測度と積分9：Bochner積分

• $(1)$　弱可測性は自明である。
  $$ (f+g)(X)\subset f(X)+g(X),\quad (hf)(X)\subset \mathbb{F} f(X) $$
  の右辺は可分であるので左辺も可分である。（ 注意41.2 を参照。）
• $(2)$　弱可測性は自明である。
  $$ f(X)\subset \overline{\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f_n(X)} $$
  であり右辺は可分であるので左辺も可分である。
• $(3)$　$f(X)$ は可分であるから稠密な可算部分集合 $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ が取れる。これに対しHahn-Banachの拡張定理（ 位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理11.5 ）より $\{\varphi_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset B^*$ で、
  $$ \| \varphi_n\|\leq1,\quad \varphi_n(b_n)=\| b_n\|\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  なるものが取れる。任意の $x\in X$、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $\| f(x)-b_{n_0}\|<\frac{\epsilon}{2}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ が取れて、
  $$ \begin{aligned} \| f(x)\|&\geq \lvert\varphi_{n_0}(f(x))\rvert \geq \lvert \varphi_{n_0}(b_{n_0})\rvert-\lvert \varphi_{n_0}(b_{n_0})-\varphi_{n_0}(f(x))\rvert\geq \| b_{n_0}\|-\| b_{n_0}-f(x)\|\\ &\geq \| f(x)\|-2\| b_{n_0}-f(x)\|>\| f(x)\|-\epsilon \end{aligned} $$
  となる。よって任意の $x\in X$ に対し $\| f(x)\|=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lvert\varphi_n(f(x))\rvert$ が成り立つので、任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、
  $$ (\alpha<\| f(\cdot)\|)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(\alpha<\lvert\varphi_n\circ f\rvert)\in \mathfrak{M} $$
  である。ゆえに $\| f(\cdot)\|\colon X\rightarrow [0,\infty)$ は可測関数である。
• $(4)$　十分条件であることは自明である。必要条件であることを示す。$f$ がBochner可測単関数であるとする。$f(X)=\{b_1,\ldots,b_n\}$ なる互いに異なる $b_1,\ldots, b_n\in B$ を取ると $(3)$ より、
  $$ E_j\colon=(f=b_j)=(\| f(\cdot)-b_j\|=0)\in \mathfrak{M}\quad(j=1,\ldots,n) $$
  であり、$f(x)=\sum_{j=1}^{n}\chi_{E_j}(x)b_j$ $(\forall x\in X)$ である。

定義42.1 より $E$ の有限可測分割 $E_1,\ldots,E_n\in \mathfrak{M}$ で、
$$ \forall j\in \{1,\ldots,n\},\quad \forall x,y\in E_j,\quad \| f(x)-f(y)\|<\frac{\epsilon}{2} $$
を満たすものが取れる。任意の $x_j\in E_j$ $(j=1,\ldots,n)$ を取り、
$$ b_j\colon=\left\{\begin{array}{cl}0&(\| f(x_j)\|<\frac{\epsilon}{2})\\ (1-\frac{\epsilon}{2\| f(x_j)\|})f(x_j)& (\| f(x_j)\|\geq\frac{\epsilon}{2})\end{array}\right.\quad(j=1,\ldots,N) $$
とおく。そしてBochner可測単関数 $s\colon=\sum_{j=1}^{n}\chi_{E_j}b_j$ を定義する。明らかに $s(x)=0$ $(\forall x\in X\backslash E)$ である。任意の $x\in E$ を取り $x\in E_j$ なる $j\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。$\| f(x_j)\|<\frac{\epsilon}{2}$ならば、
$$ \| s(x)\|=0\leq \| f(x)\|,\quad \| f(x)-s(x)\|=\| f(x)\|\leq\| f(x)-f(x_j)\|+\| f(x_j)\|<\epsilon $$
であり、$\| f(x_j)\|\geq\frac{\epsilon}{2}$ ならば、
$$ \| f(x)-s(x)\|\leq\| f(x)-f(x_j)\|+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon, $$
$$ \| f(x)\|-\| s(x)\|=\| f(x)\| - \left( 1-\frac{\epsilon}{2 \| f(x_j) \|} \right) \| f(x_j)\|=\| f(x)\|-\| f(x_j)\|+\frac{\epsilon}{2} \geq-\| f(x)-f(x_j)\|+\frac{\epsilon}{2}>0 $$
である。よって $s$ は条件を満たす。

