測度と積分3：測度論の基本定理(1)

$g_n\colon=\inf_{k\geq n}f_k$ とおくと $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の各点単調増加列であるから、単調収束定理より、
$$ \int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x) $$
が成り立つ。また積分の単調性より、
$$ \int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
が成り立つ。よって、
$$ \int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}g_n(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x) $$
であるので $(*)$ を得る。

実部と虚部に分けて考えればよいので各 $f_n$ は実数値関数であるとして示せば十分である。
$$ f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}f_k(x)=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}f_k(x)\quad(\forall x\in X)$$
であるので $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ は可測関数である。
$$ \lvert f(x)\rvert=\lim_{n\rightarrow\infty}\lvert f_n(x)\rvert\leq h(x)\quad(\forall x\in X)\quad\quad(**) $$
であるから積分の単調性より $f,f_n\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ である。$(h\pm f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は非負値可測関数の列であるのでFatouの補題と $(**)$ より、
$$ \int_{X}h(x)\pm f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}h(x)\pm f_k(x)d\mu(x) $$
である。よって積分の線形性より、
$$ \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x), $$
$$ -\int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(-\int_{X}f_k(x)d\mu(x)\right)=-\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x) $$
である。これより、
$$ \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x) \leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x) $$
であるから $(*)$ が成り立つ。

自明である。

$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)$ が成り立つとする。$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、
$$ A_n:=\bigcup_{k=1}^{n}E_k\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
とおけば、$(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であるから、
$$ \bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M} $$
である。よって $\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。

右辺を $\mathcal{A}$ とおく。$\mathcal{A}$ が有限加法族であることを示せば十分である。半集合代数の定義の $(2)$ より $\mathcal{A}$ は有限交叉で閉じているから、半集合代数の定義の $(3)$ より 任意の $E,F\in \mathcal{A}$ に対し $X\backslash E, F\backslash E\in \mathcal{A}$ である。$E, F\backslash E$ は互いに交わらないから $E\cup F=E\cup(F\backslash E)\in\mathcal{A}$ である。よって $\mathcal{A}$ は有限加法族である。

$\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が $\sigma$-加法族であることを示せば十分である。
そのためには 命題12.5 より $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ が有限加法族であることを示せばよい。任意の $A\in 2^X$ に対し、
$$ \mathcal{M}_A\colon=\{B\in 2^X: A\cup B,A\backslash B, B\backslash A\in \mathcal{M}(\mathcal{A})\} $$
とおくと、$\mathcal{M}_A$ は $X$ 上の単調族であり、$A,B\in 2^X$ に対し、
$$ B\in \mathcal{M}_A\quad\Leftrightarrow \quad A\in \mathcal{M}_B\quad\quad(*) $$
である。任意の $A,B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから、
$$ \mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A\quad(\forall A\in \mathcal{A}) $$
である。（注：任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。任意の $B\in \mathcal{A}$ に対し $B\in \mathcal{M}_A$ であるから $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}_A$ である。そして $\mathcal{M}_A$ は単調族であるから、$\mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_A$ である。）したがって 任意の $B\in \mathcal{M}(\mathcal{A})$ に対し、$B\in\mathcal{M}_A$ $(\forall A\in\mathcal{A})$ であるから、$(*)$ より $A\in\mathcal{M}_B$ $(\forall A\in\mathcal{A})$、つまり $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}_B$ である。よって、
$$ \mathcal{M}(\mathcal{A})\subset \mathcal{M}_B\quad(\forall B\in \mathcal{M}(\mathcal{A})) $$
である。ゆえに $\mathcal{M}(\mathcal{A})$ は有限加法族である。

