測度と積分5：$L^p$ 空間の完備性と双対性

対数関数は上に凸であるから、
$$ (1-t)\log(x)+t\log(y)\leq \log((1-t)x+ty) $$
である。よって指数関数の単調性より、
$$ x^{1-t}y^t=\exp\left((1-t)\log(x)+t\log(y)\right)\leq (1-t)x+ty. $$

$\int_{X}f(x)^pd\mu(x)=0$ ならば 命題9.4 より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $f(x)=0$ であるから $(*)$ の両辺共に $0$ である。$\int_{X}g(x)^qd\mu(x)=0$ の場合も同様である。よって、
$$ \int_{X}f(x)^pd\mu(x),\quad \int_{X}g(x)^qd\mu(x)\in (0,\infty) $$
と仮定して示せば十分である。非負値可測関数 $F,G\colon X\rightarrow[0,\infty]$ を、
$$ F(x)\colon=\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{p}}f(x),\quad G(x)\colon=\left(\int_{X}g(x)^qd\mu(x)\right)^{-\frac{1}{q}}g(x)\quad(\forall x\in X) $$
として定義すると、
$$ \int_{X}F(x)^pd\mu(x)=1,\quad \int_{X}G(x)^qd\mu(x)=1 $$
であり、 補題20.2 より、
$$ F(x)G(x)=(F(x)^p)^{\frac{1}{p}}(G(x)^q)^{\frac{1}{q}}\leq \frac{1}{p}F(x)^p+\frac{1}{q}G(x)^q\quad(\forall x\in X) $$
であるから、両辺を積分すれば、
$$ \int_{X}F(x)G(x)d\mu(x)\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $$
となる。この両辺に $(\int_{X}f(x)^pd\mu(x))^{\frac{1}{p}}(\int_{X}g(x)^qd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$を掛ければ $(*)$ を得る。

$$ \int_{X}f(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad\int_{X}g(x)^pd\mu(x)<\infty,\quad 0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\quad\quad(**) $$
と仮定して示せば十分である。$(0,\infty)\ni x\mapsto x^p\in (0,\infty)$は、 $2$ 階の導関数が $p(p-1)x^{p-2}\geq0$ $(\forall x\in (0,\infty))$ であるから、下に凸である。よって、
$$ \frac{1}{2^p}(f(x)+g(x))^p\leq \frac{1}{2}f(x)^p+\frac{1}{2}g(x)^p\quad(\forall x\in X) $$
である。この両辺を積分すれば $(**)$ より、
$$ 0<\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)<\infty $$
を得る。
$$ (f(x)+g(x))^p=f(x)(f(x)+g(x))^{p-1}+g(x)(f(x)+g(x))^{p-1}\quad(\forall x\in X) $$
の両辺を積分し、$p$ の共役指数 $q$ に対し $(p-1)q=p$ であることに注意してHölderの不等式を用いると、
$$ \int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x) \leq \left(\left(\int_{X}f(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{X}g(x)^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}} $$
を得る。この両辺を 正実数 $(\int_{X}(f(x)+g(x))^pd\mu(x))^{\frac{1}{q}}$ で割れば $(*)$ を得る。

$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ を $L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ のCauchy列とし、これが収束することを示す。

