環として有限生成な体の拡大は代数拡大

$\L=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とおく。$n$ に関する帰納法で証明する。

$1.$ まず、$n=1$ のとき、$\varphi(X)=v_1$ となる準同型 $\varphi\colon \K[X] \to \L$ をとる。 多項式環:既約多項式 あるいは 入門テキスト「環論の基礎」多項式環の命題10 より $\K[X]$ はPIDだから、$\Ker\ \varphi=(f)$ となる $f\in \K[X]$ が存在する。
$f=0$ のとき、$\K[v_1]$ は $\K[X]$ と同型なので、$\L=\K(v_1)$ は $\K(X)$ と同型であるが、これは 体上有限生成環 より環として有限生成でないので仮定に反する。
よって、$f\neq 0$ となる。$\K[X]/(f)$ は $\L=\K[v_1]$ と同型だが、これは整域なので、$(f)$ は素イデアルとなる。よって $f$ は既約であるが、$\K[X]$ はPIDなので、 「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.6 より、$(f)$ は極大イデアルとなる。
よって、$\K[v_1]$ は体だから、$\L=\K(v_1)=\K[v_1]$ は $\K[X]/(f)$ と同型である。これは、$\L=\K(v_1)$ が $\K$ の有限次拡大体であること、つまり$\K$ 上加群として有限生成であることを示している。

$2.$ $n\leq m-1$ について正しいとし、$n=m$ のとき証明する。
$\K_1=\K(v_m)$ とおく。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体である。$v_m$ が $\K$ 上代数的ならば、$\K_1$ は $\K$ の有限次拡大体だから、拡大次数の連鎖律（たとえば 入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論の命題5 ）より $\L$ も $\K$ の有限次拡大体である。

そこで、$v_m$ が $\K$ 上代数的ではないとする。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体であり、$v_m\in \K_1$ だから、各 $v_i$ は $\K_1$ 上代数的である。
$$g_i(X)=X^{d_i}+a_{i, 1}X^{d_i-1}+\cdots +a_{i, d_i}$$
を $v_i$ の $\K_1$ 上の最小多項式とする。すべての係数 $a_{i, j}\ (1\leq i\leq m, 0\leq j\leq d_i-1)$ の分母の最小公倍数を $A$ とおくと、
$$(Av_i)^{d_i}+Aa_{i, 1}(Av_i)^{d_i-1}+\cdots +A^{d_i} a_{i, d_i}=A^{d_i}g_i(v_i)=0$$
となるが、$A$ のとり方から、$a_{i, j}\in \K[v_m]$ となるから、各 $Av_i$ は $\K[v_m]$ 上整である。
よって、任意の $z\in \K[v_1, \ldots, v_m]$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。とくに、
$$\K(v_m)\subset \K(v_1, \ldots, v_m)=\K[v_1, \ldots, v_m]$$
だから、任意の $z\in \K(v_m)$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。
$v_m$ は $\K$ 上代数的ではないので、$\K[v_m]$ は多項式環 $\K[X]$ と同型、$\K(v_m)$ は有理関数体 $\K(X)$ と同型であるから、任意の $z\in \K(X)$ について、$A^N z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $N$ がとれることになるが、これは 前節の補題2 に矛盾する。

これらのことから、数学的帰納法により、定理が $\K$ の任意の有限生成環について証明できる。