測度と積分7：局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度

Hausdorffの分離公理より任意の $y\in K$ に対し $x$ の開近傍 $U_y$ と $y$ の開近傍 $V_y$ で $U_y\cap V_y=\emptyset$ なるものが取れる。$K$ はコンパクトであるから有限個の $y_1,\ldots,y_n\in K$ で、$K\subset \bigcup_{j=1}^{n}V_{y_j}$ なるものが取れる。そこで、
$$ U\colon=\bigcap_{j=1}^{n}U_{y_j},\quad V:=\bigcup_{j=1}^{n}V_{y_j} $$
とおけば、これらは $(*)$ を満たす。

各 $x\in K$ に対し閉包がコンパクトな開近傍 $W_x\subset X$ を取る。$K$ はコンパクトなので有限個の $x_1,\ldots,x_n\in K$ が取れて $K\subset \bigcup_{j=1}^{n}W_{x_j}$ となる。$W\colon=\bigcup_{j=1}^{n}W_{x_j}$ とおく。
$$ \overline{W}\subset \bigcup_{j=1}^{n}\overline{W_{x_j}} $$
であり、右辺はコンパクトであるから $\overline{W}$ はコンパクトである。よってもし $\overline{W}\subset V$ であれば $U=W$ とすればよい。$\overline{W}\backslash V\neq\emptyset$ であるとする。任意の $p\in \overline{W}\backslash V$ に対し補題27.3より開集合 $U_p$ で、
$$ K\subset U_p,\quad p\notin \overline{U_p} $$
なるものが取れる。このとき、
$$ \bigcap_{p\in \overline{W}\backslash V}(\overline{W}\backslash V)\cap \overline{U_p}=\emptyset $$
であるから $\overline{W}\backslash V$ のコンパクト性より有限個の $p_1,\ldots,p_m\in \overline{W}\backslash V$ で、
$$ \bigcap_{k=1}^{m}(\overline{W}\backslash V)\cap\overline{U_{p_k}}=\emptyset $$
なるものが取れる。そこで開集合
$$ U\colon=\bigcap_{k=1}^{m}W\cap U_{p_k} $$
を定義すれば、
$$ K\subset U\subset \overline{U}\subset \bigcap_{k=1}^{m}\overline{W}\cap \overline{U_{p_k}}\subset V $$
であり、$\overline{W}$ のコンパクト性より $\overline{U}$ はコンパクトである。

命題27.4 より閉包がコンパクトな開集合 $U_0$ で、
$$ K\subset U_0\subset \overline{U_0}\subset V $$
を満たすものが取れる。再び 命題27.4 より閉包がコンパクトな開集合 $U_1$ で、
$$ K\subset U_1\subset \overline{U_1}\subset U_0 $$
を満たすものが取れる。今、可算集合 $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ に対し、
$$ \mathbb{N}\ni n\mapsto r_n\in \mathbb{Q}\cap [0,1] $$
を全単射で $r_1=0$、$r_2=1$ なるものとする。そしてある $n\geq2$ に対し閉包がコンパクトな開集合 $U_{r_1},\ldots,U_{r_n}$ で、
$$ r_i< r_j\quad\Leftrightarrow\quad \overline{U_{r_j}}\subset U_{r_i}\quad\quad(*) $$
を満たすものが取れているとする。
$$ r_{j_0}\colon=\text{min}\{r_j:1\leq j\leq n, \text{ }r_{n+1}< r_j\},\quad r_{i_0}\colon=\text{max}\{r_i:1\leq i\leq n,\text{ }r_i< r_{n+1}\} $$
とおくと、$r_{i_0}< r_{n+1}< r_{j_0}$ であるから、$\overline{U_{r_{j_0}}}\subset U_{r_{i_0}}$ であり、 命題27.4 より閉包がコンパクトな開集合 $U_{r_{n+1}}$ で、
$$ \overline{U_{r_{j_0}}}\subset U_{r_{n+1}}\subset \overline{U_{r_{n+1}}}\subset U_{r_{i_0}} $$
なるものが取れる。このとき $U_{r_1},\ldots,U_{r_{n+1}}$ は $(*)$ を満たす。よって帰納法より閉包がコンパクトな開集合からなる列 $(U_{r_n})_{n\in \mathbb{N}}$ で $(*)$ を満たすものが取れる。今、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n,g_n\colon X\rightarrow[0,1]$ を、
$$ f_n(x)\colon=\left\{\begin{array}{ll}r_n&(x\in U_{r_n})\\0&(x\in X\backslash U_{r_n})\end{array}\right.,\quad g_n(x)\colon=\left\{\begin{array}{ll}1&(x\in \overline{U_{r_n}})\\r_n&(x\in X\backslash \overline{U_{r_n}})\end{array}\right. $$
と定義する。このとき任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ (\alpha< f_n)=\left\{\begin{array}{ll}X&(\alpha<0)\\U_{r_n}&(0\leq\alpha< r_n)\\\emptyset&(r_n\leq\alpha)\end{array}\right.,\quad (g_n<\alpha)=\left\{\begin{array}{ll}X&(1<\alpha)\\X\backslash \overline{U_{r_n}}&(r_n<\alpha\leq1)\\\emptyset&(\alpha\leq r_n)\end{array}\right. $$
である。よって、
$$ f(x)\colon=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x),\quad g(x)\colon=\inf_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)\quad(\forall x\in X) $$
として $f,g\colon X\rightarrow[0,1]$ を定義すると、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ (\alpha< f)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(\alpha< f_n),\quad (g<\alpha)=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(g_n<\alpha) $$
はいずれも開集合である。今、任意の $x\in X$ に対し $f(x)=g(x)$ が成り立つことを示す。もし $f(x)< g(x)$ ならば $f(x)< r_n< r_m< g(x)$ なる $r_n,r_m\in\mathbb{Q}\cap (0,1)$ が取れる。$f_n(x)\leq f(x)< r_n$ より $x\in X\backslash U_{r_n}$ であり、$r_m< g(x)\leq g_m(x)$ より $x\in \overline{U_{r_m}}$ である。しかし $r_n< r_m$ と $(*)$ より $\overline{U_{r_m}}\subset U_{r_n}$ であるから矛盾する。またもし $g(x)< f(x)$ ならばある $n\in \mathbb{N}$ に対し $g(x)< f_n(x)$ であり、ある $m\in\mathbb{N}$ に対し $g_m(x)< f_n(x)$ である。よって $x\in X\backslash \overline{U_{r_m}}, x\in U_{r_n}, r_m=g_m(x)< f_n(x)=r_n$ である。しかし $r_m< r_n$ と $(*)$ より $\overline{U_{r_n}}\subset U_{r_m}$ であるから矛盾する。ゆえに $f(x)=g(x)$ である。これより任意の有界開区間 $(\alpha,\beta)$ に対し、
$$ f^{-1}( (\alpha,\beta) )=(\alpha< f)\cap (g<\beta) $$
は開集合であるから $f\colon X\rightarrow[0,1]$ は連続である。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し $K\subset \overline{U_{1}}\subset \overline{U_{r_n}}$ であるから、任意の $x\in K$ に対し $f(x)=g(x)=\inf_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)=1$ である。また $f(x)>0$ なる $x\in X$ に対し $f_n(x)>0$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在するので $x\in U_{r_n}\subset U_0$ である。よって、
$$ \text{supp}(f)=\overline{(f>0)}\subset \overline{U_0}\subset V $$
であり、$\overline{U_0}$ はコンパクトなので $\text{supp}(f)$ はコンパクトである。

