $F(X)$ は $A[X]$ において P(X)$ を法として $G(X)$ と合同であるといい $$F(X)\equiv G(X)\mathmod{P(X)}$$ であらわす。$F(X)\equiv G(X)\mathmod{P(X)}$ で $U(X)$ が $F(X), P(X)$ をともに割り切るとき $$G(X)=F(X)-Q(X)P(X)$$ となる多項式 $Q(X)\in A[X]$ が存在するので $U(X)$ は $G(X)$ も割り切る。

多項式環の算術の基礎

整域上の多項式の次数

整域上の既約多項式について、次の性質が成り立つ。

定理 1

$A$ が整域で、$P(X), Q(X)\in A[X]$ ならば $$\deg (PQ)=\deg P+\deg Q$$ が成り立つ。さらに $\deg P\neq \deg Q$ のとき $$\deg (P+Q)=\max\{\deg P, \deg Q\}$$ が成り立つ。とくに $A[X]$ も整域である。

Proof.

$$P(X)=a_m X^m+a_{m-1} X^{m-1}+\cdots +a_0, Q(X)=b_n X^n+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots +b_0, a_m, b_n\neq 0$$ とおくと $$P(X)Q(X)=a_m b_n X^{m+n}+(a_m b_{n-1}+a_{m-1} b_n)X^{m+n-1}+\cdots$$ となるが $a_m b_n\neq 0$ であり、他の項の次数は $m+n-1$ 以下だから $$\deg (PQ)=m+n=\deg P+\deg Q$$ となる。

さらに、$m>n$ とすると $$P(X)+Q(X)=a_m X^m+\cdots +(a_n+b_n)X^n+\cdots +a_0+b_0$$ となる$a_m\neq 0$ であり、他の項の次数は $m-1$ 以下だから $$\deg (P+Q)=m=\max\{\deg P, \deg Q\}$$ となる。$m<n$ のとき同様に $$\deg (P+Q)=n=\max\{\deg P, \deg Q\}$$ となる。

□

この定理は $A$ が整域でないときは、定数以外の多項式に限っても成り立たない場合がある。たとえば $A=\Z/4\Z$ において $$(2X)^2\equiv 0, (2X+1)^2\equiv 1\mathmod{4}$$ となる。

多項式の除法の原理

多項式環においても、一定の条件のもとで整数環のときと同様に除法の原理が成り立つ。

定理 2

$A$ が環で、$G(X)\in A[X]$ の最高次の係数が $A$ の単元であるとき、$F(X)\in A[X]$ に対して $$F(X)=Q(X)G(X)+R(X), \deg R<\deg G$$ となる多項式 $Q(X), R(X)\in A[X]$ が一意的に定まる。

とくに $\K$ が体ならば、最高次の係数は $0$ でないから必ず単元となるので $\K[X]$ は $\deg P$ に関してEuclid整域であることがわかる。

Proof.

$\deg F$ に関する帰納法で証明する。$\deg F<\deg G$ ならば $Q(X)=0, R(X)=F(X)$ ととれる。また $Q(X)\neq 0$ ならば $\deg QG\geq \deg G>\deg F$ だから $\deg R=\deg QG\geq \deg G$ となってしまうので、 $Q(X)=0, R(X)=F(X)$ と一意的に定まる。

$m\geq \deg G$ かつ $\deg F\leq m-1$ について定理が正しいとし、$\deg F=m$ の場合を考える。 $$F(X)=a_m X^m+a_{m-1} X^{m-1}+\cdots +a_0, G(X)=b_n X^n+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots +b_0$$ とし、 $b_n$ は $A$ の単元であるとする。 定理 1より、$\deg (QG)\neq \deg F$ ならば $\deg R=\max\{\deg(QG), \deg F\}\geq \deg G$ となってしまうので $\deg (QG)=\deg F$ つまり $$\deg Q=\deg F-\deg G=m-n$$ となる。また $$\deg R\leq (\deg G)-1=n-1\leq m-1$$ となる。よって$R(X)=F(X)-Q(X)G(X)$ の $m$ 次の係数は $0$ だから、$Q(X)$ の $m-n$ 次の係数は $a_m/b_n$ に一致する。

