本章では、テキストのコンセプト・概要を説明する。

Introduction

この章では、二元体に親しみがない読者のために速習コースを用意する。 二元体$\mathbb{Z}_2$とは唯二つの要素のみから成る体のことである。二元体は、その計算規則の特異さから、実数体$\mathbb{R}$や複素数体$\mathbb{C}$上の線型代数とは異なる部分を生む。

二元体上の線型代数

この章では、本テキストを通して扱う幾何的対象である単体複体について、諸々の定義を行う。 単体複体とは、単体と呼ばれる図形のピースを"きっちり"と貼り合わせて作られる組合せ的な図形である。

単体複体

単体複体が与えられたとき、その多面体が目に見えるとは限らない。 あるいは目に見えたとしても、その"かたち"を把握することは一般に難しい。 そこで我々は、与えられた単体複体からホモロジーと呼ばれる代数的な量を取り出し、観察することを考える。
この章では、その準備として、単体複体という幾何的対象に対して鎖複体という代数的対象を対応づける。

単体複体から鎖複体へ

この章では、前章で導入した鎖複体を用いて、遂にホモロジー群を定義する。ホモロジーは単体複体に対して定まるベクトル空間の集まりのことである。

鎖複体からホモロジーへ

本テキストでは、ホモロジー理論に親しみのない方を主なターゲットとし、**単体複体の二元体係数ホモロジーという最もシンプルなホモロジー理論の一つ**を紹介する。

テキストを読むにあたっては、集合と写像・線型代数の基本的な取り扱いに慣れているとよい。 たとえば、部分集合族・線型写像の核と像・ベクトル空間の商空間といった概念は頻繁に登場する。 しかし、**位相空間論・環上の加群論の知識は全く必要としない**。それは以下の理由による。

まず、ホモロジー理論とは[[代数的トポロジー]]と呼ばれる分野の一種である。代数的トポロジーとは、幾何的対象から代数的な量を取り出し、それを用いて元々の幾何的対象を調べる分野（またはそれに由来する数学を扱う分野）の総称である。 このとき、ホモロジー理論で扱われる代数的な量のことを**ホモロジー**あるいは**ホモロジー群**というが、ホモロジー群にも様々な種類が存在する。 種類の区別の仕方として、以下に挙げる二つの判断基準がある：

- 第一に、取り扱う幾何的対象の範囲である。最も素朴にはすべての位相空間が考えられるが、扱う範囲を制限することで議論が進みやすくなる。本テキストでは、位相空間の知識がなくてもホモロジー理論に親しめるよう、**単体複体**と呼ばれる組合せ的な対象を取り扱う。
- 第二に、代数的量であるホモロジー群の複雑さである。ホモロジーは一般に環上の加群であるが、環を簡単なものにすることでホモロジー群の計算・その結果が簡単になる。本テキストでは、**二元体**と呼ばれる環の上でホモロジー理論を展開する。二元体は特に体であるので、ホモロジー群は二元体上のベクトル空間ということになる。

現代の代数的トポロジーは、代数的にも幾何的にも大きく抽象化を受けて発展している。 それを学ぶとき、最も抽象的と思われる理論から勉強をスタートすることも一つの道であるが、最も原始的と思われる例から触れてみることも、親しみを持つためには有効なことがある。 本テキストで得た知識・経験が、数学を面白いと思える理由の一つ、あるいはこの先にあるホモロジー理論・代数的トポロジーを学ぶ際の助けとなれば幸いである。

ちなみに、ホモロジー（homology）は英語で「相同性」を表す言葉である。

コンセプト


&&&def 二元体
二元集合 $\{\heartsuit, \clubsuit\}$ 上に、加法 $+$ と乗法 $\cdot$ を

| $+$ | $\heartsuit$ | $\clubsuit$ | 
| --- | --- | --- |
| $\heartsuit$ | $\heartsuit$ | $\clubsuit$ | 
| $\clubsuit$ | $\clubsuit$ | $\heartsuit$ | 

| $\cdot$ | $\heartsuit$ | $\clubsuit$ | 
| --- | --- | --- |
| $\heartsuit$ | $\heartsuit$ | $\heartsuit$ | 
| $\clubsuit$ | $\heartsuit$ | $\clubsuit$ | 