一意性は 命題12.7 による。存在を示す。任意の $A\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ に対し 命題12.7 より互いに交わらない有限個の $C_1,\ldots,C_n\in \mathcal{I}$ が存在し $A=\bigcup_{j=1}^{n}C_j$ と表せる。そこで、
$$ \mu(A)\colon=\sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j) $$
と定義する。これはwell-definedである。実際、有限個の互いに交わらない $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ に対し $A=\bigcup_{k=1}^{m}D_k$ とも表せるとすると、$\mu_0$ の有限加法性より、
$$ \sum_{j=1}^{n}\mu_0(C_j)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_j\cap D_k) =\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k) $$
である。こうして定義される $\mu\colon\mathcal{A}(\mathcal{I})\rightarrow [0,\infty]$ は明らかに $\mu_0$ の拡張であり、有限加法的測度である。
$\mu_0$ が $\sigma$-加法的測度であると仮定して $\mu$ が $\sigma$-加法的測度であることを示す。
まず $\mathcal{I}$ の非交叉列 $(C_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\in\mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(C_n)$ が成り立つことを示す。 命題12.7 より互いに交わらない有限個の $D_1,\ldots,D_m\in \mathcal{I}$ が存在し、
$$ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_n=\bigcup_{k=1}^{m}D_k $$
と表せる。よって $\mu$ の定義と $\mu_0$ の $\sigma$-加法性より、
$$ \mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}C_n\right)=\sum_{k=1}^{m}\mu_0(D_k) =\sum_{k=1}^{m}\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_0(C_n\cap D_k) =\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m}\mu_0(C_n\cap D_k) =\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_0(C_n) $$
である。次に $\mathcal{A}(\mathcal{I})$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathcal{A}(\mathcal{I})$ を満たすとき $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)$ が成り立つことを示す。 命題12.7 より各 $n\in \mathbb{N}$ に対し互いに交わらない有限個の $C_{n,1},\ldots,C_{n,m(n)}\in \mathcal{I}$ が存在し $A_n=\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ と表せる。このとき $(C_{n,k})_{n,k}$ は互いに交わらず、$\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}$ であるから上で示したことより、
$$ \mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\right) =\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{m(n)}C_{n,k}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{m(n)}\mu(C_{n,k}) =\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n) $$
である。これで $\mu$ の $\sigma$-加法性が示された。

• $(1)$　$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\backslash A)\geq \mu(A)$.
• $(2)$　$B_1:=A_1$、$B_k:=A_k\backslash(A_1\cup\ldots\cup A_{k-1})\in \mathcal{A}$ $(k=2,\ldots,n)$ とおくと $B_1,\ldots,B_n$ は互いに交わらず $\bigcup_{j=1}^{n}A_j=\bigcup_{j=1}^{n}B_j$ である。よって $\mu(\bigcup_{j=1}^{n}A_j)=\mu(\bigcup_{j=1}^{n}B_j)=\sum_{j=1}^{n}\mu(B_j)\leq \sum_{j=1}^{n}\mu(A_j)$ である。
• $(3)$　$B_1\colon=A_1$、$B_n:=A_n\backslash (A_1\cup\ldots A_{n-1})\in\mathcal{A}$ $(\forall n\geq 2)$ とおくと $(B_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は非交叉列であり $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_n$ である。よって $\mu(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n)=\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(B_n)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$ である。

$\sigma$-有限性より $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$、$\mu(E_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を満たす $\mathcal{A}$ の列 $(E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$(1)$ については $A_1:=E_1$、$A_n:=E_n\backslash (E_1\cup\ldots \cup E_{n-1})$ $(\forall n\geq2)$ とおけばよく、$(2)$ については$A_n=\bigcup_{j=1}^{n}E_j$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけばよい。（有限加法族上の測度の単調性と有限劣加法性に注意。）