命題27.4 より任意の $x\in K$ に対し閉包がコンパクトな $x$ の開近傍 $W_x$ で、ある $j\in \{1,\ldots,n\}$ に対し $\overline{W_x}\subset V_j$ であるものが取れる。よって $K$ のコンパクト性よりコンパクト集合 $C_1,\ldots,C_n$ で、
$$ K\subset \bigcup_{j=1}^{n}C_j,\quad C_j\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n) $$
なるものが取れる。Urysohnの補題より台がコンパクトな連続関数 $h_1,\ldots,h_n\colon X\rightarrow [0,1]$ で、
$$ h_j|_{C_j}=1,\quad \text{supp}(h_j)\subset V_j\quad(j=1,\ldots,n) $$
なるものが取れる。ここで、
$$ f_1\colon=h_1,\quad f_k\colon=h_k\prod_{j=1}^{k-1}(1-h_j)\quad(k=2,\ldots,n) $$
とおくと、$f_1,\ldots,f_n\colon X\rightarrow[0,1]$ は台がコンパクトな連続関数で、$\text{supp}(f_j)\subset \text{supp}(h_j)\subset V_j$ $(j=1,\ldots,n)$ であり、
$$ \sum_{j=1}^{k}f_j=1-\prod_{j=1}^{k}(1-h_j)\quad(k=1,\ldots,n) $$
である。$\bigcup_{j=1}^{n}C_j$ 上で $\prod_{j=1}^{n}(1-h_j)$ は $0$ であるから、 $K$ 上で $\sum_{j=1}^{n}f_j=1$ である。

$\mathcal{O}'$ は任意の合併と有限交叉で閉じており、任意の $U\in\mathcal{O}'$ と $V\in \mathcal{O}$ に対し $U\cup V\in \mathcal{O}'$, $U\cap V\in \mathcal{O}$ である。このことから $\widetilde{\mathcal{O}}$ が $\widetilde{X}$ の位相であること、$\mathcal{O}$ が $\widetilde{\mathcal{O}}$ の相対位相であることが分かる。$\{U_j\}_{j\in J}\subset \widetilde{\mathcal{O}}$ を $\widetilde{X}$ の任意の開被覆とする。$\infty\in U_{j_0}$ なる $j_0\in J$ を取ると $U_{j_0}\in\mathcal{O}'$ であるから $\widetilde{X}\backslash U_{j_0}$ はコンパクトである。よって有限個の $j_1,\ldots,j_n\in J$ で、
$$ \widetilde{X}\backslash U_{j_0}\subset U_{j_1}\cup\ldots\cup U_{j_n} $$
なるものが取れる。これより、
$$ \widetilde{X}=U_{j_0}\cup U_{j_1}\cup\ldots\cup U_{j_n} $$
であるから、$(\widetilde{X},\widetilde{\mathcal{O}})$ はコンパクト空間である。任意の $x\in X$ に対し $x\in U\subset K\subset X$ なる $U\in \mathcal{O}$ とコンパクト集合 $K$ が取れ、$\widetilde{X}\backslash K\in \mathcal{O}'$ であり、
$$ x\in U,\quad \infty\in \widetilde{X}\backslash K,\quad U\cap (\widetilde{X}\backslash K)=\emptyset $$
であるから、$(\widetilde{X},\widetilde{\mathcal{O}})$ はHausdorff空間である。

任意の $f\in C_0(X)$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。$(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトであるからUrysohnの補題（ 定理27.6 ）より台がコンパクトな連続関数 $h\colon X\rightarrow[0,1]$ で $h(x)=1$ $(\forall x\in (\lvert f\rvert\geq\epsilon))$ なるものが取れる。このとき $fh\in C_c(X)$ であり $\| f-fh\|\leq\epsilon$ であるから $f\in \overline{C_c(X)}$ である。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$f\in C_0(X)$ とする。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $K\colon=(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトであるから $\widetilde{X}\backslash K$ は $\infty\in \widetilde{X}$ の開近傍である。そして、
$$ \lvert\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(\infty)\rvert=\lvert \widetilde{f}(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in \widetilde{X}\backslash K) $$
であるから $\widetilde{f}$ は $\infty\in \widetilde{X}$ において連続である。よって $\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$ である。~
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$ とする。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(\lvert f\rvert\geq\epsilon)=(\lvert \widetilde{f}\rvert\geq\epsilon)$ であるから $(\lvert f\rvert\geq\epsilon)$ はコンパクトである。よって $f\in C_0(X)$ である。

$(1)$ はRadon測度がコンパクト集合に対して有限値を与えることによる。
$K\subset V$ なる任意のコンパクト集合 $K$ と開集合 $V$ に対し、Urysohnの補題（ 定理27.6 ）より $K\prec f\prec V$ なる $f$ が取れる。このとき $\chi_K(x)\leq f(x)\leq \chi_V(x)$ $(\forall x\in X)$ であるから、
$$ \mu(K)\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \mu(V)\quad\quad(*) $$
である。$(*)$ と $\mu(V)$ に対する内部正則性より $(2)$ が成り立つことが分かる。また $(*)$ と $\mu(K)$ に対する外部正則性より $(3)$ が成り立つことが分かる。

