測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間

$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体とする。非負数の総和の定義より、
$$ \sum_{j\in J}f(j)=\sup_{F\in \mathcal{F}_J}\sum_{j\in F}f(j)=\sup_{F\in \mathcal{F}_J}\int_{F}f(j)d\mu(j)\leq \int_{J}f(j)d\mu(j) $$
である。逆の不等式を示すには、非負値可測関数の積分の定義（ 定義8.1 ）より非負値単関数 $s\colon J\rightarrow[0,\infty)$ で $s(j)\leq f(j)$ $(\forall j\in J)$ なるものに対し、
$$ \int_{J}s(j)d\mu(j)\leq \sum_{j\in J}f(j)\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せばよい。互いに交わらない $E_1,\ldots,E_n\in 2^J$ と $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in (0,\infty)$ に対し $s=\sum_{j=1}^{n}\alpha_j\chi_{E_j}$ であるとする。もし $E_1,\ldots,E_n\in \mathcal{F}_J$ ならば $F\colon=E_1\cup\ldots\cup E_n\in \mathcal{F}_J$ とおけば、
$$ \int_{J}s(j)d\mu(j)=\int_{F}s(j)d\mu(j)\leq \int_{F}f(j)d\mu(j)=\sum_{j\in F}f(j)\leq\sum_{j\in J}f(j) $$
である。$E_1,\ldots,E_n$ のうち無限集合であるものがあるとし、それを $E_k$ とする。任意の $N\in \mathbb{N}$ に対し $N$ 個の元からなる部分集合 $F\subset E_k$ が取れるので、
$$ \alpha_kN=\alpha_k\mu(F)=\int_{F}s(j)d\mu(j)\leq\int_{F}f(j)d\mu(j)=\sum_{j\in F}f(j)\leq\sum_{j\in J}f(j) $$
である。よって $\sum_{j\in J}f(j)=\infty$ であるから $(*)$ が成り立つ。

$\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。総和の定義より、
$$ \sum_{j\in J}x_j=\lim_{F\in \mathcal{F}_J}\sum_{j\in F}x_j=\lim_{F\in \mathcal{F}_J}\int_{J}x_jd\mu(j) $$
であり、 命題24.3 より、
$$ \begin{aligned} \left\lvert \int_{J}x_jd\mu(j)-\int_{F}x_jd\mu(j)\right\rvert=\left\lvert\int_{J\backslash F}x_jd\mu(j)\right\rvert \leq \int_{J\backslash F}\lvert x_j\rvert d\mu(j) =\sum_{j\in J\backslash F}\lvert x_j\rvert\rightarrow0 \end{aligned} $$
である。よって $(*)$ が成り立つ。

$L^p$ 関数の可測単関数近似性（ 命題22.1 ）と $\ell^p(J)$ に属する単関数は台が有限集合であることによる。

$J$ の任意の有限部分集合 $F$ に対し、
$$ 0\leq \left\| v-\sum_{j\in F}(e_j\mid v)e_j\right\|^2 =\| v\|^2-\sum_{j\in F}\lvert (e_j\mid v)\rvert^2 $$
であることによる。

Besselの不等式より $U$ はノルム減少な有界線形作用素であり、明らかに $\text{span}\{e_j\}_{j\in J}$ 上でノルムを保存する。
$U$ の連続性より $U$ は $\overline{\text{span}\{e_j\}_{j\in J}}$ 上でもノルムを保存する。よって任意の $v\in \overline{\text{span}\{e_j\}_{j\in J}}$ に対し $(*)$ が成り立ち、有限集合 $F\subset J$ に対し、
$$ \left\| v-\sum_{j\in F}(e_j\mid v)e_j\right\|^2=\| v\|^2-\sum_{j\in F}\lvert (e_j\mid v)\rvert^2 $$
であるから $F\rightarrow J$ とすれば $(**)$ を得る。
後は $U$ が全射であることを示せばよい。
任意の $f\in \ell^2(J)$ に対し 命題24.5 より台が有限集合であるような $J$ 上の複素数値関数の列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-f_n\|_2=0$ なるものが取れる。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $f_n\colon J\rightarrow\mathbb{C}$ の台が有限集合であることから $f_n=Uv_n$ なる $v_n\in \text{span}\{e_j\}_{j\in J}$ が取れる。
$$ \| v_n-v_m\|=\| Uv_n-Uv_m\|=\| f_n-f_m\|_2\quad(\forall n,m\in \mathbb{N}) $$
より $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるから $v=\lim_{n\rightarrow\infty} v_n\in \overline{\text{span}\{e_j\}_{j\in J}}$ が存在する。よって、
$$ Uv=\lim_{n\rightarrow\infty}Uv_n=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=f $$
であるから $U$ は全射である。

$\mathcal{H}$ のONSで $B_0$ を含むもの全体は、集合の包含関係による順序で帰納的順序集合である。よってZornの補題より極大な $B$ が取れる。 もし $\mathcal{H}\neq \overline{\text{span}(B)}$ ならば、直交分解定理（ 位相線形空間1：ノルムと内積の定理6.11 ）より、$(\text{span}(B))^{\perp}\neq\{0\}$ である。よって単位ベクトル $e\in B^{\perp}$ が取れるが、このとき $B\cup\{e\}$ は $B$ を真に含むONSなので $B$ の極大性に矛盾する。ゆえに $\mathcal{H}=\overline{\text{span}(B)}$ であるから $B$ は $\mathcal{H}$ のCONSである。