逆に、$Q(X)$ の $m-n$ 次の係数が $a_m/b_n$ に一致するとする。 $$\begin{split} F(X)-\frac{a_m X^{m-n}G(X)}{b_n}= & (a_m X^m+a_{m-1} X^{m-1}+\cdots +a_0)-\frac{a_m (b_n X^m+b_{n-1} X^{m-1}+\cdots +b_0 X^{m-n})}{b_n} \\ = & \left(a_{m-1}-\frac{a_m b_{n-1}}{b_n}\right)X^{m-1}+\cdots +\left(a_{m-n}-\frac{a_m b_0}{b_n}\right)X^{m-n}+a_{m-n-1} X^{m-n-1}+\cdots +a_0 \end{split}$$ は $m-1$ 次以下の多項式であるから 帰納法の仮定より $$F(X)-\frac{a_m X^{m-n}G(X)}{b_n}=Q_1(X)G(X)+R(X) \deg R<\deg G$$ となる多項式 $Q_1(X), R(X)\in A[X]$ が一意的に定まる。よって $$F(X)=\left(\frac{a_m X^{m-n}}{b_n}+Q_1(X)\right)G(X)+R(X), \deg R<\deg G$$ となる。このことから $$Q(X)=\frac{a_m X^{m-n}}{b_n}+Q_1(X)$$ と一意的に定まる。

□

このことから、すぐに次のことがわかる。

定理 3

$P(X), Q(X)\in A[X]$ で $Q(X)$ の最高次の係数が $A$ の単元とし、$P(X)$ を $Q(X)$ で割った余りを $R(X)$ とおく。 $\alpha\in A$ で $Q(\alpha)=0$ ならば $P(\alpha)=R(\alpha)$.

とくに $P(X)$ を $X-\alpha$ で割った余りは $P(\alpha)$ に一致する。

$(X-\alpha)^n\mid P(X)$ だが、$(X-\alpha)^{n+1}\not\mid P(X)$ となる整数 $n$ を $\alpha$ の重複度という。 定理 3より、$\alpha$ が $P(X)=0$ の解 $\Longleftrightarrow$ $\alpha$ の重複度が正となる。

体上の多項式の解の個数について、上からの評価が成り立つ。

定理 4

$\K$ が体で $P(X)\in \K[X]$ が次数 $n\geq 0$ の多項式のとき $$P(X)=0$$ は $\K$ 上に重複度も含めて多くとも $n$ 個の解しかもたない。 また、$\K$ が代数閉体ならば、この解の個数は重複度も含めて $n$ と一致する。

Proof.

$n=0$ のとき $P(X)=b, b\neq 0$ は解をもたない。 次数 $m-1$ までの多項式について定理が正しいとし、$\deg P=m$ の場合を考える。 $P(X)=0$ が $\K$ に解をもたなければ問題ない。$P(\alpha)=0$ となる $\alpha\in\K$ をひとつとり （$\K$ が代数閉体で $m\geq 1$ ならば、そのような $\alpha$ が必ず存在する）、 $\alpha$ の重複度を $k$ とおくと定理 3より $k\geq 1$ で $$P(X)=(X-\alpha)^k Q(X)$$ となる多項式 $Q(X)$ がとれる。$\beta\neq\alpha, P(\beta)=0$ となる $\beta\in\K$ が存在するとき $K$ は体なので $$Q(\beta)=P(\beta)/(\beta-\alpha)^k=0$$ より $\beta$ は $$Q(X)=0$$ の解である。 $\deg Q(X)=(\deg P(X))-1=m-k$ なので、帰納法の仮定より、この解の個数は重複度も含めて $m-k$ 個以下であるから、 $P(X)=0$ の解の個数は重複度も含めて $m$ 個以下である（$\K$ が代数閉体ならばそれぞれ、解の個数は重複度も含めて $m-k, m$ に一致する）。

□

除法の原理から、自然数の場合と同様に体上の多項式についてEuclidの互除法が可能となる。

定理 5 (Euclidの互除法)

体 $\K$ 上の2つの多項式 $F(X), G(X)\in \K[X], \deg F\geq \deg G\geq 0$ について $P_0(X)=F(X), P_1(X)=G(X)$ とし $$\begin{split} P_0(X)= & Q_1(X)P_1(X)+P_2(X) (0\leq \deg P_2<P_1), \\ P_1(X)= & Q_2(X)P_2(X)+P_3(X) (0\leq \deg P_3<P_2), \\ \ldots \\ P_{k-1}(X)= & Q_k(X)P_k(X)+P_{k+1}(X) (0\leq \deg P_{k+1}<a_k), \\ \ldots \end{split}$$ となる多項式 $Q_1(X), P_2(X), Q_2(X), P_3(X), \ldots$ を $P_{s+1}(X)=0$ となるまで繰り返しとっていくと、 $$P_{s-1}(X)=Q_s(X) P_s(X), P_{s+1}(X)=0$$ となる $s$ が必ず存在する、さらにその場合 $P_s(X)$ は $F(X), G(X)$ をともに割り切り、また $F(X), G(X)$ をともに割り切る多項式は $P_s(X)$ を割り切る。