$(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $E$ 上で $f$ に一様収束するので任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$ \| f_{n_0}(x)-f(x)\|<\frac{\epsilon}{3}\quad(\forall x\in E) $$
となる。$f_{n_0}$ は $E$ 上準可測単関数的なので $E$ の有限可測分割 $E_1,\ldots,E_m$ で、
$$ \forall j\in \{1,\ldots,m\},\quad\forall x,y\in E_j,\quad\| f_{n_0}(y)-f_{n_0}(x)\|<\frac{\epsilon}{3} $$
なるものが取れる。よって任意の $j\in \{1,\ldots,m\}$、任意の $x,y\in E_j$ に対し、
$$ \| f(y)-f(x)\|\leq\| f(y)-f_{n_0}(y)\|+\| f_{n_0}(y)-f_{n_0}(x)\|+\| f_{n_0}(x)-f(x)\|<\epsilon $$
であるから $f$ は $E$ 上準可測単関数的である。

$(1)$ は自明である。$(2)$ を示す。$\mu$-有限な任意の $E\in \mathfrak{M}$ と任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ を取り固定する。任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し、
$$ E_{n,m}\colon=\left\{x\in E: \| f_k(x)-f(x)\|<\frac{1}{m}\text{ }(\forall k\geq n)\right\}\in\mathfrak{M} $$
（$E_{n,m}$ が可測であることについては 命題41.4 の $(3)$ を参照）とおく。このとき任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し $(E_{n,m})_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列であり $E=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{n,m}$ である。よって測度の単調収束性（ 命題6.3 の$(5)$）より十分大きい $n(m)\in\mathbb{N}$ を取れば、
$$ \mu(E\backslash E_{n(m),m})<\frac{\epsilon}{2^{m+1}} $$
となる。
$$ F_0\colon=\bigcap_{m\in\mathbb{N}}E_{n(m),m}\in \mathfrak{M} $$
とおけば、
$$ \mu(E\backslash F_0)=\mu\left(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}E\backslash E_{n(m),m}\right) \leq \sum_{m\in\mathbb{N}}\mu(E\backslash E_{n(m),m})<\sum_{m\in\mathbb{N}}\frac{\epsilon}{2^{m+1}}=\frac{\epsilon}{2} $$
であり $F_0$ 上で $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $f$ に一様収束する。各 $n\in\mathbb{N}$について $f_n$ は性質 $P(\mu)$ を持つので $F_n\subset E$、$\mu(E\backslash F_n)<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$ なる $F_n\in \mathfrak{M}$で $f_n$ が $F_n$ 上で準可測単関数的であるものが取れる。
$$ F\colon=\bigcap_{n=0}^{\infty}F_n\in \mathfrak{M} $$
とおけば、
$$ \mu(E\backslash F)=\mu\left(\bigcup_{n=0}^{\infty}E\backslash F_n\right) \leq\sum_{n=0}^{\infty}\mu(E\backslash F_n)<\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\epsilon}{2^{n+1}}=\epsilon $$
であり、各 $f_n$ は $F$ 上で準可測単関数的で $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $F$ 上で $f$ に一様収束する。よって 補題42.3 より $f$ は $F$ 上で準可測単関数的であるので $f$ は性質 $P(\mu)$ を持つ。