• $(1)$　$\mu_0,\mu^*$ がそれぞれ単調であることは定義より明らかである。また $\mu^*$ が $\mu_0$ の拡張であることは $\mu_0$ の単調性による。
• $(2)$　任意の $f\prec \bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n$ に対し $\text{supp}(f)$ のコンパクト性より $\text{supp}(f)\subset \bigcup_{n=1}^{N}V_n$ なる $N\in \mathbb{N}$ が取れる。そして $1$ の分割（ 定理27.7 ）より $h_1\prec V_1,\ldots,h_N\prec V_N$ で、
  $$ \sum_{n=1}^{N}h_n(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(f)) $$
  なるものが取れる。各 $n\in\{1,\ldots,N\}$ に対し $f_n\colon=h_nf$ とおくと $f_n\prec V_n$ であり、$f=\sum_{n=1}^{N}f_n$ であるから、
  $$ \Lambda f=\sum_{n=1}^{N}\Lambda f_n\leq \sum_{n=1}^{N}\mu_0(V_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(V_n) $$
  である。よって $\mu_0(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}V_n)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_0(V_n)$ が成り立つ。
• $(3)$　$\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)<\infty$ とすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\mathcal{O}_X$ の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ E_n\subset V_n,\quad \mu_0(V_n)<\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  なるものが取れる。よって $(1),(2)$より、
  $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)\leq \mu_0\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n\right)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(V_n) \leq \sum_{n\in \mathbb{N}}(\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n})=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon $$
  であるから $\epsilon$ の任意性より $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。
• $(4)$　$f\in C_{c,+}(X)$ で $f|_K=1$ なるものを取る。任意の $\alpha\in (0,1)$ に対し $K\subset (\alpha< f)$ である。任意の $g\prec (\alpha< f)$ に対し $\alpha g(x)\leq f(x)$ $(\forall x\in X)$ であるから $\Lambda$ の単調性より $\alpha\Lambda g\leq \Lambda f$ である。よって $g\prec (\alpha< f)$ の任意性より、
  $$ \alpha\mu^*(K)\leq \alpha\mu_0( (\alpha< f) )\leq\Lambda f $$
  であり、$\alpha\in(0,1)$ の任意性より $\mu^*(K)\leq \Lambda f$ である。これより、
  $$ \mu^*(K)\leq \inf\{\Lambda f:f\in C_{c,+}(X),f|_K=1\}\leq \inf\{\Lambda f:K\prec f\} $$
  が成り立つ。$K\subset V$ なる任意の開集合 $V$ に対しUrysohnの補題（ 定理27.6 ）より $K\prec f\prec V$ なる $f$ が取れるから $\inf\{\Lambda f:K\prec f\}\leq \mu_0(V)$ である。よって $V$ の任意性より、
  $$ \inf\{\Lambda f:K\prec f\}\leq \mu^*(K) $$
  が成り立つ。$\mu^*(K)<\infty$ であることから $K\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。
• $(5)$　任意の $f\prec V$ を取る。$\text{supp}(f)\prec g$ なる任意の $g$ に対し $f(x)\leq g(x)$ $(\forall x\in X)$ より $\Lambda f\leq \Lambda g$ であるから $(4)$ より、
  $$ \Lambda f\leq \mu^*(\text{supp}(f))\leq \sup\{\mu^*(K):K\text{ は }V\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$
  である。よって $f\prec V$ の任意性より、
  $$ \mu_0(V)\leq \sup\{\mu^*(K):K\text{ は }V\text{ に含まれるコンパクト集合}\} $$
  が成り立つ。逆の不等式は $(1)$ による。
• $(6)$　$n=2$ の場合を示せば十分である。$K_1\cup K_2\prec f$ なる任意の $f$ を取り、Urysohnの補題により $K_1\prec h\prec X\backslash K_2$ なる $h$ を取る。$f_1\colon=fh$、$f_2\colon=f(1-h)$ とおけば $K_1\prec f_1$、$K_2\prec f_2$ であり、$f=f_1+f_2$ であるから、$(4)$ より、
  $$ \mu^*(K_1)+\mu^*(K_2)\leq \Lambda f_1+\Lambda f_2=\Lambda f $$
  である。よって $f$ の任意性と $(4)$ より $\mu^*(K_1)+\mu^*(K_2)\leq \mu^*(K_1\cup K_2)$ が成り立つ。逆の不等式は $\mu^*$ の劣加法性による。
• $(7)$　$\mu^*$ の劣 $\sigma$-加法性より $\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n)$ を示せばよい。$\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)<\infty$ とする。このとき任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対しコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ K_n\subset E_n,\quad \mu^*(E_n)\leq \mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  なるものが取れる。$(6)$ と $\mu^*$ の単調性より任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n)<\sum_{n=1}^{N}(\mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2^n})\leq \mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{N}K_n\right)+\epsilon\leq\mu^*\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)+\epsilon $$
  であるから、
  $$ \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)+\epsilon $$
  である。よって $\epsilon\in (0,\infty)$ の任意性より $\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)\leq \mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)$ が成り立つ。
• $(8)$　任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(7)$ より、
  $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)-\frac{\epsilon}{2}<\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n) $$
  なる $N\in \mathbb{N}$ が取れる。コンパクト集合 $K_1,\ldots,K_N$ で、
  $$ K_n\subset E_n,\quad \mu^*(E_n)\leq \mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2N}\quad(n=1,\ldots,N) $$
  なるものを取れば、$K\colon=\bigcup_{n=1}^{N}K_n$ は $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n$ に含まれるコンパクト集合であり、
  $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)-\frac{\epsilon}{2}< \sum_{n=1}^{N}\mu^*(E_n)<\sum_{n=1}^{N}(\mu^*(K_n)+\frac{\epsilon}{2N})=\mu^*(K)+\frac{\epsilon}{2} $$
  より、
  $$ \mu^*\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\right)\leq\mu^*(K)+\epsilon $$
  である。よって $\epsilon$ の任意性より $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。
• $(9)$　コンパクト集合 $K\subset E$ と開集合 $V\supset E$ で、
  $$ \mu^*(E)-\frac{\epsilon}{2}<\mu^*(K),\quad \mu^*(V)<\mu^*(E)+\frac{\epsilon}{2} $$
  なるものを取ると、$(4),(5),(7)$ より、
  $$ \mu^*(V\backslash K)=\mu^*(V)-\mu^*(K)<\epsilon $$
  である。
• $(10)$　まず $A_1\backslash A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ を示す。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(9)$ より $K_j\subset A_j\subset V_j$, $\mu^*(V_j\backslash K_j)<\frac{\epsilon}{2}$ $(j=1,2)$ なるコンパクト集合 $K_1,K_2$ と開集合 $V_1,V_2$ が取れる。$K_1\backslash V_2$ は $A_1\backslash A_2$ に含まれるコンパクト集合であり、
  $$ A_1\backslash A_2\subset (A_1\backslash K_1)\cup (K_1\backslash V_2)\cup(V_2\backslash A_2)\subset (V_1\backslash K_1)\cup (K_1\backslash V_2)\cup (V_2\backslash K_2) $$
  と $\mu^*$ の劣加法性より、
  $$ \mu^*(A_1\backslash A_2)\leq \mu^*(V_1\backslash K_1)+\mu^*(K_1\backslash V_2)+\mu^*(V_2\backslash K_2)<\mu^*(K_1\backslash V_2)+\epsilon $$
  である。よって $\epsilon$ の任意性より $A_1\backslash A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。これより任意の $A_1,A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ に対し $A_1\cap A_2=A_1\backslash (A_1\backslash A_2)\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ であり、$(8)$ より $A_1\cup A_2=(A_1\backslash A_2)\cup A_2\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。
• $(11)$　任意の $E,F\in \mathfrak{M}$ と任意のコンパクト集合 $K$ に対し、
  $$ (X\backslash E)\cap K=K\backslash (E\cap K),\quad (E\cup F)\cap K=(E\cap K)\cup (F\cap K) $$
  であるから $(4),(10)$ より $X\backslash E, E\cup F\in \mathfrak{M}$ である。よって $\mathfrak{M}$ は有限加法族である。また $(4),(8)$ より $\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$ である。これより $\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。$(4)$ より $\mathfrak{M}$ は任意の閉集合を含むので $\mathcal{B}_X\subset \mathfrak{M}$ である。
• $(12)$　$(4),(10)$ より $\mathfrak{M}_{\rm f}\subset \mathfrak{M}$ である。$\mu^*(E)<\infty$ を満たす任意の $E\in \mathfrak{M}$ を取り $E\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ が成り立つことを示せばよい。まず $\mu^*(E)<\infty$ より $E$ を含む開集合 $V$ で $\mu^*(V)<\infty$ なるものが取れる。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $(5)$ より、
  $$ K_1\subset V,\quad \mu^*(V)<\mu^*(K_1)+\frac{\epsilon}{2} $$
  なるコンパクト集合 $K_1$ が取れ、$(7)$ より、
  $$ \mu^*(V\backslash K_1)=\mu^*(V)-\mu^*(K_1)<\frac{\epsilon}{2} $$
  である。$E\cap K_1\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ であるから、
  $$ K_2\subset E\cap K_1,\quad \mu^*(E\cap K_1)<\mu^*(K_2)+\frac{\epsilon}{2} $$
  なるコンパクト集合 $K_2$ が取れる。$\mu^*$ の劣加法性と単調性より、
  $$ \mu^*(E)\leq \mu^*(E\cap K_1)+\mu^*(V\backslash K_1)<\mu^*(K_2)+\epsilon $$
  であるから、$\epsilon$ の任意性より $E\in \mathfrak{M}_{\rm f}$ である。
• $(13)$　$(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathfrak{M}$ の非交叉列とし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つことを示す。もし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)=\infty$ ならば $\mu^*$ の劣 $\sigma$-加法性より成り立つ。またもし $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)<\infty$ ならば $(12),(7)$ より成り立つ。よって $\mathfrak{M}\ni E\mapsto \mu^*(E)\in [0,\infty]$ は測度である。$\mathfrak{M}$ は $\mathcal{B}_X$ を含むから $\mu\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \mu^*(B)\in [0,\infty]$ はBorel測度である。$(1),(5),(12)$ より $\mu$ はRadon測度である。
• $(14)$　任意の $f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)$ に対し、
  $$ \Lambda f\leq \int_{X}f(x)d\mu(x) $$
  が成り立つことを示せば十分である。（$f$ の代わりに $-f$ を考えれば逆の不等式が得られる。）任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取り固定する。$\lvert f(x)\rvert< M<\infty$ $(\forall x\in X)$ なる $M$ を取り、
  $$ \frac{2M}{N}<\epsilon $$
  なる $N\in \mathbb{N}$ を取る。そして、
  $$ y_k\colon=-M+k\frac{2M}{N}\quad(k=0,1,\ldots,N) $$
  とおき、
  $$ B_k\colon=\text{supp}(f)\cap (y_{k-1}\leq f< y_k)\in \mathcal{B}_X\quad(k=1,\ldots,n) $$
  とおく。このとき、
  $$ \text{supp}(f)=\bigcup_{k=1}^{N}B_k,\quad B_i\cap B_j=\emptyset\quad(i\neq j) $$
  である。各 $k\in \{1,\ldots,N\}$ に対し、$B_k\subset U_k$、$\mu(U_k)<\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N}$ なる $U_k\in \mathcal{O}_X$ を取り、
  $$ V_k:=U_k\cap (f< y_k+\epsilon)\in \mathcal{O}_X\quad(k=1,\ldots,N) $$
  とおけば、
  $$ B_k\subset V_k,\quad \mu(V_k)<\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N}\quad(k=1,\ldots,N) $$
  である。$\text{supp}(f)=\bigcup_{k=1}^{N}B_k\subset \bigcup_{k=1}^{N}V_k$ であるから $1$ の分割（ 定理26.8 ）より、
  $$ h_k\prec V_k\quad(k=1,\ldots,N),\quad \sum_{k=1}^{N}h_k(x)=1\quad(\forall x\in \text{supp}(f)) $$
  なる $h_1,\ldots,h_N$ が取れる。このとき $(4)$ より、
  $$ \mu(\text{supp}(f))\leq \Lambda\sum_{k=1}^{N}h_k=\sum_{k=1}^{N}\Lambda h_k $$
  であり、$\text{supp}(h_k)\subset V_k\subset (f< y_k+\epsilon)$ より、
  $$ f(x)=\sum_{k=1}^{N}f(x)h_k(x)\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon) h_k(x)\quad(\forall x\in X) $$
  であるから、
  $$ \Lambda f\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon)\Lambda h_k $$
  である。また、
  $$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\sum_{k=1}^{N}\int_{B_k}f(x)d\mu(x)\geq \sum_{k=1}^{N}y_{k-1}\mu(B_k)\geq \sum_{k=1}^{N}(y_k-\epsilon)\mu(B_k) $$
  である。よって、
  $$ \begin{aligned} \Lambda f&\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k+\epsilon)\Lambda h_k =\sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)\Lambda h_k-M\sum_{k=1}^{N}\Lambda h_k\\ &\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)\mu(V_k)-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq \sum_{k=1}^{N}(y_k+M+\epsilon)(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq\sum_{k=1}^{N}(y_k-\epsilon)(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})+(2\epsilon+M)\sum_{k=1}^{N}(\mu(B_k)+\frac{\epsilon}{N})-M\mu(\text{supp}(f))\\ &\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)+\epsilon M+(2\epsilon+M)(\mu(\text{supp}(f))+\epsilon)-M\mu(\text{supp}(f))\\ &=\int_{X}f(x)d\mu(x)+2\epsilon(\epsilon+M+\mu(\text{supp}(f))) \end{aligned} $$
  であるから、$\epsilon$ の任意性より $\Lambda f\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)$ を得る。