• $(1)$　$p\in[1,\infty)$ の場合。$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので部分列 $([f_{k(n)}])_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \| f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\|_{\mu,p}<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  なるものが取れる。これに対し、
  $$ g_N(x)\colon=\sum_{n=1}^{N}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall N\in \mathbb{N}) $$
  とおくと、Minkowskiの不等式より、
  $$ \| g_N\|_{\mu,p}\leq\sum_{n=1}^{N}\| f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\|_{\mu,p}\leq1\quad(\forall N\in \mathbb{N}) $$
  である。よって、
  $$ g(x)\colon=\sup_{N\in \mathbb{N}}g_N(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert\quad(\forall x\in X) $$
  とおくと、単調収束定理より、
  $$ \int_{X}g(x)^pd\mu(x)=\sup_{N\in \mathbb{N}}\int_{X}g_N(x)^pd\mu(x) =\sup_{N\in\mathbb{N}}\| g_N\|_{\mu,p}^p\leq 1<\infty $$
  であるから、 命題9.4 より、$\mu$-零集合 $N$ が存在し、
  $$ \sum_{n=1}^{\infty}\lvert f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\rvert<\infty\quad(\forall x\in X\backslash N) $$
  が成り立つ。これより任意の $x\in X\backslash N$ に対し、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)=f_{k(1)}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}(f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x))\in\mathbb{C} $$
  が存在する。そこで、
  $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$
  として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。今、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
  $$ \| f_n-f_m\|_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
  なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ に対し、
  $$ \lvert f(x)-f_m(x)\rvert^p=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^p\quad(\forall x\in X\backslash N) $$
  であるから、$N$ が $\mu$-零集合であることとFatouの補題より、
  $$ \begin{aligned} \| f-f_m\|_{\mu,p}^p&\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{j\geq n}\int_{X}\lvert f_{k(j)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x)\\ &\leq \sup_{n\geq n_0}\int_{X}\lvert f_{k(n)}(x)-f_m(x)\rvert^pd\mu(x) =\sup_{n\geq n_0}\| f_{k(n)}-f_m\|_{\mu,p}^p\leq\epsilon^p \end{aligned} $$
  である。よって $f=(f-f_m)+f_m\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
  $$ \| f-f_m\|_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$
  であるから、$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。
• $(2)$　$p=\infty$ の場合。
  $$ N:=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}(\| f_n-f_m\|_{\mu,\infty}<\lvert f_n-f_m\rvert) $$
  は $\mu$-零集合の可算合併なので $\mu$-零集合である。
  $$ \lvert f_n(x)-f_m(x)\rvert\leq \| f_n-f_m\|_{\mu,\infty}\quad(\forall x\in X\backslash N,\forall n,m\in\mathbb{N}) $$
  より $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で一様Cauchy条件を満たすので一様収束する。(( 距離空間の位相の基本的性質 を参照。))そこで、
  $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$
  として可測関数 $f\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義する。
  $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、
  $$ X\backslash N\subset (\lvert f-f_n\rvert\leq \epsilon)\quad(\forall n\geq n_0) $$
  が成り立つ。よって、
  $$ \mu( (\epsilon< \lvert f-f_n\rvert) )\leq \mu(N)=0\quad(\forall n\geq n_0) $$
  であるから、$f=(f-f_n)+f_n\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
  $$ \| f-f_n\|_{\mu,\infty}\leq\epsilon\quad(\forall n\geq n_0) $$
  である。よって $([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に収束する。

$f$ を実部と虚部 $f_1,f_2:X\rightarrow\mathbb{R}$ に分け、さらにそれらを非負部分と非正部分 $f_{j,\pm}:X\rightarrow[0,\infty)$ に分ける。 定理5.5 より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ f_{j,\pm}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_{j,\pm,n}(x)\quad(\forall x\in X) $$
を満たすものが取れる。
$$ s_n\colon=(s_{1,+,n}-s_{1,-,n})+i(s_{2,+,n}-s_{2,-,n})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
として可測単関数列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、$f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)$ $(\forall x\in X)$ であり、$s_{j,\pm,n}(x)\leq f_{j,\pm}(x)$ より、
$$ \lvert s_{j,+,n}(x)-s_{j,-,n}(x)\rvert\leq \lvert f_{j,+}(x)-f_{j,-}(x)\rvert=\lvert f_j(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}) $$
であるから、
$$ \lvert s_n(x)\rvert\leq \lvert f(x)\rvert\quad(\forall x\in X,\forall n\in \mathbb{N}) $$
である。よって $p\in[1,\infty)$ の場合、Lebesgue優収束定理より $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-s_n\|_{\mu,p}=0$ が成り立つ。$p=\infty$ の場合、$(\lvert f\rvert\leq \| f\|_{\mu,\infty})$ 上で $f_{j,\pm}$ は有界であるから、 定理5.5 の証明より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(s_{j,\pm,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、$(\lvert f\rvert\leq\| f\|_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するものが取れる。このとき $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $(\lvert f\rvert\leq \| f\|_{\mu,\infty})$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、
$$ (\lvert f\rvert\leq \| f\|_{\mu,\infty})\subset (\lvert f-s_n\rvert\leq\epsilon)\quad(\forall n\geq n_0) $$
が成り立つ。よって、
$$ \mu( (\epsilon<\lvert f-s_n\rvert) )\leq \mu( (\| f\|_{\mu,\infty}\leq \lvert f\rvert) )=0\quad(\forall n\geq n_0) $$
であるから、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-s_n\|_{\mu,\infty}=0$ が成り立つ。

