正規変換の対角化

正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで、各 $i=1, \ldots, n$ について $f(\Bv_i)=k_i\Bv_i$ となる $k_i$ が存在するとき、 随伴変換と随伴行列:定理3 より $f^*(\Bv_i)=\overline{k_i}\Bv_i$ となるから、
$$f(f^*(\Bv_i))=\abs{k_i}^2\Bv_i=f^*(f(\Bv_i))$$
より、$f$ と $f^*$ は可換。つまり $f$ は正規変換となる。
逆に $f$ が正規変換ならば、 線形写像で安定な部分空間 について述べたように、ある正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで
$f$ の表現行列 $A$ は上三角行列となる。つまり
$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ \Huge{O} & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$
となる。
このとき
$$A^*=\begin{pmatrix} \overline{a}_{11} & & & \Huge{O} \\ \overline{a}_{12} & \overline{a}_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \overline{a}_{1n} & \overline{a}_{2n} & \cdots & \overline{a}_{nn}\end{pmatrix}$$
となるが、 正規変換:定理1 より、$A$ は正規行列なので、$$A^* A=AA^*$$ となる。$A^* A$ の $(1, 1)$ 成分は
$$a_{11}\overline{a}_{11}=\abs{a_{11}}^2$$
に一致する一方、$AA^*$ の $(1, 1)$ 成分は
$$a_{11}\overline{a}_{11}+a_{12}\overline{a}_{12}+\cdots +a_{1n}\overline{a}_{1n}=\abs{a_{11}}^2+\abs{a_{12}}^2+\cdots +\abs{a_{1n}}^2$$
となるから、
$$\abs{a_{12}}^2+\cdots +\abs{a_{1n}}^2=0$$
となるので、
$$a_{12}=\cdots =a_{1n}=0$$
となる。
そこで、$r=2, \ldots, n$ について $i\leq r-1, i< j\leq n$ のとき、つねに $a_{ij}=0$ となると仮定すると、
$A^* A$ の $(r, r)$ 成分はこの仮定より
$$a_{1r}\overline{a}_{1r}+\cdots +a_{rr}\overline{a}_{rr}=\abs{a_{1r}}^2+\abs{a_{2r}}^2+\cdots +\abs{a_{rr}}^2=\abs{a_{rr}}^2$$
となる一方、
$AA^*$ の $(r, r)$ 成分は
$$a_{rr}\overline{a}_{rr}+\cdots +a_{rn}\overline{a}_{rn}=\abs{a_{rr}}^2+\abs{a_{r, r+1}}^2+\cdots +\abs{a_{rn}}^2$$
となるから、
$$\abs{a_{r, r+1}}^2+\cdots +\abs{a_{rn}}^2=0$$
より
$$a_{r, r+1}=\cdots=a_{r, n}=0$$
となる。
このことから、数学的帰納法により $i< j$ のとき $a_{ij}=0$ となるので、$A$ は対角行列となる。すなわち $f$ はある正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで対角化される。

$f$ の固有ベクトルを $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ とし、各 $\Bu_i$ の固有値を $k_i$ とおく。$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ は $V$ の基底で、この基底に関する表現行列を $A$ とおくと、$A$ は $k_1, \ldots, k_n$ を対角成分にもつ対角行列だから、$A^*=\overline{A}$ となる。$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ は $V$ の基底であるから、
$$f=f^* \Longleftrightarrow f^*(\Bu_i)=k_i\Bu_i ~ (i=1, \ldots, n) \Longleftrightarrow \overline{k_i}=k_i ~ (i=1, \ldots, n) \Longleftrightarrow k_1, \ldots, k_n\in\R$$
となる。また、$A$ は正則行列だから、
$$A^* A=E\Longleftrightarrow A^*=A^{-1}\Longleftrightarrow \overline{k_i}=1/k_i ~ (i=1, \ldots, n) \Longleftrightarrow \abs{k_1}=\cdots =\abs{k_n}=1$$
となる。