$f(X)$ は可分なので稠密な可算部分集合 $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset f(X)$ が取れ、任意の $m\in\mathbb{N}$ に対し、
$$ X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(\| f(\cdot)-b_n\|<\frac{1}{m}\right) $$
となる 。ここで任意の $m,n\in\mathbb{N}$ に対し、
$$ F_{n,m} = \left(\| f(\cdot)-b_n\|<\frac{1}{m}\right) $$
とおくと、 命題41.4 より $F_{n,m} \in \mathfrak{M}$であるので、各$m \in \mathbb{N}$に対して、
$$ E_{1,m}\colon= F_{1,m},\quad E_{n,m}\colon= F_{n,m} \setminus \bigcup_{j=1}^{n-1} F_{n,m}\quad(n \geq 2) $$
とおくことで、
$$ X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_{m,n},\quad E_{m,n}\subset \left(\| f(\cdot)-b_n\|<\frac{1}{m}\right)\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
をみたす$\mathfrak{M}$ の非交叉列 $(E_{m,n})_{n\in\mathbb{N}}$が取れる。このとき、
$$ s_{m}(x)\colon=\sum_{n\in\mathbb{N}}\chi_{E_{m,n}}(x)b_n\quad(\forall x\in X) $$
として $s_m\colon X\rightarrow B$ を定義すると $s_m$ はBochner可測単関数の各点収束極限であるから、 補題42.4 より $s_m$ は性質 $P(\mu)$ を持つ。そして、
$$ \| f(x)-s_m(x)\|<\frac{1}{m}\quad(\forall x\in X) $$
であるから $(s_m)_{m\in\mathbb{N}}$ は $f$ に収束する。よって 補題42.4 より $f$ は性質 $P(\mu)$ を持つ。

補題42.5 より $f$ は性質 $P(\mu)$ を持つので $F_1\subset E$、$\mu(E\backslash F_1)<1$ なる $F_1\in \mathfrak{M}$ で $F_1$ 上で $f$ が準可測単関数的であるようなものが取れる。そして $F_2\subset E\backslash F_1$、$\mu(E\backslash (F_1\cup F_2))=\mu((E\backslash F_1)\backslash F_2)<\frac{1}{2}$ なる $F_2\in \mathfrak{M}$ で $F_2$ 上で $f$ が準可測単関数的であるようなものが取れる。同様のことを繰り返し $\mathfrak{M}$ の列 $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で各 $n\in\mathbb{N}$ に対し $f$ が $F_n$ 上準可測単関数的であり、
$$ F_{n+1}\subset E\backslash \bigcup_{j=1}^{n}F_j,\quad \mu\left(E\backslash \bigcup_{j=1}^{n}F_j\right)<\frac{1}{n}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
なるものが取れる。このとき $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は非交叉列であり$(*)$ を満たす。

$\sigma$-有限性と 補題42.6 より $\mathfrak{M}$ の非交叉列 $(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で各 $n\in\mathbb{N}$ について $f$ が $E_n$ 上準可測単関数的であり $N\colon=X\backslash \bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$ が $\mu$-零集合であるようなものが取れる。また 補題42.2 より各 $n\in\mathbb{N}$ に対しBochner可測単関数の列 $(s_{n,m})_{m\in\mathbb{N}}$ で、
$$ \| f(x)-s_{n,m}(x)\|<\frac{1}{m},\quad \| s_{n,m}(x)\|\leq\| f(x)\|\quad(\forall x\in E_n),\quad s_{n,m}(x)=0\quad(\forall x\in X\backslash E_n) $$
を満たすものが取れる。そこで、
$$ s_m\colon=\sum_{n=1}^{m}s_{n,m}\quad(\forall m\in\mathbb{N}) $$
としてBochner可測単関数の列 $(s_m)_{m\in\mathbb{N}}$ を定義する。このとき各 $s_m$ は $N$ 上で $0$ であり、任意の$x\in X\backslash N=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n$ に対し $x\in E_{n_0}$ なる $n_0\in\mathbb{N}$ を取れば、$(E_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の非交叉性より、
$$ \| s_m(x)\|=0\quad(m< n_0),\quad \| s_m(x)\|=\| s_{n_0,m}(x)\|\leq\| f(x)\|\quad(\forall m\geq n_0), $$
$$ \| f(x)-s_m(x)\|=\| f(x)-s_{n_0,m}(x)\|<\frac{1}{m}\quad(\forall m\geq n_0) $$
となる。よって $(s_m)_{m\in\mathbb{N}}$ は $(1),(2)$ を満たす。