一意性は 命題29.4 の $(2)$ とRadon測度の外部正則性による。存在は 補題30.3 による。

• $(1)$　$X$ は $\sigma$-コンパクトであるからあるコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ により $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ と表される。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $B_n\colon=B\cap K_n$ とおく。外部正則性より、
  $$ B_n\subset V_n,\quad \mu(V_n)<\mu(B_n)+\frac{\epsilon}{2^{n+1}} $$
  を満たす開集合 $V_n$ が取れる。$\mu(B_n)\leq\mu(K_n)<\infty$ より、
  $$ \mu(V_n\backslash B_n)<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  である。
  開集合 $V\colon=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n$ を定義すれば $B\subset V$ であり、$V\backslash B\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}}V_n\backslash B_n$ より、
  $$ \mu(V\backslash B)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(V_n\backslash B_n)<\frac{\epsilon}{2} $$
  となる。$B$ の代わりに $X\backslash B$ を考えれば閉集合 $F$ で、$F\subset B$、$\mu(B\backslash F)<\frac{\epsilon}{2}$ なるものが取れることが分かる。
  $V\backslash F\subset (V\backslash B)\cup (B\backslash F)$ であるから、
  $$ \mu(V\backslash F)\leq \mu(V\backslash B)+\mu(B\backslash F)<\epsilon $$
  である。
• $(2)$　$\mu(B)=\infty$ の場合を示せばよい。このとき $(1)$ より閉集合 $F$ で、$F\subset B$、$\mu(F)=\infty$ なるものが取れる。$X$ は $\sigma$-コンパクトであるからコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ なるものが取れる。測度の単調収束性（ 命題6.3 の$(5)$）より、
  $$ \mu(B)=\infty=\mu(F)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu(F\cap K_n) $$
  であり、各 $F\cap K_n$ はコンパクト集合であるから $(*)$ が成り立つ。