また、$F(X), G(X)\in A[X]$ が環上の多項式であるときでも各 $P_1(X)=G(X), P_2(X), \ldots$ の最高次の係数が $A$ の単元であるときは 除法の原理から、 $$P_{k-1}(X)=Q_k(X)P_k(X)+P_{k+1}(X) (0\leq \deg P_{k+1}<a_k)$$ となる $Q_k(X), P_{k+1}(X)\in A[X]$ がとれる。このようにして $$P_{s-1}(X)=Q_s(X) P_s(X), P_{s+1}(X)=0$$ となるところまで続けられたとき、$P_s(X)$ は $A[X]$ において $F(X), G(X)$ をともに割り切る。

既約多項式

定義

$P(X)\in A[X]$ に対して $$P(X)=Q(X)R(X), 1\leq \deg Q, \deg R\leq (\deg P)-1$$ となる多項式 $Q(X), R(X)\in A[X]$ が存在するとき $P(X)$ を可約といい、そうでないとき既約という。

一意分解

$\K$ が体ならば $\K[X]$ は $\deg P$ に関してEuclid整域であるから $\K[X]$ は単項イデアル整域となり、一意分解整域である。 すなわち、体上の多項式は既約多項式の積に（順序と定数倍を除いて）一意的に因数分解できる。 具体的には、倍数と約数:定理2.3、倍数と約数:初等整数論の基本定理、素数:初等整数論の基本定理の証明と同様にして、次のことがわかる。

定理 6

$I\subset \K[X]$ が体 $\K$ 上の多項式の集合で、$P(X)\in I, Q(X)\in A[X]$ ならば $P(X)Q(X)\in I$ となり $P(X), Q(X)\in I$ ならば $P(X)+Q(X)\in A[X]$ となるとする。このとき $I$ に含まれる最低次数の多項式 $P(X)$ をひとつとると、$I$ は $P(X)$ で割り切れる多項式全体の集合と一致する。

定理 7

$P(X), Q(X), R(X)\in\K[X]$ が体 $\K$ 上の多項式で、$P(X)$ と $Q(X)$ をともに割り切る多項式は定数しかなく、かつ $P(X)\mid Q(X)R(X)$ ならば $P(X)\mid Q(X)$.

定理 8 (既約多項式分解の一意性)

体 $\K$ 上の任意の $0$ 以外の多項式 $F(X)\in \K[X]$ に対して $$F(X)=c(P_1(X))^{e_1}(P_2(X))^{e_2}\cdots (P_r(X))^{e_r}$$ となる $\K[X]$ のモニックな既約多項式 $P_1(X), \ldots, P_r(X)$ と正の整数 $e_1, \ldots, e_r$ および $c\in \K$ が、添え字の置換を除いて一意的に定まる。

原始多項式

$A$ が一意分解整域で、$\K$ がその商体とする。 $$P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0\in \K[X]$$ に対して $$c(P)=\gcd(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0)$$ を、多項式 $P(X)$ の内容という。具体的には、 $A$ の、互いに同伴でない素元 $p_1, p_2, \ldots$ に対して $$a_i=\epsilon_i \prod_j p_j^{e_{ij}}, e_{ij}\in\Z, \epsilon_i\in A^*$$ と素元分解されるとき（$e_{ij}$ は負の整数の場合もありうる）、 $$c(P)=\gcd(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0)=\prod_j p_j^{\min\{e_{0j}, \ldots, e_{nj}\}}$$ と定める。$c(P)$ は素元の選び方に依存するが、単元倍を除けば一意的に定まる。 素元を予め選んでおけば $c(P)$ は一意的に定まる（たとえば $A=\Z$ のときは正の素元、すなわち素数を選べばよい）。 $P(X)\in A[x]$ ならば $c(P)\in A$ となる。

$c(P)=1$ のとき、つまり係数全体が互いに素なとき、$P(X)$ を原始多項式という。 $$a_k=c(P)b_k \quad (k=0, 1, \ldots, n)$$ とおくと $$P(X)=c(P)(b_n X^n+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots +b_0)$$ となって、$b_n X^n+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots +b_0$ は原始多項式となる。 逆に $Q(X)$ が原始多項式で $P(X)=bQ(X)$ とおくと、$c(P)=sb$ となる単元 $s$ が存在する。