命題22.1 の $p=\infty$ の場合と全く同様にして（より簡単に）示せる。

$p,q\in (1,\infty)$ の場合はHölderの不等式により、$p=1,q=\infty$ の場合は $\mu$ -a.e. $x\in X$ で $\lvert g(x)\rvert\leq \| [g]\|_{\mu,\infty}$ であることによる。

$(*)$ がノルムが $1$ 以下の有界線形写像であることは 命題23.1 より明らかである。$\sigma$-有限性より $\mathfrak{M}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n,\quad \mu(A_n)<\infty\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
なるものが取れる。

• $(1)$　単射性の証明　
  $(\cdot,[g])_{\mu,p,q}=0$ として $[g]=0$ が成り立つことを示せばよい。そのためには任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つことを示せばよいが、任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\mu(A_n)<\infty$ より $\chi_{E\cap A_n}\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるので、
  $$ \int_{E}g(x)\chi_{A_n}(x)d\mu(x)=([\chi_{E\cap A_n}],[g])_{\mu,p,q}=0\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  である。よって 命題10.5 より $\mu$-a.e. $x\in X$ で $g(x)\chi_{A_n}(x)=0$ が成り立つ。
• $(2)$　$\mu(X)<\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明
  任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ を取る。$\mu(X)<\infty$ より任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $\chi_E\in {\cal L}^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であるから、
  $$ \nu(E)\colon=\Phi([\chi_E])\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  として $\nu\colon\mathfrak{M}\rightarrow\mathbb{C}$ が定義できる。$\Phi$ の線形性より $\nu$ は有限加法的である。$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を取る. $A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n$ とおき, $\mathbb{N}$ の任意の有限集合 $F$ に対し$A_F=\bigcup_{n\in F}E_n$ とおくと,
  $$ \begin{aligned} \left\lvert \nu(A)-\sum_{n\in F}\nu(E_n)\right\rvert &=\left\lvert \nu(A)-\nu(A_F)\right\rvert =\left\lvert \Phi(\chi_{A\backslash A_F})\right\rvert \leq \| \Phi\| \mu(A\backslash A_F)^{\frac{1}{p}}\\ &= \| \Phi\| (\mu(A)-\mu(A_F))^{\frac{1}{p}}\rightarrow 0\quad(F\rightarrow \mathbb{N}) \end{aligned} $$
  であるから $\nu$ は複素数値測度である。$\lvert\nu(E)\rvert\leq \| \Phi\|\mu(E)^{\frac{1}{p}}$ $(\forall E\in \mathfrak{M})$ であるから $\nu$ は $\mu$ に関して絶対連続である。そこで $\nu$ の $\mu$ に関するRadon-Nikodym微分を $g\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ とすると、
  $$ \Phi([\chi_E])=\nu(E)=\int_{E}g(x)d\mu(x)=([\chi_E],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  であるから、任意の可測単関数 $s\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、
  $$ \Phi([s])=([s],[g])_{\mu,\infty,1} $$
  が成り立つ。任意の $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し 命題22.1 より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-s_n\|_{\mu,\infty}=0$ なるものが取れる。$\mu(X)<\infty$ より $L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ であり、
  $$ \| f-s_n\|_{\mu,p}\leq \mu(X)^{\frac{1}{p}}\| f-s_n\|_{\mu,\infty}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
  であるから、
  $$ \Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=([f],[g])_{\mu,\infty,1} $$
  である。ゆえに、
  $$ \Phi([f])=([f],[g])_{\mu,\infty,1}\quad(\forall [f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\subset L^p(X,\mathfrak{M},\mu))\quad\quad(**) $$
  が成り立つ。今、
  $$ [g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu),\quad \| [g]\|_{\mu,q}\leq \| \Phi\|\quad\quad(***) $$
  が成り立つことを示す。$p=1,q=\infty$ の場合、
  $$ \left\lvert\int_{E}g(x)d\mu(x)\right\rvert=\lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\|\Phi\|\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  であるから、 命題19.3 より、
  $$ \int_{E}\lvert g(x)\rvert d\mu(x)\leq \lvert\Phi([\chi_E])\rvert\leq\|\Phi\|\mu(E)\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  が成り立つ。よって、
  $$ \int_{E}(\lvert g(x)\rvert-\| \Phi\|)d\mu(x)\leq0\quad(\forall E\in \mathfrak{M}) $$
  であるから、
  $$ \int_{(\| \Phi\|<\lvert g\rvert)}(\lvert g(x)\rvert-\| \Phi\|)d\mu(x)=0 $$
  である。ゆえに 命題9.4 より、
  $$ \mu( (\|\Phi\|<\lvert g\rvert) )=0 $$