$\mu$ はコンパクト集合に対して有限なのでRadon汎関数
$$ \Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X) \ni f\mapsto \int_{X}f(x)d\mu(x)\in \mathbb{R} $$
が定義でき、Riesz-Markov-角谷の表現定理よりRadon測度 $\lambda\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ で、
$$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)d\lambda(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$
を満たすものが一意的に定まる。任意の開集合 $V\subset X$ に対し 注意31.2 よりコンパクト集合の列 $(K_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $V=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n$ なるものが取れる（注： 命題27.4 より局所コンパクトHausdorff空間の任意の開集合は相対位相で局所コンパクトHausdorff空間である。）。Urysohnの補題（ 定理27.6 ）により $K_n\prec g_n\prec V$ なる $g_n$ を取り、
$$ f_n\colon=\text{max}(g_1,\ldots,g_n)\in C_{c,+}(X)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
とおけば、$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は各点単調増加列で $\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n=\chi_V$ である。よって単調収束定理より、
$$ \mu(V)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\lambda(x)=\lambda(V) $$
である。これより $\mu$ と $\lambda$ は任意の開集合に対して一致する。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し 命題31.3 の $(1)$ より閉集合 $F$ と開集合 $V$ で、
$$ F\subset B\subset V,\quad \lambda(V\backslash F)=\mu(V\backslash F)<\epsilon $$
を満たすものが取れる。
$$ \begin{aligned} \mu(B)&\leq \mu(V)=\lambda(V)=\lambda(F)+\lambda(V\backslash F)\leq \lambda(B)+\epsilon,\\ \lambda(B)&\leq \lambda(V)=\mu(V)=\mu(F)+\mu(V\backslash F)\leq \mu(B)+\epsilon \end{aligned} $$
であるから $\epsilon$ の任意性より $\mu(B)=\lambda(B)$ を得る。

命題22.1 より $f$ は $\mathcal{L}^p(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ に属するBorel単関数の列で近似できるから、$\mu(B)<\infty$ なる $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $f=\chi_B$ であるとして示せば十分である。さらに外部正則性より $B$ を含む開集合の列 $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\| \chi_B-\chi_{V_n}\|_{\mu,p}=\lim_{n\rightarrow\infty}\| \chi_{V_n\backslash B}\|_{\mu,p}=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(V_n\backslash B)^{\frac{1}{p}}=0 $$
なるものが取れるので、$\mu(V)<\infty$ なる開集合 $V$ に対し $f=\chi_V$ であるとして示せば十分である。 命題29.4 の $(2)$ より $f_n\prec V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ なる $C_{c,+}(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\mu(V)-\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=0 $$
となるものが取れる。よって、
$$ \begin{aligned} \| \chi_V-f_n\|_{\mu,p}^p&=\int_{X}\lvert\chi_V(x)-f_n(x)\rvert^pd\mu(x) \leq \int_{X}(\chi_V(x)-f_n(x))d\mu(x)\\ &=\mu(V)-\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) \end{aligned} $$
である。

• $(1)$　任意の $\nu_1,\nu_2\in M(X)$ に対し $\nu_1+\nu_2$ が複素数値Radon測度であることを示せば十分である。（それ以外は全変動の 定義19.1 より自明である。）任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\lvert\nu_j\rvert(B)$ の内部正則性より $B$ に含まれるコンパクト集合の列 $(K_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\lvert \nu_j\rvert(B\backslash K_{n})=0\quad(j=1,2) $$
  なるものが取れる。全変動の定義より、
  $$ \lvert \nu_1+\nu_2\rvert(B\backslash K_n)\leq \lvert \nu_1\rvert(B\backslash K_n)+\lvert \nu_2\rvert(B\backslash K_n)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
  であるから $\lvert\nu_1+\nu_2\rvert(B)$ は内部正則である。よって 注意33.3 より $\nu_1+\nu_2$ は複素数値Radon測度である。
• $(2)$　 命題19.3 より $\lvert\mu_f\rvert=\mu_{\lvert f\rvert}$ であるから $\| \mu_f\|=\| f\|_{\mu,1}$ である。後は 注意33.3 より任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ が内部正則であることを示せばよい。$\mu(B)<\infty$ の場合、$\mu(B)$ の内部正則性より $B$ に含まれるコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\mu(B)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(K_n)=\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}K_n)$ なるものが取れる。よって $\mu(B\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_n)=\mu(B)-\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_n)=0$ であるから、
  $$ \chi_B(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\chi_{K_n}(x)\quad(\mu\text{-a.e.}x\in X) $$
  である. よって単調収束定理より $\mu_{\lvert f\rvert}(B)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(K_n)$ であるので、$\mu(B)<\infty$ の場合は $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ は内部正則である。
  $\mu(B)=\infty$ の場合を考える。 命題32.1 より $C_c(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-f_n\|_{\mu,1}=0$ なるものが取れる。$A\colon=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\text{supp}(f_n)$ に対し、
  $$ \mu_{\lvert f\rvert}(X\backslash A)=\| (f-f_n)\chi_{X\backslash A}\|_{\mu,1}\leq \| f-f_n\|_{\mu,1}\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
  であるから、
  $$ K_n\colon=\bigcup_{k=1}^{n}\text{supp}(f_k)\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
  としてコンパクト集合の単調増加列 $(K_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、
  $$ \mu_{\lvert f\rvert}(B)=\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap A)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap K_n) $$
  である。$\mu(B\cap K_n)\leq \mu(K_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ であるから上段の結果より、
  $$ \mu_{\lvert f\rvert}(B)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu_{\lvert f\rvert}(B\cap K_n) \leq\sup\{\mu_{\lvert f\rvert}(K): K\text{ は }B\text{ に含まれるコンパクト集合}\}\leq\mu_{\lvert f\rvert}(B) $$
  である。よって $\mu(B)=\infty$ の場合も $\mu_{\lvert f\rvert}(B)$ は内部正則である。
• $(3)$　$\nu$ の $\lvert\nu\rvert$ に関するRadon-Nikodym微分を $h\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\lvert\nu\rvert)$ とすると、$\nu_f=\lvert \nu\rvert_{fh}$ である（ 定義19.5 を参照）から $(2)$ より $\nu_f\in M(X)$ である。

