測度と積分1：測度論の基礎用語

$X$ を空でない集合とする。$\mathfrak{M}\subset 2^X$ が次の条件を満たすとき $\mathfrak{M}$ を $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。

• $X\in \mathfrak{M}$.
• 任意の $E\in \mathfrak{M}$ に対し $X\backslash E\in \mathfrak{M}$.
• $\mathfrak{M}$ の任意の可算部分族 $\{E_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ に対し $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n\in \mathfrak{M}$.
  $\sigma$-加法族が備わった集合のことを可測空間と言う。可測空間 $X$ に $\sigma$-加法族 $\mathfrak{M}$ が備わっていることを明示的に表す場合は可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ と表現する。可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ の部分集合 $E\subset X$ が可測集合であるとは $E\in \mathfrak{M}$ であることを言う。

$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。空でない $A\subset X$ に対し、
$$ \mathfrak{M}_A\colon=\{E\cap A:E\in \mathfrak{M}\} $$
は $A$ 上の $\sigma$-加法族である。これを $\mathfrak{M}$ から誘導される $A$ 上の相対 $\sigma$-加法族と言う。

$X$ を空でない集合、$\mathcal{I}\subset 2^X$ とする。$\mathcal{I}$ を含む $X$ 上の $\sigma$-加法族全ての交叉は $\mathcal{I}$ を含む最小の $\sigma$-加法族である。これを $\sigma(\mathcal{I})$ と表し、$\mathcal{I}$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族と言う。

$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間とする。位相 $\mathcal{O}_X$ から生成される $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$ \mathcal{B}_X\colon=\sigma(\mathcal{O}_X) $$
を $X$ のBorel集合族と言い、$\mathcal{B}_X$ の要素を $X$ のBorel集合と言う。

可測空間 $(X,\mathfrak{M})$ から可測空間 $(Y,\mathfrak{N})$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が可測写像（可測関数）であるとは、任意の $E\in \mathfrak{N}$ に対し $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$ が成り立つことを言う。

位相空間 $X$ から位相空間 $Y$ への写像 $f\colon X\rightarrow Y$ がBorel集合族 $\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y$ に関して可測写像であるとき、$f$ をBorel写像（Borel関数）と言う。

$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し可測空間 $(X_j,\mathfrak{M}_j)$ が与えられているとする。そして直積集合 $X=\prod_{j\in J}X_j$ から $X_j$ 上への自然な射影を $\pi_j\colon X\rightarrow X_j$ $(\forall j\in J)$ とおく。このとき $X$ 上の $\sigma$-加法族
$$ \bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\colon=\sigma(\{\pi_j^{-1}(E): j\in J,E\in \mathfrak{M}_j\}) $$
を $(\mathfrak{M}_j)_{j\in J}$ の直積 $\sigma$-加法族と言い、可測空間
$$ \left(\prod_{j\in J}X_j,\text{ } \bigotimes_{j\in J}\mathfrak{M}_j\right) $$
を $( (X_j,\mathfrak{M}_j) )_{j\in J}$ の直積可測空間と言う。

$\infty,-\infty\notin\mathbb{R}$ とし、$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ とおく。$[-\infty,\infty]$ の二項関係 $\leq$ を $\mathbb{R}$ の全順序 $\leq$ の拡張として次のように定義する。

• $\infty\leq\infty$、$-\infty\leq-\infty$、$-\infty\leq \infty$.
• 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ に対し $-\infty\leq x$ であるが $\infty\leq x$ ではない。
• 任意の $x\in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$ に対し $x\leq \infty$ であるが $x\leq -\infty$ ではない。
  このとき $\leq$ は $[-\infty,\infty]$ の全順序である。この全順序による全順序集合 $[-\infty,\infty]$ を拡張された実数系と言う。$\infty$、$-\infty$ はそれぞれ $[-\infty,\infty]$ の最大元、最小元であり、$[-\infty,\infty]$ の任意の空でない部分集合は上限（最小の上界）と下限（最大の下界）を持つ。(($\mathbb{R}$の任意の上に有界（resp.下に有界）な部分集合が上限（resp. 下限）を持つことによる。))

任意の $a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し、

• $[a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x\leq b\}$
• $(a,b]\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a< x\leq b\}$
• $[a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a\leq x< b\}$
• $(a,b)\colon=\{x\in [-\infty,\infty]:a< x< b\}$
  と定義する。

$\mathbb{R}$ における演算を次のように $[-\infty,\infty]$ に拡張する。

• 任意の $x\in (-\infty,\infty]$ に対し $x+\infty=\infty+x=\infty$.
• 任意の $x\in [-\infty,\infty)$ に対し $x-\infty=-\infty+x=-\infty$.
• $0\infty=\infty0=0$、$0(-\infty)=(-\infty)0=0$
• 任意の $x\in (0,\infty]$ に対し $x\infty=\infty x=\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=-\infty$.
• 任意の $x\in [-\infty,0)$ に対し $x\infty=\infty x=-\infty$、$x(-\infty)=(-\infty) x=\infty$.
• $-(-\infty)=\infty$.