  であるから、$p=1,q=\infty$ の場合、$(***)$ が成り立つ。$p,q\in (1,\infty)$ の場合を考える。
  $$ \omega(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\lvert g(x)\rvert}{g(x)}&(x\in (\lvert g\rvert>0))\\1&(x\in (\lvert g\rvert=0))\end{array}\right. $$
  として可測関数 $\omega\colon X\rightarrow\mathbb{C}$ を定義すると、
  $$ \omega(x)g(x)=\lvert g(x)\rvert,\quad \lvert \omega(x)\rvert=1\quad(\forall x\in X) $$
  である。$E_n\colon=(\lvert g\rvert\leq n)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおき、
  $$ f_n\colon=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q-1}\omega\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  とおくと、
  $$ f_ng=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^{q},\quad \lvert f_n\rvert^p=\chi_{E_n}\lvert g\rvert^q\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  である（$pq-p=q$に注意）。よって $(**)$ より、
  $$ \int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)=\int_{X}f_n(x)g(x)d\mu(x) =\Phi([f_n])\leq\|\Phi\|\left(\int_{E}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  であるから、
  $$ \left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \| \Phi\|\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  が成り立つ。$(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$ であるから単調収束定理より、
  $$ \left(\int_{X}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}} =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\int_{E_n}\lvert g(x)\rvert^qd\mu(x)\right)^{\frac{1}{q}}\leq \| \Phi\| $$
  である。よって $(***)$ が成り立つ。
  任意の $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し 命題22.1 より可測単関数の列 $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-s_n\|_{\mu,p}=0$ なるものが取れるので、$(**)$ と $[g]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu)$ であることから、
  $$ \Phi([f])=\lim_{n\rightarrow\infty}\Phi([s_n])=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,\infty,1}=\lim_{n\rightarrow\infty}([s_n],[g])_{\mu,p,q}=([f],[g])_{\mu,p,q} $$
  である。よって $\Phi=(\cdot,[g])_{\mu,p,q}$ である。
  $$ \| [g]\|_{\mu,q}\leq \|\Phi\|\leq \| [g]\|_{\mu,q} $$
  であるから、全射性とノルム保存性が示された。
• $(3)$　$\mu(X)=\infty$ の場合の全射性とノルム保存性の証明
  $$ \omega(x)\colon=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2^n(\mu(A_n)+1)}\chi_{A_n}(x)\in(0,1)\quad(\forall x\in X) $$
  とおくと、単調収束定理より、
  $$ \int_{X}\omega(x)d\mu(x)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{\mu(A_n)}{2^n(\mu(A_n)+1)}\leq1<\infty $$
  である。そこで、有限測度
  $$ \mu_{\omega}\colon\mathfrak{M}\ni E\mapsto \int_{E}\omega(x)d\mu(x)\in [0,1] $$
  を定義する。 命題19.6 の $(1)$ より任意の $r\in [1,\infty]$ に対し、
  $$ L^r(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})\ni [f]\mapsto [f\omega^{\frac{1}{r}}]\in L^r(X,\mathfrak{M},\mu) $$
  はノルムを保存する線形同型写像である。よって任意の $\Phi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu))^*$ に対し、$\Psi\in (L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega}))^*$ を、
  $$ \Psi([f])=\Phi([f\omega^{\frac{1}{p}}])\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})) $$
  と定義すれば $\| \Psi\|=\|\Phi\|$ である。$(2)$ の結果より $[g\omega^{-\frac{1}{q}}]\in L^q(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})$ で、
  $$ \Psi([f])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-\frac{1}{q}}d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu_{\omega})), $$
  $$ \| g\omega^{-\frac{1}{q}}\|_{\mu_{\omega},q}=\|\Psi\| $$
  なるものが取れる。 命題19.6 の $(1)$ より、
  $$ \begin{aligned} \Phi([f])&=\Psi([f\omega^{-\frac{1}{p}}])=\int_{X}f(x)g(x)\omega(x)^{-(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})}d\mu_{\omega}(x)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\quad(\forall [f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu)) \end{aligned} $$
  であり、
  $$ \| [g]\|_{\mu,q}=\| [g\omega^{-\frac{1}{q}}]\|_{\mu_{\omega},q} =\| \Psi\|=\| \Phi\| $$
  である。これで全射性とノルム保存性が示された。