$(*)$ が線形写像であることは有界Borel関数がBorel単関数の列で一様近似できること（ 命題22.2 ）による。また任意の $\nu\in M(X)$ に対し、
$$ \lvert\varphi_{\nu}(f)\rvert=\left\lvert\int_{X}f(x)d\nu(x)\right\rvert \leq \int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)\leq \| f\|\lvert \nu\|\quad(\forall f\in C_0(X)) $$
であるから $(*)$ はノルム減少な有界線形写像である。$(*)$ が単射であることを示す。$\varphi_{\nu}=0$ とする。任意の $B\in \mathcal{B}_X$ に対し $\chi_B\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\lvert\nu\rvert)$ であり、$\lvert\nu\rvert$ はRadon測度であるから 命題32.1 より $C_c(X)$ の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{X}\lvert\chi_B(x)-f_n(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=0 $$
なるものが取れる。$\varphi_{\nu}(f_n)=0$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ より、
$$ \lvert\nu(B)\rvert=\lvert\nu(B)-\varphi_{\nu}(f_n)\rvert=\left\vert\int_{X}(\chi_B(x)-f_n(x))d\nu(x)\right\rvert\leq \int_{X}\lvert\chi_B(x)-f_n(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty) $$
であるから $\nu(B)=0$ である。よって $\nu=0$ なので $(*)$ は単射である。$(*)$ が全射であることとノルムを保存することを示す。任意の $\varphi\in C_0(X)^*$ を取り固定する。これに対し $\Lambda_+\colon C_{c,+}(X)\rightarrow [0,\infty)$
を任意の $f\in C_{c,+}(X)$ に対し、
$$ \Lambda_+f\colon=\sup\{\lvert\varphi(h)\rvert:h\in C_c(X),\text{ }0\leq \lvert h(x)\rvert\leq f(x)\text{ }(\forall x\in X)\} $$
として定義する。このとき明らかに、
$$ \Lambda_+(\alpha f)=\alpha\Lambda_+f\quad(\forall \alpha\in [0,\infty),\forall f\in C_{c,+}(X)),\quad\quad(**) $$
$$ \Lambda_+f+\Lambda_+g\leq\Lambda_+(f+g)\quad(\forall f,g\in C_{c,+}(X))\quad\quad(***) $$
が成り立つ（注：任意の $f_1,f_2\in C_{c,+}(X)$ と$\lvert h_j(x)\rvert\leq f_j(x)$ $(\forall x\in X)$ なる任意の $h_1,h_2\in C_{c}(X)$ を取る。$\lvert\varphi(h_j)\rvert=\alpha_j\varphi(h_j)$, $\lvert\alpha_j\rvert=1$ なる $\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{C}$ を取れば、$\lvert\alpha_1h_1(x)+\alpha_2h_2(x)\rvert\leq f_1(x)+f_2(x)$ $(\forall x\in X)$ である。よって $\lvert\varphi(h_1)\rvert+\lvert\varphi(h_2)\rvert=\alpha_1\varphi(h_1)+\alpha_2\varphi(h_2)=\varphi(\alpha_1h_1+\alpha_2h_2)\leq \Lambda (f_1+f_2)$ である。よって $(***)$ が成り立つ。）。$(***)$ の逆の不等式が成り立つことを示す。$\lvert h(x)\rvert\leq f_1(x)+f_2(x)$ $(\forall x\in X)$ なる任意の $h\in C_{c}(X)$ を取る。
$$ h_j(x)\colon=\left\{\begin{array}{cl}\frac{f_j(x)}{f_1(x)+f_2(x)}h(x)&(x\in (f_1+f_2>0))\\0&(x\in (f_1+f_2=0))\end{array}\right. $$
とおけば $h_1,h_2\in C_{c}(X)$ であり(($h_j$ は $(f_1+f_2>0)$ 上で連続である。また $\lvert h_j(x)\rvert\leq \lvert h(x)\rvert$ $(\forall x\in X)$ であるから任意の $x_0\in (f_1+f_2=0)$ と任意の $x\in X$ に対し $\lvert h_j(x)-h_{j}(x_0)\rvert=\lvert h_j(x)\rvert\leq \lvert h(x)\rvert=\lvert h(x)-h(x_0)\rvert$ なので $h_j$ は $(f_1+f_2=0)$ の各点で連続である。))、
$$ h(x)=h_1(x)+h_2(x),\quad\lvert h_j(x)\rvert\leq f_j(x)\quad(\forall x\in X,j=1,2) $$
であるから、
$$ \lvert\varphi(h)\rvert\leq\lvert\varphi(h_1)\rvert+\lvert\varphi(h_2)\rvert\leq\Lambda f_1+\Lambda f_2 $$
である。よって $(***)$ の逆の不等式が成り立つ。
これより、
$$ \Lambda_+(f_1+f_2)=\Lambda_+f_1+\Lambda_+f_2\quad(\forall f_1,f_2\in C_{c,+}(X))\quad\quad(****) $$
である。今、$\Lambda\colon C_{c,\mathbb{R}}(X)\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$ \Lambda f\colon=\Lambda_+(f_+)-\Lambda_+(f_-)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$
として定義する。（$f_{\pm}=\text{max}(\pm f,0)=\pm \frac{1}{2}f+\frac{1}{2}\lvert f\rvert\in C_{c,+}(X)$ に注意。) このとき $(**),(****)$ より $\Lambda$ はRadon汎関数である（注：$(f_1+f_2)_++f_{1,-}+f_{2,-}=(f_1+f_2)_-+f_{1,+}+f_{2,+}$ であることと、$\alpha\in[0,\infty)$ に対し $(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}$、$\alpha\in(-\infty,0)$に対し $(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}$ であることによる。）。よって 定理30.4 よりRadon測度 $\mu\colon\mathcal{B}_X\rightarrow[0,\infty]$ で、
$$ \Lambda f=\int_{X}f(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in C_{c,\mathbb{R}}(X)) $$
を満たすものが定まる。 命題29.4 の $(2)$ より、
$$ \mu(X)=\sup\{\Lambda f: f\in C_{c,+}(X),f(x)\leq 1\text{ }(\forall x\in X)\}\leq \|\varphi\| $$
であるから $\mu$ は有限測度である。そして任意の $f\in C_{c}(X)$ に対し、
$$ \lvert\varphi(f)\rvert\leq\Lambda_+(\lvert f\rvert)=\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\| f\|_{\mu,1} $$
であり、$\mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\ni f\mapsto \| f\|_{\mu,1}\in[0,\infty)$ はセミノルムであるから、Hahn-Banachの拡張定理（ 位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理11.3 ）より線形汎関数 $\psi\colon\mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\rightarrow \mathbb{C}$ で、
$$ \psi(f)=\varphi(f)\quad(\forall f\in C_c(X)),\quad\lvert\psi(f)\rvert\leq \| f\|_{\mu,1}\quad(\forall f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)) $$
なるものが存在する。このとき、
$$ L^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)\ni [f]\mapsto \psi(f)\in \mathbb{C} $$
は $(L^1(X,\mathcal{B}_X,\mu))^*$ のノルムが $1$ 以下の有界線形汎関数である（$\lvert \psi(f)\rvert\leq \| f\|_{\mu,1}$ よりwell-definedである）から、 定理23.4 より $g\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ で、
$$ \| g\|_{\mu,\infty}\leq1,\quad \psi(f)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)\quad(\forall f\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)) $$
なるものが取れる。$\mu$ は有限測度であるから $g\in \mathcal{L}^1(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ であり、 命題33.4 の $(2)$ より、
$$ \nu\colon\mathcal{B}_X\ni B\mapsto \int_{B}g(x)d\mu(x)\in \mathbb{C} $$
は $M(X)$ の元で、
$$ \|\nu\|=\| g\|_{\mu,1}\leq \| g\|_{\mu,\infty}\mu(X)\leq\mu(X) $$
である。そして、
$$ \varphi(f)=\psi(f)=\int_{X}f(x)g(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)d\nu(x)=\varphi_{\nu}(f)\quad(\forall f\in C_{c}(X)) $$
である。（三番目の等号が成り立つことについては 命題19.6 を参照。）
命題28.3 より $C_c(X)$ は $C_0(X)$ で稠密であるので $\varphi=\varphi_{\nu}$ が成り立ち、
$$ \| \nu\|\leq\|\varphi\|=\|\varphi_{\nu}\|\leq\|\nu\| $$
である。これで $(*)$ の全射性とノルム保存性が示せた。