• $(1)$　自明である。
• $(2)$　$\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)<\infty$ と仮定して示せばよい。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\{A_{n,m}\}_{m\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A}$ で、
  $$ E_n\subset \bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_{n,m},\quad \sum_{m\in\mathbb{N}}\mu^*(A_{n,m})<\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n} $$
  なるものが取れる。このとき $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\subset \bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}A_{n,m}$ であり、
  $$ \sum_{n,m\in\mathbb{N}}\mu(A_{n,m})<\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\mu^*(E_n)+\frac{\epsilon}{2^n} \right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon $$
  であるから、$\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\epsilon$ である。$\epsilon\in(0,\infty)$ は任意なので $\mu^*(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n)\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ が成り立つ。
• $(3)$　$X\in \mathfrak{M}$ であることと任意の $A\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash A\in \mathfrak{M}$ であることは自明である。任意の $A,B\in \mathfrak{M}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、劣加法性より、
  $$ \begin{aligned} &\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash(A\cup B))\\ &\leq \mu^*(E\cap A\cap B)+\mu^*((E\cap A)\backslash B)+\mu^*((E\backslash A) \cap B)+\mu^*((E\backslash A)\backslash B)\\ &=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)=\mu^*(E) \end{aligned} $$
  である。よって $\mu^*(E\cap(A\cup B))+\mu^*(E\backslash (A\cup B))\leq\mu^*(E)$ であり、逆の不等式も劣加法性より成り立つので
  $A\cup B\in \mathfrak{M}$ である。ゆえに $\mathfrak{M}$ は有限加法族である。
• $(4)$　$N$ に関する帰納法で示す。$N=1$ の場合は自明。ある $N\in \mathbb{N}$ に対して成り立つと仮定する。
  $$ E\cap A_{N+1}=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\cap A_{N+1},\quad E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n=\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)\backslash A_{N+1} $$
  であるから、
  $$ \begin{aligned} &\sum_{n=1}^{N+1}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right) =\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A_{N+1})+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N+1}A_n\right)\\ &=\sum_{n=1}^{N}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n=1}^{N}A_n\right)=\mu^*(E) \end{aligned} $$
  である。よって $N+1$ の場合も成り立つ。
• $(5)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と任意の $E\in 2^X$ に対し $(4)$ と単調性、劣 $\sigma$-加法性より、
  $$ \mu^*(E)\geq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right) \geq \mu^*\left(E\cap \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)+\mu^*\left(E\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right) $$
  であるから $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ である。このことと $\mathfrak{M}$ が有限加法族であることから、$\mathfrak{M}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n\in \mathfrak{M}$ であるので、$\mathfrak{M}$ は $\sigma$-加法族である。
• $(6)$　$\mathfrak{M}$ の任意の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $E=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ とおくと、$(4)$ より、
  $$ \mu^*(E)\geq\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu^*(A_n) $$
  である。劣 $\sigma$-加法性より逆の不等式も成り立つ。よって $\mathfrak{M}\ni A\mapsto \mu^*(A)\in [0,\infty]$ は測度である。
• $(7)$　任意の $A\in \mathcal{A}$、任意の $E\in 2^X$ に対し、
  $$ \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \mu^*(E)\quad\quad(*) $$
  が成り立つことを示せばよい。$\mu^*(E)<\infty$ とすると、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\mathcal{A}$ の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ E\subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n,\quad\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon $$
  なるものが取れる。$\mathcal{A}$ の列 $(A_n\cap A)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(A_n\backslash A)_{n\in\mathbb{N}}$ はそれぞれ $E\cap A$ と $E\backslash A$ を被覆するから、
  $$ \begin{aligned} \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\backslash A)\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n\cap A)+\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n\backslash A)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n)<\mu^*(E)+\epsilon \end{aligned} $$
  である。よって $(*)$ が成り立つ。
• $(8)$　
  任意の $A\in \mathcal{A}$ を取る。$\mu^*(A)\leq \mu(A)$ は自明。逆の不等式を示す。$A\subset \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ なる $\mathcal{A}$ の任意の列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ に対し、$\mu$ の劣 $\sigma$-加法性と単調性 ( 命題13.3 ) より、
  $$ \mu(A)=\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(A\cap A_n)\right) \leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(A_n) $$
  であるから $\mu(A)\leq \mu^*(A)$ が成り立つ。

拡張の存在は 補題13.6 による。$\mu$ が $\sigma$-有限であるとして拡張の一意性を示す。測度 $\mu_1,\mu_2:\sigma(\mathcal{A})\rightarrow[0,\infty]$ がそれぞれ $\mu$ の拡張であるとする。$\sigma$-有限性より $\mathcal{A}$ の非交叉列 $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$、$\mu(A_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ なるものが取れる（ 命題13.5 ）。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ \mathcal{M}_n:=\{E\in \sigma(\mathcal{A}):\mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\} $$
とおくと、$\mathcal{M}_n$ は $\mathcal{A}$ を含む。また $\mu(A_n)<\infty$ であることと測度の単調収束性（ 命題6.3 ）より $\mathcal{M}_n$ は単調族である。よって単調族定理より、
$$ \mathcal{M}_n=\sigma(\mathcal{A})\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
であるから、
$$ \mu_1(E\cap A_n)=\mu_2(E\cap A_n)\quad(\forall E\in \sigma(\mathcal{A}),\forall n\in\mathbb{N}) $$
が成り立つ。ゆえに任意の $E\in \sigma(\mathcal{A})$ に対し、
$$ \mu_1(E)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_1(E\cap A_n)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu_2(E\cap A_n)=\mu_2(E) $$
である。これで一意性が示せた。

$\prod_{j=1}^{N}X_j$ 上の半集合代数
$$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\colon=\{E_1\times\ldots\times E_N:E_1\in \mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N\} $$
に対し、$\mu\colon\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N\rightarrow[0,\infty]$ を $(*)$ により定義する。このとき $\mu$ は半集合代数上の $\sigma$-加法的測度である。実際、$\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N$ の非交叉列 $(E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N $$
なるものを考え、$E_1\times\ldots\times E_N=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{1,n}\times\ldots\times E_{N,n}$ とおくと、
$$ \chi_{E_1}(x_1)\ldots\chi_{E_N}(x_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{E_{1,n}}(x_1)\ldots\chi_{E_{N,n}}(x_N)\quad(\forall (x_1,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N) $$
であるから、各変数ごとに単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）を順次適用することで、
$$ \mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu_1(E_{1,n})\ldots\mu_N(E_{N,n}) $$
を得る。 よって $\mu$ は $\sigma$-加法的である。 命題13.2 より $\mu$ は $\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の $\sigma$-加法的測度に一意拡張できる。そして $\mu_1,\ldots,\mu_N$ の $\sigma$-有限性より $\mu$ は $\sigma$-有限であるから、Carathéodoryの拡張定理より、$\mu$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N)$ 上の測度に一意拡張できる。

