2-5 基底と座標

読み始める前の問い

同じ多項式を係数列でも値の組でも記録できる。どちらが「本当の座標」なのだろうか。
このページでできるようになること
基底を選んで抽象的な対象を一意な数列へ圧縮し、基底による座標の違いを計算できるようになる。
すべてを表せるだけでは係数が一意とは限らず、独立なだけではすべてを表せるとは限りません。二つを同時に満たす基底が、抽象的なベクトルを数の列へ翻訳します。

基底

$V$ を生成する線形独立なベクトル列 $B=(v_1,\ldots,v_n)$ を $V$ の基底という。

証明を読む前の見取り図

生成性で表示の存在を、独立性で表示の一意性を示す。

座標の存在と一意性

$B=(v_1,\ldots,v_n)$ が基底なら、任意の $v\in V$ に対して
$$ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n $$
となる係数はただ一組存在する。

基底は $V$ を生成するので係数は少なくとも一組存在する。二組の表示があるなら、差を取って
$$ (a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_n-b_n)v_n=0. $$
基底は独立なので各 $a_i-b_i=0$、すなわち $a_i=b_i$。よって一意である。

係数列を
$$ [v]_B=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} $$
と書き、$B$ に関する座標と呼びます。

多項式の二つの座標

$V=\mathbb{R}[t]_{\le2}$ の標準基底 $B=(1,t,t^2)$ に関して
$$ p(t)=2-3t+5t^2 $$
の座標は $(2,-3,5)^{\mathsf T}$ です。
別の基底 $C=(1,1+t,(1+t)^2)$ を使い
$$ p=\alpha+\beta(1+t)+\gamma(1+2t+t^2) $$
と置きます。係数比較により
$$ \gamma=5, \qquad \beta+2\gamma=-3, \qquad \alpha+\beta+\gamma=2. $$
したがって $\gamma=5,\beta=-13,\alpha=10$ で
$$ [p]_C=\begin{pmatrix}10\\-13\\5\end{pmatrix}. $$
同じベクトルでも座標は基底に依存します。

証明を読む前の見取り図

生成性で表示の存在を、独立性で表示の一意性を示す。

座標写像は線形

$$ \Phi_B\colon V\to K^n, \qquad v\mapsto[v]_B $$
は加法とスカラー倍を保ち、全単射である。

$[u]_B=(a_i)$、$[v]_B=(b_i)$ なら
$$ cu+dv=\sum_i(ca_i+db_i)v_i $$
で、座標の一意性から $[cu+dv]_B=c[u]_B+d[v]_B$。任意の列 $(a_i)$ は $\sum_i a_iv_i$ の座標なので全射。座標が同じなら一意性からベクトルも同じなので単射である。

基底の順序

基底は順序付きの列として扱う。$(v_1,v_2)$ と $(v_2,v_1)$ は同じベクトルを含むが、座標の成分順が入れ替わる。

非標準基底の座標

$B=((1,1),(1,-1))$ に関する $(4,2)$ の座標を求めよ。

解答

$a(1,1)+b(1,-1)=(a+b,a-b)=(4,2)$。二式を足して $2a=6$ だから $a=3$、差から $2b=2$ だから $b=1$。よって座標は $(3,1)^{\mathsf T}$。

基底によって座標は得られましたが、基底の本数が選び方で変わらないことはまだ証明していません。次に交換定理を使って示します。