$(*)$ の左辺の元 $f_0$ で $f_0\notin \mathcal{A}$ であるものが存在すると仮定して矛盾を導く。
$$ \mathcal{A}^{\perp}\colon=\{\varphi\in C(X)^*:\text{ }\varphi(f)=0\text{ }(\forall f\in \mathcal{A})\} $$
とおくと、$\mathcal{A}^{\perp}\subset C(X)^*$ は弱 $*$-位相で閉な部分空間である（弱 $*$-位相で閉であることについてはネットによる閉包の点の特徴付け（ ネットによる位相空間論の命題2.4 と弱 *-位相による収束の特徴付け（定義（ 位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相 ）より分かる）。そしてAlaogluの定理（ 位相線形空間2：セミノルム位相と汎弱位相の定理10.3 ）より、
$$ C(X)^*_1=\{\varphi\in C(X)^*:\|\varphi\|\leq 1\} $$
は弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合であるから、
$$ \mathcal{A}^{\perp}_1\colon=\mathcal{A}^{\perp}\cap C(X)^*_1 $$
も弱 $*$-位相でコンパクトな凸集合である。よってKrein-Milmanの端点定理（ 位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理14.3 ）より、
$$ \mathcal{A}^{\perp}_1=\overline{\text{conv}(\text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1))}^{\text{弱 $*$-位相}}\quad\quad(**) $$
が成り立つ。$f_0\notin \mathcal{A}$ より $f_0$ を代表元とする商Banach空間 $C(X)/\mathcal{A}$ の元 $[f_0]$ は $0$ ではない。よってHahn-Banachの拡張定理（ 位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理11.5 ）よりノルムが $1$ 以下の $\Phi\in (C(X)/\mathcal{A})^*$ で $\Phi([f_0])\neq0$ なるものが取れる。そこで $\varphi\in C(X)^*$ を $\varphi(f)=\Phi([f])$ $(\forall f\in C(X))$ として定義すれば $\varphi\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ で $\varphi(f_0)\neq0$ である。よって $(**)$ より $\varphi_0\in \text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1)$ で $\varphi_0(f_0)\neq0$ なるものが取れる。この $\varphi_0$ を固定する。$\varphi_0$ は $\mathcal{A}^{\perp}_1$ の端点であるから $\| \varphi_0\|=1$ である。実際、もし $0<\|\varphi_0\|<1$ ならば $\frac{1}{\|\varphi_0\|}\varphi_0, 0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ であり、$\varphi_0=\|\varphi_0\| \frac{1}{\|\varphi_0\|}\varphi_0+(1-\|\varphi_0\|)0$ であるから、$\varphi_0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ が端点であることより $\varphi_0=0$ となり矛盾する。今、Riesz-Markov-角谷の表現定理2（ 定理34.1 ）により $\varphi_0$ に対応する $\nu\in M(X)$ を取り、全変動 $\lvert\nu\rvert$ の台（ 定義35.2 ）を $K$ とおく。
$$ 1=\|\varphi_0\|=\| \nu\|=\lvert\nu\rvert(X)=\lvert \nu\rvert(K) $$
である。$K$ が $\mathcal{A}$ -反対称集合であることを示す。$K$ 上で常に実数値を取る $f\in \mathcal{A}$ を取り $f$ が $K$ 上で定数であることを示す。$K$ はコンパクトであり $1\in \mathcal{A}$ であるから、
$$ 0< f(x)<1\quad(\forall x\in K) $$
であると仮定して示せば十分である。 命題33.4 の $(3)$ より $\nu_f,\nu_{1-f}\in M(X)$ であり、
$$ \begin{aligned} &\| \nu_f\|=\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=\int_{K}f(x)d\lvert\nu\rvert(x)>0,\\ &\| \nu_{1-f}\|=\int_{X}\lvert 1-f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x)=\int_{K}(1-f(x))d\lvert \nu\rvert(x)>0,\\ &\| \nu_f\|+\| \nu_{1-f}\|=\int_{K}(f(x)+1-f(x))d\lvert\nu\rvert(x)=\lvert\nu\rvert(K)=1 \end{aligned} $$
である。そこで $t\colon=\| \nu_f\|\in (0,1)$ とおき、
$$ \nu_1:=\frac{1}{t}\nu_f,\quad \nu_2:=\frac{1}{1-t}\nu_{1-f}\in M(X) $$
とおく。Riesz-Markov-角谷の表現定理2（ 定理34.1 ）により $\nu_1,\nu_2\in M(X)$ に対応するノルムが $1$ の $C(X)^*$ の元を $\varphi_1,\varphi_2$ とする。任意の $g\in \mathcal{A}$ に対し $fg, (1-f)g\in \mathcal{A}$ であることと 命題19.6 より、
$$ \begin{aligned} &\varphi_1(g)=\frac{1}{t}\int_{X}g(x)d\nu_f(x)=\frac{1}{t}\int_{X}f(x)g(x)d\nu(x)=\frac{1}{t}\varphi_0(fg)=0,\\ &\varphi_2(g)=\frac{1}{1-t}\int_{X}g(x)d\nu_{1-f}(x)=\frac{1}{1-t}\int_{X}(1-f(x))g(x)d\nu(x)=\frac{1}{1-t}\varphi_0((1-f)g)=0 \end{aligned} $$
であるから $\varphi_1,\varphi_2\in \mathcal{A}^{\perp}_1$ である。そして $t\nu_1+(1-t)\nu_2=\nu$ より、
$$ t\varphi_1+(1-t)\varphi_2=\varphi_0 $$
であるから $\varphi_0\in \text{ext}(\mathcal{A}^{\perp}_1)$ より $\varphi_0=\varphi_1$、したがって $\nu=\frac{1}{t} \nu_f$ である。よって $\nu_{t-f}=0$ より、
$$ 0=\| \nu_{t-f}\|=\int_{X}\lvert t-f(x)\rvert d\lvert\nu\rvert(x) $$
であるから、
$$ \lvert\nu\rvert( (\lvert t-f\rvert>0) )=0 $$
が成り立つ。$(\lvert t-f\rvert>0)$ は開集合であり $K$ は $\lvert\nu\rvert$ の台であるので、
$$ K\subset (\lvert t-f\rvert=0) $$
を得る。ゆえに $K$ 上で $f=t$ であるから、$K$ は $\mathcal{A}$ -反対称集合である。$K$ を含む $\mathcal{K}$ の元が取れる（ 定義35.1 を参照）ので、$f_0$ が $(*)$ の左辺に属することから $f_0|_K=g|_K$ なる $g\in \mathcal{A}$ が取れる。よって、
$$ \varphi_0(f_0)=\int_{X}f_0(x)d\nu(x)=\int_{K}f_0(x)d\nu(x)=\int_{K}g(x)d\nu(x)=\int_{X}g(x)d\nu(x)=\varphi_0(g) $$
となる。しかし $\varphi_0(f_0)\neq0$ であり、$\varphi_0\in \mathcal{A}^{\perp}_1$、$g\in \mathcal{A}$ より $\varphi_0(g)=0$ であるから矛盾する。