$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定し、
$$ \iota_k\colon X_k\ni x_k\mapsto (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\in X_1\times\ldots\times X_N $$
とおく。任意の $E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N$ に対し $\iota_k^{-1}(E_1\times\ldots\times E_N)$ は $E_k$ か $\emptyset$ であるから $\iota_k$ は可測写像である（ 命題2.3 ）。$(*)$ は可測関数 $\iota_k$ と $f$ の合成であるから可測関数である。$(**)$ が可測関数であることを示すには、非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（ 定理5.5 ）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。さらにそのためには $\mu_k$ の $\sigma$-有限性と単調収束定理より $\mu_k(A_k)<\infty$ なる $A_k\in\mathfrak{M}_k$ を取り、
$$ X_1\times\ldots\widehat{X_k}\ldots\times X_N\ni (x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_N) \mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty)\quad\quad(***) $$
が可測関数であることを示せば十分である。$E\in \mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N$ の場合は $(***)$ は明らかに可測関数である。よって 命題12.7 より $E\in \mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times \mathfrak{M}_N)$ の場合も $(***)$ は可測関数である。$x_j\in X_j$ $(j\neq k)$ を固定したとき、
$$ \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\ni E\mapsto \int_{X_k}\chi_E(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_N)\chi_{A_k}(x_k)d\mu_k(x_k)\in [0,\infty) $$
は有限測度であるから、測度の単調収束性（ 命題6.3 ）より、 $(***)$ が可測関数となるような $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ 全体は単調族である。よって単調族定理より、任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j=\sigma(\mathcal{A}(\mathfrak{M}_1\times\ldots\times\mathfrak{M}_N))$ に対し、$(***)$ は可測関数である。

非負値可測関数の可測単関数の各点単調増加列による近似（ 定理5.5 ）と単調収束定理
より、任意の $E\in\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し $f=\chi_E$ であるとして示せば十分である。任意の $E\in \bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j$ に対し、
$$ \mu(E)\colon=\int_{X_{\sigma(1)}}\left(\ldots\left(\int_{X_{\sigma(N)}}\chi_E(x_1,\ldots,x_N)d\mu_{\sigma(N)}(x_{\sigma(N)})\right)\ldots\right)d\mu_{\sigma(1)}(x_{\sigma(1)}) $$
とおけば単調収束定理（非負値可測関数列の和の項別積分）より $\mu\colon\bigotimes_{j=1}^{N}\mathfrak{M}_j\rightarrow[0,\infty]$ は測度である。また明らかに、
$$ \mu(E_1\times\ldots\times E_N)=\mu_1(E_1)\ldots\mu_N(E_N)\quad(\forall E_1\in\mathfrak{M}_1,\ldots,E_N\in \mathfrak{M}_N) $$
である。よって直積測度の一意性（ 定理14.1 ）より $\mu=\otimes_{j=1}^{N}\mu_j$ である。ゆえに成り立つ。

補題14.3 より、
$$ X_k\ni x_k\mapsto \int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\in [0,\infty] $$
は可測関数であり、Tonelliの定理より、
$$ \int_{X_k}\left(\int_{X_j}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d\mu_j(x_j)\right)d\mu_k(x_k) =\int_{X_1\times X_2}\lvert f(x_1,x_2)\rvert d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty $$
であるから、 命題9.4 より $N_k$ は $\mu_k$-零集合である。以後、$F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であることと $(*)$ を示すが、実部と虚部に分けて考えればよいので、 $f$ は実数値関数であるとして示す。
$$ F_k(x_k)=\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\chi_{X_k\backslash N_k}(x_k)-\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)\chi_{X_k\backslash N_k}(x_k)\quad(\forall x_k\in X_k) $$
であるので、 補題14.3 より $F_k:X_k\rightarrow \mathbb{R}$ は可測関数である。そしてTonelliの定理より、
$$ \int_{X_k}\int_{X_j}f_{\pm}(x_1,x_2) d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k) =\int_{X_1\times X_2} f_{\pm}(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)<\infty $$
であるから $F_k\in \mathcal{L}^1(X_k,\mathfrak{M}_k,\mu_k)$ であり、$N_k$ が $\mu_k$-零集合であることから、
$$ \begin{aligned} \int_{X_k}F_k(x_k)d\mu_k(x_k)&=\int_{X_k}\int_{X_j}f_+(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)-\int_{X_k}\int_{X_j}f_-(x_1,x_2)d\mu_j(x_j)d\mu_k(x_k)\\ &=\int_{X_1\times X_2}f_+(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)- \int_{X_1\times X_2}f_-(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2)\\ &=\int_{X_1\times X_2}f(x_1,x_2)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2) \end{aligned} $$
である。