2-2 局所環とgerm

$(U,s)$ は $U$ 上で自分自身と一致するので反射的です。$s=t$ なら $t=s$ なので対称的です。
$(U,s)$ と $(V,t)$ が $W_1$ 上で一致し、$(V,t)$ と $(Z,u)$ が $W_2$ 上で一致するとします。$W_1\cap W_2$ は $p$ を含むopen neighborhoodであり、その上で
$$ s=t=u. $$
従って $(U,s)$ と $(Z,u)$ も同値で、推移的です。□

$(U,s)\sim(U',s')$、$(V,t)\sim(V',t')$ とします。ある $p$ の近傍 $W_s\subseteq U\cap U'$ 上で $s=s'$、ある近傍 $W_t\subseteq V\cap V'$ 上で $t=t'$ です。$W_s\cap W_t$ 上で
$$ s+t=s'+t',\qquad st=s't'. $$
従って和と積はrepresentativeによらずwell-definedです。
結合則・交換則・分配則は、有限個のgermのrepresentativeを全ての定義域の共通部分へ制限し、その上の関数環の環公理を適用すれば従います。零元は零関数のgerm、単位元は定数関数1のgermです。□

評価写像は定数関数を全ての $c\in k$ へ送るのでsurjectiveです。第一同型定理から
$$ A/\ker(\operatorname{ev}_p)\cong k. $$
右辺は体なのでkernel $\mathfrak m_p$ はmaximal idealです。□

まずwell-defined性を示します。$a/b=a'/b'$ in $A_{\mathfrak m_p}$ なら、ある $u\notin\mathfrak m_p$ に対し
$$ u(ab'-a'b)=0. $$
$u(p),b(p),b'(p)$ は全て非零です。従って
$$ D_X(ubb') $$
は $p$ を含むopen neighborhoodです。この上で $u,b,b'$ を点ごとに割ることができ、上の等式から $a/b=a'/b'$ です。従って二つの分数は同じgermを与えます。環準同型であることも共通分母の計算から従います。
surjectivityを示します。germ $\alpha=[U,s]_p$ を取ります。主開集合基底から、ある $g\in A$ が
$$ p\in D_X(g)\subseteq U $$
を満たします。「局所化と主開集合」の主開集合の関数環定理により
$$ s|_{D_X(g)}=\frac{a}{g^n} $$
となる $a\in A$、$n\ge0$ があります。$g(p)\ne0$ なので $g^n\notin\mathfrak m_p$ であり、$a/g^n\in A_{\mathfrak m_p}$ です。その像は $\alpha$ です。
injectivityを示します。$\Theta_p(a/b)=0$ とします。零germであるため、あるopen neighborhood $W$ of $p$ 上で $a/b=0$ です。主開集合基底を使い
$$ p\in D_X(h)\subseteq W\cap D_X(b) $$
となる $h\in A$ を取れます。$D_X(h)$ 上で $a=0$ です。従って積 $ha$ は、$D_X(h)$ 上では $a=0$ により、その補集合では $h=0$ により、$X$ 全体で0になります。$A=k[X]$ はreducedなので
$$ ha=0\quad\text{in }A. $$
$h(p)\ne0$ なので $h\notin\mathfrak m_p$ です。局所化の零判定から $a/b=0$ in $A_{\mathfrak m_p}$ です。従って $\Theta_p$ はinjectiveです。□

unitはproper idealに入らないので $\mathfrak m$ の元は全てnonunitです。逆に $a\notin\mathfrak m$ とします。ideal $(\mathfrak m,a)$ は $\mathfrak m$ を真に含むので、maximal性から全環です。従って
$$ 1=m+ra\qquad(m\in\mathfrak m,\ r\in R). $$
もし $1-m$ がnonunitなら、あるmaximal ideal $\mathfrak n$ に含まれます。localityから $\mathfrak n=\mathfrak m$ なので、$m$ と $1-m$ の和1が $\mathfrak m$ に入り矛盾します。従って $1-m=ra$ はunitであり、積 $ra$ がunitなら $a$ もunitです。
逆にnonunit全体 $N$ がidealなら $N$ はproperです。$a\notin N$ はunitなので、$N$ を真に含むproper idealは存在しません。従って $N$ はmaximalです。任意のmaximal idealはunitを含めないので $N$ に含まれ、maximal性から $N$ に等しいです。□

$a/b\in A_{\mathfrak m_p}$ を取ります。$a(p)\ne0$ なら $a\notin\mathfrak m_p$ なので $a$ も分母にでき、
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}. $$
従ってunitです。
$a(p)=0$ とし、$a/b$ がunitだと仮定します。ある $c/d$ がinverseなら
$$ \frac{ac}{bd}=1. $$
局所化の等号条件から、ある $u\notin\mathfrak m_p$ に対し
$$ u(ac-bd)=0. $$
$p$ で評価すると左側の括弧は
$$ a(p)c(p)-b(p)d(p)=-b(p)d(p)\ne0 $$
ですが $u(p)\ne0$ なので積は非零となり矛盾です。従って $a(p)=0$ の元はnonunitです。
以上からnonunit全体が $\mathfrak m_{X,p}$ です。これは分数の和と積についてidealであり、local ringのunit判定から唯一のmaximal idealです。また分子が $\mathfrak m_p$ に入る分数全体なので $\mathfrak m_pA_{\mathfrak m_p}$ に等しいです。□

分母は $p$ で非零なので評価は定義でき、分数の等号を評価すればwell-definedです。定数germを含むのでsurjectiveです。
$a/b$ の値が0であることは $a(p)=0$ と同値であり、これは $a/b\in\mathfrak m_{X,p}$ と同値です。従ってkernelが示され、第一同型定理から商は $k$ と同型です。□

$(U,s)$ と $(V,t)$ が $q$ の近傍 $W$ 上で一致すれば、$\varphi^{-1}(W)$ は $p$ の近傍であり、その上で $s\circ\varphi=t\circ\varphi$ です。従ってgermの像はrepresentativeによらずwell-definedです。和と積を保つことは関数の合成から従います。
germ $[U,s]_q$ の像が $\mathfrak m_{X,p}$ に入ることは
$$ (s\circ\varphi)(p)=0 $$
と同値です。$\varphi(p)=q$ なので、これは $s(q)=0$、すなわち元のgermが $\mathfrak m_{Y,q}$ に入ることと同値です。従ってmaximal idealの逆像は $\mathfrak m_{Y,q}$ です。□