$\overline{\mathcal{A}}$ は $1\in C(X)$ を含む閉部分 $*$-環である。任意の $\overline{A}$-反対称集合 $K$ は一点集合であることを示す。任意の $x,y\in K$ を取る。$\overline{A}$ は共役で閉じているから、任意の $f\in \overline{\mathcal{A}}$ に対し、
$$ \text{Re}(f)=\frac{1}{2}(f+\overline{f}),\quad \text{Im}(f)=\frac{1}{2i}(f-\overline{f})\in\overline{\mathcal{A}} $$
であり、$\text{Re}(f), \text{Im}(f)$ は実数値なので $K$ 上で定数である。よって$f(x)=f(y)$ である。これより任意の $f\in \overline{\mathcal{A}}$ に対し $f(x)=f(y)$ なので仮定より $x=y$ である。よって $\overline{\mathcal{A}}$ -反対称集合は一点集合のみである。任意の $f\in C(X)$ と任意の $x\in X$ に対し、$f$ と $f(x)1\in \overline{\mathcal{A}}$ は $\{x\}$ 上で一致する。よってBishopの定理より $f\in \overline{\mathcal{A}}$ である。よって$\mathcal{A}$ は $C(X)$ において稠密である。

$\widetilde{X}=X\cup \{\infty\}$ を $X$ の一点コンパクト化とし、$f\in C_0(X)$ の $\widetilde{X}$ 上への $0$ 拡張を $\widetilde{f}\in C(\widetilde{X})$（ 命題28.5 を参照）とする。
$$ \widetilde{\mathcal{A}}\oplus\mathbb{C}1:=\{\widetilde{f}+\alpha:f\in \mathcal{A}, \alpha\in \mathbb{C}\}\subset C(\widetilde{X}) $$
は $1\in C(\widetilde{X})$ を含む $C(\widetilde{X})$ の部分 $*$-環であり、 定理35.4 の仮定を満たす。よって $\widetilde{\mathcal{A}}\oplus\mathbb{C}1$ は $C(\widetilde{X})$ において稠密である。ゆえに任意の $f\in C_0(X)$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $g\in \mathcal{A}$ と $\alpha\in \mathbb{C}$ で、
$$ \| \widetilde{f}-(\widetilde{g}+\alpha)\|\leq\epsilon $$
を満たすものが取れる。$\lvert \alpha\rvert=\lvert \widetilde{f}(\infty)-(\widetilde{g}(\infty)+\alpha)\rvert\leq\epsilon$ であり、
$$ \lvert f(x)-g(x)\rvert-\lvert\alpha\rvert\leq\lvert \widetilde{f}(x)-(\widetilde{g}(x)+\alpha)\rvert\leq\epsilon\quad(\forall x\in X) $$
であるから $\| f-g\|\leq2\epsilon$ である。これより $f\in \overline{\mathcal{A}}$ であるので $\mathcal{A}$ は $C_0(X)$ において稠密である。

命題27.4 より $X$ の位相の可算基底として閉包がコンパクトな開集合からなるもの $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。任意の $(n,m)\in \mathbb{N}^2$ に対し、Urysohnの補題（ 定理27.6 ）により、
$$ \overline{U_n}\cap \overline{U_m}=\emptyset\quad\Rightarrow\quad \overline{U_n}\prec f_{n,m}\prec X\backslash \overline{U_m}, $$
$$ \overline{U_n}\cap \overline{U_m}\neq\emptyset\quad\Rightarrow \quad \overline{U_n}\prec f_{n,m} $$
なる $f_{n,m}\in C_{c,+}(X)$ を取る。可算集合
$$ \mathcal{A}_{00}\colon=\{f_{n,m}:(n,m)\in \mathbb{N}^2\},\quad \mathcal{A}_{0}\colon=\{g_1\ldots g_n:n\in \mathbb{N}, g_1,\ldots,g_n\in \mathcal{A}_{00}\} $$
に対し $\mathcal{A}_{0}$ の線形包 $\mathcal{A}=\text{span}(\mathcal{A}_0)$ は $C_0(X)$ の部分 *-環であり、Stone-Weierstrassの定理（ 定理35.5 ）の条件 $(1),(2)$ を満たす。（注：任意の$x\in X$に対し$x\in U_n$なる$U_n$が存在すること、およびHausdorff性と 命題27.4 より$x\neq y$なる任意の$x,y\in X$に対し$x\in U_n$, $y\in U_m$かつ$\overline{U_n}\cap \overline{U_m}=\emptyset$なる$U_n,U_m$が存在することに注意。）
よって $\mathcal{A}$ は $C_0(X)$ において稠密である。$\mathcal{A}_0=\{h_n\}_{n\in \mathbb{N}}$とおく。
$\mathcal{A}$ において可算集合
$$ \bigcup_{N\in\mathbb{N}}\left\{\sum_{n=1}^{N}r_nh_n: r_1,\ldots,r_N\in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\right\} $$
は稠密であるので、$C_0(X)$ は可分である。