$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ を $L^p(X,\mathfrak{M},\mu;B)$ のCauchy列とし、これが収束することを示す。

• $(1)$　$p\in[1,\infty)$ の場合。$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので部分列 $([f_{k(n)}])_{n\in \mathbb{N}}$ で、
  $$ \| f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\|_{\mu,p}<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
  なるものが取れる。これに対し、
  $$ g_N(x)\colon=\sum_{n=1}^{N}\| f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\|\quad(\forall x\in X,\forall N\in \mathbb{N}) $$
  とおくと、Minkowskiの不等式より、
  $$ \| g_N\|_{\mu,p}\leq\sum_{n=1}^{N}\| f_{k(n+1)}-f_{k(n)}\|_{\mu,p}\leq1\quad(\forall N\in \mathbb{N}) $$
  である。よって、
  $$ g(x)\colon=\sup_{N\in \mathbb{N}}g_N(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\| f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\|\quad(\forall x\in X) $$
  とおくと、単調収束定理より、
  $$ \int_{X}g(x)^pd\mu(x)=\sup_{N\in \mathbb{N}}\int_{X}g_N(x)^pd\mu(x) =\sup_{N\in\mathbb{N}}\| g_N\|_{\mu,p}^p\leq 1<\infty $$
  であるから、 命題9.4 より、$\mu$-零集合 $N$ が存在し、
  $$ \sum_{n=1}^{\infty}\| f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x)\|<\infty\quad(\forall x\in X\backslash N) $$
  が成り立つ。これより任意の $x\in X\backslash N$ に対し、
  $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)=f_{k(1)}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}(f_{k(n+1)}(x)-f_{k(n)}(x))\in B $$
  が存在する。そこで、
  $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{k(n)}(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$
  としてBochner可測関数 $f\colon X\rightarrow B$ を定義する。今、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
  $$ \| f_n-f_m\|_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
  なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ に対し、
  $$ \| f(x)-f_m(x)\|^p=\lim_{n\rightarrow\infty}\| f_{k(n)}(x)-f_m(x)\|^p\quad(\forall x\in X\backslash N) $$
  であるから、$N$ が $\mu$-零集合であることとFatouの補題より、
  $$ \begin{aligned} \| f-f_m\|_{\mu,p}^p&\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{j\geq n}\int_{X}\| f_{k(j)}(x)-f_m(x)\|^pd\mu(x)\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{j\geq n}\int_{X}\| f_{k(j)}(x)-f_m(x)\|^pd\mu(x)\\ &\leq \sup_{n\geq n_0}\int_{X}\| f_{k(n)}(x)-f_m(x)\|^pd\mu(x) =\sup_{n\geq n_0}\| f_{k(n)}-f_m\|_{\mu,p}^p\leq\epsilon^p \end{aligned} $$
  である。よって $f=(f-f_m)+f_m\in \mathcal{L}^p(X,\mathfrak{M},\mu;B)$ であり、
  $$ \| f-f_m\|_{\mu,p}\leq\epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$
  であるから、$([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^p(X,\mathfrak{M},\mu;B)$ に収束する。
• $(2)$　$p=\infty$ の場合。
  $$ N\colon=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}(\| f_n-f_m\|_{\mu,\infty}<\lvert f_n-f_m\rvert) $$
  は $\mu$-零集合の可算合併なので $\mu$-零集合である。
  $$ \| f_n(x)-f_m(x)\|\leq \| f_n-f_m\|_{\mu,\infty}\quad(\forall x\in X\backslash N,\forall n,m\in\mathbb{N}) $$
  より $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で一様Cauchy条件を満たすので一様収束する。( 距離空間の位相の基本的性質 の8を参照。)そこで、
  $$ f(x)\colon=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\chi_{X\backslash N}(x)\quad(\forall x\in X) $$
  としてBochner可測関数 $f\colon X\rightarrow B$ を定義する。
  $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X\backslash N$ 上で $f$ に一様収束するので、任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ が存在し、
  $$ X\backslash N\subset (\| f(\cdot)-f_n(\cdot)\|\leq \epsilon)\quad(\forall n\geq n_0) $$
  が成り立つ。よって、
  $$ \mu( (\epsilon< \| f(\cdot)-f_n(\cdot)\|) )\leq \mu(N)=0\quad(\forall n\geq n_0) $$
  であるから、$f=(f-f_n)+f_n\in \mathcal{L}^\infty(X,\mathfrak{M},\mu;B)$ であり、
  $$ \| f-f_n\|_{\mu,\infty}\leq\epsilon\quad(\forall n\geq n_0) $$
  である。よって $([f_n])_{n\in \mathbb{N}}$ は $[f]\in L^\infty(X,\mathfrak{M},\mu;B)$ に収束する。