任意の $x\in [-\infty,\infty]$ に対し,
$$ \lvert x\rvert\colon=\text{max}(x,-x)\in [0,\infty] $$
とおく。これは $\mathbb{R}$ の絶対値の拡張である。

$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$ \sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty] $$
と定義する。（注：$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。総和については 位相線形空間1：ノルムと内積 の5を参照。）

拡張された実数系 $[-\infty,\infty]$ の区間全体 $\mathcal{I}$ から生成される $[-\infty,\infty]$ 上の $\sigma$-加法族を $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}=\sigma(\mathcal{I})$ とおき、これを $[-\infty,\infty]$ 上のBorel集合族と言う。可測空間 $X$ と関数 $f:X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し $f$ が可測であるとは $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ に関して可測であることを言う。

可測空間 $X$ に対し $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}$（resp. $f\colon X\rightarrow \mathbb{C}$, $f\colon X\rightarrow\mathbb{R}^N$） が可測関数であるとは、$\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$（resp. $\mathcal{B}_{\mathbb{C}}$, $\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$）に関して可測であることを言う。 注意4.2 より $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ は $\mathcal{B}_{[-\infty,\infty]}$ の相対 $\sigma$-加法族であるから、この $\mathbb{R}$ 値関数の可測性の定義は $[-\infty,\infty]$ 値関数の可測性の 定義3.1 と矛盾しない。

関数 $f\colon X\rightarrow [-\infty,\infty]$ と $a\in [-\infty,\infty]$ に対し、
$$ (a< f)\colon=\{x\in X:a< f(x)\},\quad(a\leq f)\colon=\{x\in X:a\leq f(x)\} $$
と定義する。$a,b\in [-\infty,\infty]$ に対し $(f< a), (f\leq a),(f=a), (a\leq f< b), (a< f\leq b), (a\leq f\leq b)$ なども同様にして定義する。
次の命題は極めて基本的である。

関数 $f\colon X\rightarrow[-\infty,\infty]$ に対し、
$$ f_{\pm}\colon X\ni x\mapsto \text{max} (\pm f(x),0)\in [0,\infty] $$
と定義する。$f_+$ を $f$ の非負部分、$f_-$ を $f$ の非正部分と言う。
$$ f(x)=f_+(x)-f_-(x),\quad \lvert f(x)\rvert=f_{+}(x)+f_-(x)\quad(\forall x\in X) $$
である。任意の $p\in (0,\infty)$ に対し、
$$ \lvert f\rvert^p\colon X\ni x\mapsto \lvert f(x)\rvert^p\in [0,\infty] $$
と定義する。ただし $0^p=0$, $\infty^p=\infty$ とする。

$X$ を集合とする。$E\subset X$ に対し $\chi_E\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ を、
$$ \chi_E(x)=\left\{\begin{array}{ll}1\quad&(x\in E)\\0&(x\in X\backslash E)\end{array}\right. $$
と定義する。$\chi_E$ を $E$ の指示関数と言う。

$(X,\mathfrak{M})$ を可測空間とする。 命題4.8 より、
$$ \mathcal{L}(X,\mathfrak{M})\colon=\{f:X\rightarrow \mathbb{C}: f\text{は可測}\} $$
は各点ごとの演算で $\mathbb{C}$ 上の線型空間をなす。そこで可測集合の指示関数全体から生成される $\mathcal{L}(X,\mathfrak{M})$ の線形部分空間を、
$$ \mathcal{S} (X,\mathfrak{M})\colon=\text{span}\{\chi_E:E\in \mathfrak{M}\}\subset \mathcal{L}(X,\mathfrak{M}) $$
とおく。$\mathcal{S} (X,\mathfrak{M})$ の元を $(X,\mathfrak{M})$ 上の可測単関数と言う。