一意分解整域上では、原始多項式の積も原始多項式であることがわかる。

定理 9

$A$ が一意分解整域で $P(X), Q(X)\in \K[X]$ ならば $c(P)c(Q)=c(PQ)$. とくに $P(X), Q(X)$ が原始多項式ならば $P(X)Q(X)$ も原始多項式。

Proof.

$$P(X)=c(P)P_1(X), Q(X)=c(Q)Q_1(X)$$ とおくと、$P_1(X), Q_1(X)$ は原始多項式、$R(X)=P_1(X)Q_1(X)\in A[X]$ で $$P(X)Q(X)=c(P)c(Q)R(X)$$ となる。

$c(R)\neq 1$ とする。$R(X)\in A[X]$ だから $c(R)\in A$ となる。 $A$ は一意分解整域なので $c(R)$ を割り切る素元 $p\in A$ がとれる。 一方 $$P_1(X)=a_m X^m+a_{m-1} X^{m-1}+\cdots +a_0, Q_1(X)=b_n X^n+b_{n-1} X^{n-1}+\cdots +b_0$$ は原始多項式だから $a_i \quad (i=0, 1, \ldots, m)$ のなかには $p$ で割り切れないものが少なくともひとつ存在し、 $b_j \quad (j=0, 1, \ldots, n)$ のなかにも $p$ で割り切れないものが少なくともひとつ存在する。 そこで $p\not\mid a_s$ となる最小の $s$ と $p\not\mid b_t$ となる最小の $t$ をとる。 $$P_1(X)=a_m X^m+\cdots +a_s X^s+p(k_{s-1} X^{s-1}+\cdots k_0), Q_1(X)=b_n X^n+\cdots +b_t X^t+p(\ell_{t-1} X^{t-1}+\cdots \ell_0)$$ となる整数 $k_0, \ldots, k_{s-1}, \ell_0, \ldots, \ell_{t-1}$ がとれるので $$P_1(X)=F(X)X^s+pU(X), Q_1(X)=G(X)X^t+pV(X)$$ となる多項式 $F(X), G(X), U(X), V(X)$ がとれる。ただし $\deg U<s, \deg V<t$ で、$F(X), G(X)$ の定数項は $p$ で割り切れない。 よって $$R(X)=P_1(X)Q_1(X)=F(X)G(X)X^{s+t}+p(F(X)X^s+G(X)X^t+pU(X)V(X))$$ となるので、$R(X)$ の $X^{s+t}$ の係数は $p$ で割り切れない。これは $p\mid C(R)$ に矛盾する。

よって $c(R)=1$ でなければならず、 $$c(PQ)=c(c(P)c(Q)R(X))=c(P)c(Q)$$ となる。

□

ここから、$A$ 上の因数分解と $K$ 上の因数分解が結びつけられる。

定理 10 (Gaussの補題)

$A$ が一意分解整域、$\K$ がその商体で $P(X)\in A[X]$ が $A$ 上既約ならば、$P(X)$ は $\K$ 上でも既約。

Proof.

$P(X)$ が $\K$ 上可約とすると $P(X)=c(P)P_1(X)$ とおくと、 $P_1(X)=(1/c(P))P(X)$ は $\K$ 上可約な原始多項式で $$P_1(X)=Q(X)R(X), Q(X), R(X)\in \K[X]$$ と因数分解できる。$Q(X)=c(Q)Q_1(X)$ とくと $Q_1(X)$ は原始多項式で $$P_1(X)=Q_1(X)R_1(X), Q_1(X), R_1(X)\in \K[X]$$ となる。 定理 9より $$c(R_1)=c(P_1)/c(Q_1)=1$$ だから $R_1(X)$ も原始多項式で、 $$P(X)=c(P)Q_1(X)R_1(X)$$ と、因数分解される。$P(X)\in A[X]$ だから $c(P)\in A$ なので、 $P(X)$ は $A$ 上可約。

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これによって、一意分解整域上の多項式環も一意分解整域となることが分かる。

定理 11 (Gaussの補題)

$A$ が一意分解整域ならば、$A[X]$ も一意分解整域。すなわち任意の $0$ 以外の多項式 $F(X)\in A[X]$ に対して $$F(X)=c(F)(P_1(X))^{e_1}(P_2(X))^{e_2}\cdots (P_r(X))^{e_r})$$ となる $A[X]$ の既約な原始多項式 $P_1(X), \ldots, P_r(X)$ と正の整数 $e_1, \ldots, e_r$ が、添え字の置換と単元倍を除いて一意的に定まる。

Proof.