定理42.7 よりBochner可測単関数の列 $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $(1)$ と、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| f(x)-s_n(x)\|=0\quad(\mu\text{- a.e. } x\in X ) $$
を満たすものが取れる。
$$ \| f(x)-s_n(x)\|^p\leq 2^p\| f(x)\|^p\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X) $$
であるからLebesgue優収束定理より $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $(2)$ を満たす。

• $(1)$　 定義44.1 を参照。
• $(2)$　$T$ は有界線型作用素であるから $T(f(X))$ は可分である。また任意の $\varphi\in C^*$ に対し $\varphi\circ T\in B^*$ であるから $\varphi\circ(T\circ f)=(\varphi\circ T)\circ f\colon X\rightarrow \mathbb{F}$ は可測関数である。よって $T\circ f\colon X\rightarrow C$ はBochner可測である。そして $\| T(f(x))\|\leq\| T\|\| f(x)\|$ $(\forall x\in X)$ であるから $T\circ f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu;C)$ であり、任意の $\varphi\in C^*$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\varphi\left(T\left(\int_{X}f(x)d\mu(x)\right)\right) =(\varphi\circ T)\left(\int_{X}f(x)d\mu(x)\right) =\int_{X}(\varphi\circ T)(f(x))d\mu(x)\\ &=\int_{X}\varphi(T(f(x)))d\mu(x) =\varphi\left(\int_{X}T(f(x))d\mu(x)\right) \end{aligned} $$
  であるから $(*)$ が成り立つ。
• $(3)$　もし $(**)$ が成り立たないならばHahn-Banachの分離定理（位相線形空間3：Hahn-Banachの定理とKrein-Milmanの端点定理の定理13.3）より $\varphi\in B^*$ で、
  $$ \varphi\left(\int_{X}f(x)d\mu(x)\right)\neq0,\quad \varphi(b)=0\quad(\forall b\in \overline{\text{span}(f(X))}) $$
  を満たすものが存在する。これは、
  $$ \int_{X}\varphi(f(x) )d\mu(x)\neq0,\quad \varphi(f(x) )=0\quad(\forall x\in X) $$
  を意味するので矛盾する。

$$ \| f(x)-f_n(x)\|\leq 2h(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X),\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\| f(x)-f_n(x)\|=0 $$
であるからLebesgue優収束定理より $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-f_n\|_{\mu,1}=0$ である。このこととBochner積分の線形性および 命題44.2 の $(1)$ による。

$N_j$ が可測であることは 補題14.3 により、$\mu_j(N_j)=0$ であることは 命題9.4 による。 命題44.2 の $(3)$ より、
$$ F_j(X_j)\subset \overline{\text{span}(f(X_1\times X_2))} $$
であり、右辺は可分であるから $F_j(X_j)$ も可分である（ 注意41.2 ）。 後は任意の $\varphi\in B^*$ を取り $\varphi\circ f:X_1\times X_2\rightarrow\mathbb{F}$ に対してFubiniの定理（ 定理14.5 ）を適用すればよい。