で与えるとき、$\{\heartsuit, \clubsuit\}$ は $\heartsuit$ を加法単位元、$\clubsuit$ を乗法単位元として体となる。この体を**二元体（finite field of order two）***という。
&&&

&&&rem 
- 二元集合$\{\heartsuit, \clubsuit\}$を体にするような演算は、上のものしかないことが分かる。
- デジタル回路に親しみのある読者は、加法が$\mathsf{XOR}$、乗法が$\mathsf{AND}$に見えるかもしれない。実際それは正しいし、デジタル回路には二元体上の線型代数が用いられることがしばしばある。詳しくは[[誤り訂正符号]]を参照されたい。
&&&


&&&rem 表記について
- 以降、$\heartsuit = 0, \ \clubsuit = 1$と書き、$\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$で二元体を表す。二元体はよく $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}, \ \mathbb{F}_2, \ \mathrm{GF}(2)$ などとも表される。
- 二元体においても、$1$を$n$回足したものを$n$と表す。したがって、$0 = 2 = 4 = 6 = \cdots$ であるし、$1 = 3 = 5 = 7 = \cdots$である。
- 二元体においても、$x$の加法逆元を$-x$と表す。したがって、$-1 = 1$ であるし、$3 = -3$でもあるし、$1000 = -1000$でもある。
- 二元体においても、混乱のない限り、乗法の記号$\cdot$を省略する。
&&&


&&&exc 
次の計算を実行し、計算結果を$0$または$1$で（必要なら場合分けを用いて）表せ。ただし、$x$は$\mathbb{Z}_2$の任意の要素とする。
(1)　$3 + 4$
(2)　$5 \cdot 7$
(3)　$4 \cdot (1 + 2 + 3 + \cdots + 100)$
(4)　$x + x$
(5)　$x (x + 1)$
&&&
> 解答：
(1)　$1$
(2)　$1$
(3)　$0$
(4)　$0$
(5)　$0$

二元体とは

本テキストでは、幾何的なモチベーションを主軸に置き、必要に応じて代数的な道具を紹介する。 理論を説明した後に、あるいはしながら、具体例の計算を促していく。

本テキストの構成は以下の通りである。扱う内容で章を区切っているので、分量の多い章も存在する。適宜休息を挟んで読んでもらいたい。 **2023年4月現在でテキストは未完成のため、順番を変更したり内容を追加・削除したりする可能性があります。**

### 2. 二元体上の線型代数
この章では、二元体に親しみがない読者のために速習コースを用意する。 二元体$\mathbb{Z}_2$とは唯二つの要素のみから成る体のことである。二元体は、その計算規則の特異さから、実数体$\mathbb{R}$や複素数体$\mathbb{C}$上の線型代数とは異なる部分を生む。

### 3. 単体複体
この章では、本テキストを通して扱う幾何的対象である単体複体について、諸々の定義を行う。 単体複体とは、単体と呼ばれる図形のピースを"きっちり"と貼り合わせて作られる組合せ的な図形である。

### 4. 単体複体から鎖複体へ
単体複体が与えられたとき、その多面体が目に見えるとは限らない。 あるいは目に見えたとしても、その"かたち"を把握することは一般に難しい。 そこで我々は、与えられた単体複体からホモロジーと呼ばれる代数的な量を取り出し、観察することを考える。
この章では、その準備として、単体複体という幾何的対象に対して鎖複体という代数的対象を対応づける。