定理 8より $P(X)$ は $\K[X]$ で $$F(X)=b(Q_1(X))^{e_1}(Q_2(X))^{e_2}\cdots (Q_r(X))^{e_r}$$ と、$K[X]$ 上のモニックな既約多項式 $Q_1(X), \ldots, Q_r(X)$ と定数 $b$ の積に、添え字の置換を除いて一意的に分解される。 $$Q_i(X)=c(Q_i)P_i(X) \quad (i=1, 2, \ldots, r)$$ とおくと、各 $P_i(X)$ は $A$ 上の原始多項式で $$F(X)=b_1(P_1(X))^{e_1}(P_2(X))^{e_2}\cdots (P_r(X))^{e_r}$$ となる。各 $P_i(X)$ は $A$ 上の原始多項式だから $b_1=c(F)\in A$ となる。

逆に、 $$F(X)=b_1(P_1(X))^{e_1}(P_2(X))^{e_2}\cdots (P_r(X))^{e_r}$$ となる $A[X]$ の既約な原始多項式 $P_1(X), \ldots, P_r(X)$ と正の整数 $e_1, \ldots, e_r$ をとると $b_1=c(F)$ でなければならない。さらに、定理 10より $P_1(X), \ldots, P_r(X)$ は $\K$ 上でも既約だから、 $Q_i(X)=a_i P_i(X)$ となる多項式 $Q_i$ をとると、$Q_i$ はモニックな多項式で $$F(X)=c(F) \left(\prod_{i=1}^r a_i^{e_i}\right) (Q_1(X))^{e_1}(Q_2(X))^{e_2}\cdots (Q_r(X))^{e_r}$$ となるから、$Q_1(X), \ldots, Q_r(X), e_1, e_2, \ldots, e_r$ は添え字の置換を除いて一意的に定まる。 よって $P_i(X)=Q_i(X)/c(Q_i)$ も添え字の置換を除いて一意的に定まる。

□

多項式の公約数

定理 6 より、$\K$ 上の多項式 $P_1(X), P_2(X), \ldots, P_k(X)\in \K[X]$ に対して、 $$I=\{Q_1(X)P_1(X)+Q_2(X)P_2(X)+\cdots +Q_k(X)P_k(X)\mid Q_1(X), Q_2(X), \ldots, Q_k(X)\in \K[X]\}$$ とおいたとき、 $I$ に含まれる最低次数の多項式 $F(X)$ をひとつとると $I$ は $F(X)$ で割り切れる多項式全体の集合と一致する。

定理 12

上記のようにして $F(X)$ を定めると、 $G(X)\in\K[X]$ が各 $P_i(X)$ を割り切る $\Longleftrightarrow$ $G(X)\mid F(X)$.

Proof.

$F(X)$ は各 $P_i(X) \quad (i=1, 2, \ldots, k)$ を割り切るから、$G(X)$ が $F(X)$ を割り切るならば $G(X)$ も各 $P_i(X) \quad (i=1, 2, \ldots, k)$ を割り切る。

逆に $G(X)\in K[X]$ が各 $P_i(X) \quad (i=1, 2, \ldots, k)$ を割り切るとき、$G(X)$ は $$Q_1(X)P_1(X)+Q_2(X)P_2(X)+\cdots +Q_k(X)P_k(X) \quad (Q_1(X), Q_2(X), \ldots, Q_k(X)\in \K[X])$$ の形の多項式をすべて割り切るので、とくに $G(X)$ は $F(X)$ を割り切る。

□

そこで、このような多項式のうちモニックなものを $P_1(X), P_2(X), \ldots, P_k(X)$ の最大公約多項式と定め、 $\gcd(P_1(X), P_2(X), \ldots, P_k(X))$ であらわす。 $k=2$ の場合、定理 5を用いて得られる多項式は最大公約多項式の定数倍となる。

多項式の微分

$$P(X)=a_n X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots +a_0\in R[X]$$ に対し、 $$\frac{d}{dX}P(X)=P^\prime(X)=n a_n X^{n-1}+(n-1) a_{n-1} X^{n-2}+\cdots +a_1$$ を $P(X)$ の微分という。通常の微分と同様に、次の関係式が成り立つ。

定理 13

$$(kP(X)+\ell Q(X))^\prime=kP^\prime(X)+\ell Q^\prime(X),$$ $$(P(X)Q(X))^\prime=P^\prime(X)Q(X)+P(X)Q^\prime(X),$$ $$\frac{d}{dX}P(Q(X))=P^\prime(Q(X))Q^\prime(X).$$

定理 14

$(Q(X))^2\mid P(X)$ ならば $Q(X)\mid P^\prime(X)$.