• $(1)$　$B$ が有限集合の場合、 位相線形空間1：ノルムと内積 の4より、$\text{span}(B)$ は閉であるから $\mathcal{H}=\text{span}(B)$ である。よって $\mathcal{H}$ は有限次元なので $C$ も有限集合であり、$B,C$ は有限次元線形空間 $\mathcal{H}$ の基底である。ゆえに $B$ と $C$ の濃度は等しい。
• $(2)$　$B$ が無限集合の場合、$(1)$ より $C$ も無限集合である。$J\ni j\mapsto e_j\in B$、$I\ni i\mapsto f_i\in C$ を全単射とする。
  $$ J_i\colon=\{j\in J:\lvert (f_i\mid e_j)\rvert>0\}\quad(\forall i\in I) $$
  とおく。Parsevalの等式より、
  $$ 1=\| e_j\|^2=\sum_{i\in I}\lvert (f_i\mid e_j)\rvert^2\quad(\forall j\in J) $$
  であるから、
  $$ J=\bigcup_{i\in I}J_i\quad\quad(*) $$
  である。任意の $i\in I$ と任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ J_{i,n}\colon=\left\{j\in J:\lvert (f_i\mid e_j)\rvert>\frac{1}{n}\right\} $$
  とおくと、
  $$ 1=\| f_i\|^2=\sum_{j\in J}\lvert (e_j\mid f_i)\rvert^2 $$
  より $J_{i,n}$ は有限集合である。そして、
  $$ J_i=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}J_{i,n} $$
  であるから $J_i$ は可算集合である。よって $(*)$ より $I\times \mathbb{N}$ から $J$ への全射が存在する。$I$ は無限集合ゆえ $I\times \mathbb{N}$ と $I$ の濃度は等しいので、 $I$ から $J$ への全射が存在する。全く対称的な議論により $J$ から $I$ への全射が存在することも分かる。よってBernsteinの定理より $I$ と $J$ の濃度は等しい。

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す。$\mathcal{H}$ が可分であるとし、$A\subset \mathcal{H}$ を稠密な可算集合とする。このとき $\mathcal{H}=\overline{A}=\overline{\text{span}(A)}$ である。線形独立な $B\subset A$ で $\text{span}(B)=\text{span}(A)$ なるものを取り、Schmidtの直交化により $\text{span}(C)=\text{span}(B)$ なるONS $C$ を構成する。$\mathcal{H}=\overline{\text{span}(C)}$ より $C$ は $\mathcal{H}$ の可算なCONSである。よって $(2)$ が成り立つ。
$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(e_j)_{j\in J}$ を可算集合 $J$ によって添字付けられた $\mathcal{H}$ のCONSとし、$J=\{j_n\}_{n\in \mathbb{N}}$とする。$\mathbb{C}$ の稠密な可算集合 $Q$ に対し、
$$ \text{span}\{e_j\}_{j\in J}\subset \overline{\bigcup_{N\in\mathbb{N}}\left\{\sum_{n=1}^{N}r_ne_{j_n}:r_1,\ldots,r_N\in Q\right\}} $$
であり、可算集合
$$ \bigcup_{N\in\mathbb{N}}\left\{\sum_{n=1}^{N}r_ne_{j_n}:r_1,\ldots,r_N\in Q\right\} $$
は $\mathcal{H}$ で稠密である。よって $\mathcal{H}$ は可分である。

$(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\bigoplus_{j\in J}^{(p)}X_j$ のCauchy列とする。任意の $j\in J$ に対し $X_j$ の上への自然な射影 $\pi_j:\prod_{i\in J}X_i\rightarrow X_j$ とすると、$(\pi_j(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $X_j$ のCauchy列である。よって $x\in \prod_{j\in J}X_j$ で、
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_n)\|=0\quad(\forall j\in J) $$
なるものが取れる。

• $(1)$　$p\in [1,\infty)$ の場合。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in \mathbb{N}$ で、
  $$ \| x_n-x_m\|_p\leq\epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
  なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ と任意の有限集合 $F\subset J$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\sum_{j\in F}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|^p=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\in F}\| \pi_j(x_n)-\pi_j(x_m)\|^p=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in F}\| \pi_j(x_k)-\pi_j(x_m)\|^p\\ &\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\sum_{j\in J}\| \pi_j(x_k)-\pi_j(x_m)\|^p \leq \sup_{n\geq n_0} \sum_{j\in J}\| \pi_j(x_n)-\pi_j(x_m)\|^p =\sup_{n\geq n_0}\| x_n-x_m\|_p^p\leq \epsilon^p \end{aligned} $$
  であるから、任意の $m\geq n_0$ に対し、
  $$ \sum_{j\in J}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|^p\leq \epsilon^p $$
  が成り立つ。よって $x=(x-x_m)+x_m\in \bigoplus_{j\in J}^{(p)}X_j$ であり、
  $$ \| x-x_m\|_p^p=\sum_{j\in J}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|^p\leq \epsilon^p\quad(\forall m\geq n_0) $$
  であるから $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $x$ に収束する。
• $(2)$　$p=\infty$ の場合。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
  $$ \| x_n-x_m\|_{\infty}\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0) $$
  なるものを取る。任意の $m\geq n_0$ と任意の $j\in J$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| \pi_j(x_n)-\pi_j(x_m)\|=\inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| \pi_j(x_k)-\pi_j(x_m)\|\\ &\leq \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| x_k-x_m\|_{\infty} \leq \sup_{n\geq n_0}\| x_n-x_m\|_{\infty}\leq \epsilon \end{aligned} $$
  であるから、任意の $m\geq n_0$ に対し、
  $$ \sup_{j\in J}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|\leq \epsilon $$
  が成り立つ。よって $x=(x-x_m)+x_m\in \bigoplus_{j\in J}^{\infty}X_j$ であり、
  $$ \| x-x_m\|_{\infty}=\sup_{j\in J}\| \pi_j(x)-\pi_j(x_m)\|\leq \epsilon\quad(\forall m\geq n_0) $$
  であるから $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $x$ に収束する。