### 5. 鎖複体からホモロジーへ
この章では、前章で導入した鎖複体を用いて、遂にホモロジー群を定義する。ホモロジーは単体複体に対して定まるベクトル空間の集まりのことである。

### XXX. ホモロジーの基本的性質
この章では、ホモロジー群の持つ基本的な性質を紹介する。主なトピックは以下の三点である。
- $0$次ホモロジー群の幾何的な意味
- 錐のホモロジー群
- 擬多様体のホモロジー群

### XXX. 単体複体の対と相対ホモロジー
この章では、単体複体の対というものを考え、そのホモロジー群である相対ホモロジー群について紹介する。 一見取っつきにくい概念かもしれないが、非常に有用な考え方であることが今後明らかとなる。

### XXX. 単体写像から鎖写像へ
この章では、単体写像という幾何的写像に対して、鎖写像と呼ばれる代数的写像を導入し、それがホモロジー群の間の写像を誘導することを述べる。

### XXX. 蛇の補題
ここまでの内容で、ホモロジー群の取り扱いに際して代数的な大道具は用意しなかった。 この章では、蛇の補題という強力な定理を紹介する。この章のみ、幾何的な議論を排除する。

### XXX. ホモロジー長完全列およびMayer-Vietorisの原理
この章では、蛇の補題から従う偉大な系として、ホモロジー長完全列およびMayer-Vietorisの原理を紹介する。得られる連結射の幾何的な解釈についても紹介する。

### XXX. ホモロジーの粗さ(1)
色々な単体複体に対してホモロジー群を求めてみると、同じ計算結果を与えるものたちが見つかる。 この章では、単体複体に対する縮約という改変操作を導入し、縮約によってホモロジー群は変化しないことを紹介する。

### XXX. ホモロジーの粗さ(2)
二つの単体複体間の単体写像に対して誘導射を求めてみると、同じ計算結果を与えるものたちが見つかる。 この章では、単体写像の間の近接関係という関係を導入し、近接関係にある単体写像は同じ誘導射を与えることを紹介する。

### XXX. ホモロジーからコホモロジーへ
これまで、単体複体のホモロジー理論を解説してきた。 この章では、ホモロジーに酷似した、しかしホモロジーよりも豊かな代数的構造を持つコホモロジーと呼ばれる量を導入する。

テキストの構成

本ページの内容は、人によっては集合論の復習である。
しかし、これは今後の章においても重要な視点をもたらすので、改めて注意しておく。
本ページでのみ、二元体$\mathbb{Z}_2$から演算を忘れて、単なる二元集合と思うことにする。

正の整数$n > 0$に対して、直積集合$\mathbb{Z}_2^n$とは、$\mathbb{Z}_2$の要素$n$個の組全体が成す集合であった。
ここで、一般の集合$X$に対して、$\mathbb{Z}_2^X$を「$X$から$\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$への写像全体の集合」として定義する。
この定義は、次のような背景による：$v = (v_1, \dots, v_n) \in \mathbb{Z}_2^n$に対して、写像
$$\chi_v \ \colon \ \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb{Z}_2, \quad \chi_v(i) = v_i$$
を対応させる。すると、これは直積集合$\mathbb{Z}_2^n$と$\mathbb{Z}_2^{\{1, 2, \dots, n\}}$の間の全単射を与えている。

以降、この全単射を以て$\mathbb{Z}_2^n = \mathbb{Z}_2^{\{1, 2, \dots, n\}}$と同一視する。

さて、実は、集合$\mathbb{Z}_2^X$と$X$の冪集合$2^X$との間に全単射を構成することができる。実際、
- $\mathbb{Z}_2^X$の要素$f : X \to \mathbb{Z}_2$に対して$f^{-1}(1) \subset X$ を対応させればよい。
- 逆の対応は、$A \subset X$に対して
\begin{align*}
\chi_A \ \colon \ X \to \mathbb{Z}_2, \quad \chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & (x \in A) \\
0 & (x \notin A)
\end{cases}
\end{align*}
を対応させるものである。

つまり、$\mathbb{Z}_2^X$の要素（数ベクトル）と$2^X$の要素（$X$の部分集合）が一対一に対応する。
以降、この全単射を以て $\mathbb{Z}_2^X = 2^X$ と同一視する。

二元集合の直積

# 二元体上のベクトル空間

実数体$\mathbb{R}$や複素数体$\mathbb{C}$上のベクトル空間と同様に、二元体$\mathbb{Z}_2$上のベクトル空間も考えることができる。ベクトル空間の公理については[[線形代数学]]を参照されたい。

&&&ex 数ベクトル空間
$n$を正の整数とする。このとき、直積集合$\mathbb{Z}_2^n$は成分ごとの和・スカラー倍によって$\mathbb{Z}_2$上のベクトル空間となる。これを**数ベクトル空間**という。
&&&

&&&ex 「二値関数の集合は二元体上のベクトル空間を定める」
$X$を集合とする。このとき、関数から成る集合$\mathbb{Z}_2^X$は次のような和・スカラー倍によって$\mathbb{Z}_2$上のベクトル空間となる：$f, g \in \mathbb{Z}_2^X$ に対して、和$f + g$やスカラー倍$1 \cdot f, \ 0 \cdot f$を
$$(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad (1 \cdot f)(x) = f(x), \quad (0 \cdot f)(x) = 0 \quad (x \in X)$$
で定める（各点ごとの和・スカラー倍）。
&&&