Proof.

$P(X)=Q(X)^2 R(X)$ とおくと $$\begin{split} P^\prime(X)= & ((Q(X))^2 R(X))^\prime \\ = & Q^\prime(X)Q(X)R(X)+Q(X)Q^\prime(X)R(X)+(Q(X))^2 R^\prime(X) \\ = & Q(X)(2Q^\prime(X)R(X)+Q(X)R^\prime(X)). \end{split}$$

□

このことから $\gcd(P(X), P^\prime(X))=1$ ならば $P(X)$ は平方因数をもたないことがわかる。

この逆は一般には成り立たないが、$Q(X)=X-a$ のときは成り立つ。

定理 15

$(X-a)\mid P(X), P^\prime(X)$ ならば $(X-a)^2\mid P(X)$. つまり $P(a)=P^\prime(a)=0$ ならば $(X-a)^2\mid P(X)$.

Proof.

$(X-a)\mid P(X), P^\prime(X)$ と仮定し、$P(X)=(X-a)Q(X)$ とおくと $$P^\prime(X)=(X-a)Q^\prime(X)+Q(X)$$ より $$Q(X)=P^\prime(X)-(X-a)^\prime(X)$$ も $X-a$ で割り切れるから、$P(X)=(X-a)Q(X)$ は $(X-a)^2$ で割り切れる。

□

多変数の多項式

多変数の多項式については、多項式による方程式 $F(X_1, \ldots, X_n)=0$ の解は有限個であるとは限らない。しかし $\K$ が無限個の要素からなる体のときは、このような方程式の解とならない $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ が存在することがいえる。

定理 16

$\K$ が無限個の要素からなる体のとき、任意の多項式 $g_1, \ldots, g_r\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ について $$g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$$ となる $\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in \K$ が存在する。

Proof.

$n$ に関する帰納法により証明する。定理 4より各方程式 $g_i(X)=0$ は有限個の解しかもたないが、 $\K$ は無限個の要素からなるから、 $$g_i(\alpha_1)\neq 0$$ がすべての $i=1, \ldots, r$ に対して成り立つ $\alpha_1\in\K$ が存在する。

$n=m$ について定理が成立するとする。 各 $i=1, \ldots, r$ に対し、$g_i(X_1, X_2, \ldots, X_{m+1})$ の、$X_{m+1}$ に関する最高次の項を $f_i(X_1, \ldots, X_m)X_{m+1}^{d_i}$ とおく。 帰納法の仮定より、どの $i=1, \ldots, r$ についても $f_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)\neq 0$ となる $\alpha_1, \ldots, \alpha_m\in\K$ が存在する。 各 $i=1, \ldots, r$ に対し、$g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, X)$ は正確に $d_i$ 次の多項式だから、$X$ に関する方程式 $$g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, X)=0$$ は高々 $d_i$ 個の解しかもたない。 $\K$ は無限個の要素からなるから、どの $i=1, \ldots, r$ に対しても $g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{m+1})\neq 0$ となる $\alpha_{m+1}\in\K$ がとれる。よって、定理が $n=m+1$ についても成り立つ。$n$ に関する帰納法より、定理は任意の正の整数 $n$ について成り立つ。

□

とくに、任意の体 $k$ について、$\K$ を $k$ の代数閉包とすれば、$\K$ は無限個の要素をもつから（仮に $\K=\F_p$ が有限体でも、有限体:有限体の構造で記したように、$\overline{\K}=\cup_{e\geq 1}\F_{p^e}$ は無限個の要素からなる）、任意の多項式 $g_1, \ldots, g_r\in k[X_1, \ldots, X_n]$ について $$g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$$ となる $\alpha_1, \ldots, \alpha_n\in\K$ が存在する。

参考文献

この記事の執筆にあたっては、Serge Lang, Algebra, Revised 3rd edition, Graduate Texts in Mathematics 211, Springer, 2002, Chapter IV を参考とした。