&&&ex 「冪集合は二元体上のベクトル空間を定める」
集合$X$に対して冪集合$2^X$を考える。このとき、$A, B \in 2^X$（すなわち$A, B \subset X$）に対してその和$A + B$を
\begin{align*}
A + B &= (A \cup B) - (A \cap B) \\
&= (A - B) \cup (B - A) \\
&= \{ x \in X \ | \ x \in A \ \text{または} \ x \in B \ \text{のいずれか一方のみが成り立つ} \}
\end{align*}
で定義する（集合の**対称差**と呼ばれるものである。Venn図を描いてみるとよい。また、[https://www.youtube.com/watch?v=wtRKV-Jluvk] を参照されたい）。
また、$A \in 2^X$（すなわち$A \subset X$）に対してそのスカラー倍を
$$1 \cdot A = A, \quad 0 \cdot A = \varnothing$$
で定義する。
このとき、$2^X$は$\mathbb{Z}_2$上のベクトル空間となる。
基本的な性質としては以下が挙げられる：
- 零ベクトルは$\varnothing$である。
- 任意の$A \in 2^X$に対して、$A + A = 2 \cdot A = 0 \cdot A = \varnothing$となる。
- 任意の$A, B \in 2^X$に対して、もし$A \cup B = X$かつ$A \cap B = \varnothing$ならば、$A + B = X$となる。
&&&

上述では、$2^X$と$\mathbb{Z}_2^{X}$各々の上に$\mathbb{Z}_2$上のベクトル空間の構造を導入した。
さて、前頁最後の考察によると、これら両者の集合間には全単射が存在し、したがって両者は集合として同一視されるのであった。
実は、その同一視は単なる全単射ではなく、$\mathbb{Z}_2$ 上のベクトル空間としての**線型同型写像**を与えている！
このことを以下で確かめてみよう。

(i) 和を保つこと：　$A, B \in 2^X$に対して、$\chi_{A + B} = \chi_A + \chi_B$が成り立つことを確かめればよい。そのためには、任意の$x \in X$に対して
$$\chi_{A + B} (x) = \chi_A (x) + \chi_B (x)$$
が成り立つことを確かめればよい。

- $x \in A + B$ の場合、$\chi_{A + B}$の定義より$\text{左辺} = 1$となる。一方で、$A + B$の定義から、「$x \in A$かつ$x \notin B$」または「$x \notin A$かつ$x \in B$」 が成り立つ。よって、「$\chi_A (x) = 1$かつ$\chi_B (x) = 0$」または「$\chi_A (x) = 1$かつ$\chi_B (x) = 0$」が成り立つ。いずれの場合も$\chi_A (x) + \chi_B (x) = 1$となるので、$\text{右辺} = 1$を得る。(OK)
- $x \notin A + B$のとき、$\chi_{A + B}$の定義より$\text{左辺} = 0$となる。一方で、$A + B$の定義から、「$x \notin A$かつ$x \notin B$」または「$x \in A$かつ$x \in B$」 が成り立つ。よって、「$\chi_A (x) = 0$かつ$\chi_B (x) = 0$」または「$\chi_A (x) = 1$かつ$\chi_B (x) = 1$」が成り立つ。いずれの場合も$\chi_A (x) + \chi_B (x) = 0$となるので、$\text{右辺} = 0$を得る。(OK)

(ii) スカラー倍を保つこと：　$A \in 2^X$に対して、$\chi_{1 \cdot A} = 1 \cdot \chi_A$ と $\chi_{0 \cdot A} = 0 \cdot \chi_A$ の両方を確かめればよい。しかし、これはどちらも次のように示せる。
- $\chi_{1 \cdot A} = \chi_A = 1 \cdot \chi_A$;
- $\chi_{0 \cdot A} = \chi_\varnothing = 0 = 0 \cdot \chi_A$.

これで、**冪集合 $2^X$ と $\mathbb{Z}_2^{X}$ は、$\mathbb{Z}_2$ 上のベクトル空間としても同一視できる**ことが分かった。

&&&rem 
- 上の線型同型から、特に$\dim_{\mathbb{Z}_2} 2^X = |X|$が分かる。
&&&

以下の問題は、解きながら $X, A, B$ たちを図示してみるとよい。


&&&exc 
(1)　$X = \{1, 2, 3\}$とする。以下のそれぞれの場合について、$A + B$を計算せよ。

(1-a)　$A = \{1\}, \ B = \{3\}$
(1-b)　$A = \{1, 2\}, \ B = \{2, 3\}$
(1-c)　$A = \{1, 2, 3\}, \ B = \{3\}$
(1-d)　$A = \{2, 3\}, \ B = \varnothing$

(2)　$X = \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}$とする。以下のそれぞれの場合について、$A + B$を計算せよ。

(2-a)　$A = 2 \mathbb{Z} = \{ x \in X \ | \ x \text{ は偶数 } \}, \ B = 2 \mathbb{Z} + 1 = \{ x \in X \ | \ x \text{ は奇数 } \}$
(2-b)　$A = \{ x \in X \ | \ x \text{ は素数 } \}, \ B = \{ x \in X \ | \ x \text{ は奇素数 } \}$
&&&

> 解答
(1-a)　$A + B = \{1, 3\}$
(1-b)　$A + B = \{1, 3\}$
(1-c)　$A + B = \{1, 2\}$
(1-d)　$A + B = \{2, 3\}$
(2-a)　$A + B = X$
(2-b)　$A + B = \{2\}$

# 二元体上の線型写像

大方の理論的な準備は整ったが、実際に$\mathbb{Z}_2$上で線型代数の計算をしてみよう。
手を動かして計算することで、$\mathbb{Z}_2$と$\mathbb{R}$や$\mathbb{C}$たちの違いを実感できるだろう。


&&&exc 
$\mathbb{K}$を体とし、以下で与えられる行列$M \in \mathrm{M}_2 (\mathbb{K})$を考える：
\begin{align*}
M = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}.
\end{align*}
ここで、$\mathbb{K} = \mathbb{R}, \ \mathbb{C}, \ \mathbb{Z}_2$ それぞれの場合に対して、$M$の階数を求めよ。
&&&

> 解答
> - $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \ \mathbb{C}$の場合：$2^{-1} \in \mathbb{K}$なので、第$2$行を$2^{-1}$倍して
\begin{align*}
M = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
となる。最右辺は階段標準形なので、$M$の階数は$2$だと分かる。
> - $\mathbb{K} = \mathbb{Z}_2$の場合。$2 = 0$なので、$2^{-1} = 0^{-1}$は存在しない。そこで単に$2 = 0$を使ってみると
\begin{align*}
M = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
となる。最右辺は階段標準形なので、$M$の階数は$1$だと分かる。

このように、行列を扱う体によって、行列の階数は変わり得る。
階数が変われば行列が引き起こす線型写像の核・像も変わるので、注意が必要である。


&&&exc 
上記の$M$を$\mathrm{M}_2 (\mathbb{Z}_2)$の要素と見て、それが引き起こす線型写像
\begin{align*}
f_M \ \colon \ \mathbb{Z}_2^2 \to \mathbb{Z}_2^2, \quad f_M
\left(
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
\right) = M \cdot 
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
\end{align*}
を考える。
このとき、$f_M$の核$\mathrm{Ker} \ f_M$と像$\mathrm{Im} \ f_M$をそれぞれ求めよ。また、$\mathbb{Z}_2^2$が$4$元集合であることに注意して、$f_M$のグラフを描いてみよ。
&&&

> 解答
> \begin{align*}
\mathrm{Ker} \ f_M = \left\{
\begin{bmatrix}
0 \\ y
\end{bmatrix}
\ \middle| \ y \in \mathbb{Z}_2 \right\}, \quad
\mathrm{Im} \ f_M = \left\{
\begin{bmatrix}
x \\ 0
\end{bmatrix}
\ \middle| \ x \in \mathbb{Z}_2 \right\}.
\end{align*}

代数的トポロジー

Mod Two Homology and Cohomology

復刊 位相幾何学：ホモロジー論

本テキストでは、ホモロジー理論に親しみのない方を主なターゲットとし、単体複体の二元体係数ホモロジーという最もシンプルなホモロジー理論の一つを紹介する。

入門テキスト「単体複体の二元体係数ホモロジー」

概要

目次

Introduction

二元体上の線型代数

単体複体

単体複体から鎖複体へ

鎖複体からホモロジーへ

参考文献