測度と積分2：測度空間上の積分

• $(1)$ $E_k=\emptyset$ $(\forall k\geq n+1)$ とおけばよい。
• $(2)$ $F$が $E,F\backslash E\in \mathfrak{M}$ の合併で表せることによる。
• $(3)$ $F_1:=E_1$、$F_n\colon=E_n\backslash(E_1\cup\ldots\cup E_{n-1})$ $(\forall n\geq 2)$ とおけば $(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の非交叉列であり $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$ である。よって $\sigma$-加法性と単調性より従う。
• $(4)$ $E_k=\emptyset$ $(\forall k\geq n+1)$ とおき $\sigma$-劣加法性を用いればよい。
• $(5)$ $\mu(E_n)=\infty$ なる $n\in \mathbb{N}$ が存在する場合は単調性より成り立つ。$\mu(E_n)<\infty$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ の場合、$E_0\colon=\emptyset$、$F_n\colon=E_n\backslash E_{n-1}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけば $(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の非交叉列であり $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}E_n=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$ である。また有限加法性と $\mu(E_n)<\infty$ より $\mu(F_n)=\mu(E_n)-\mu(E_{n-1})$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ である。よって、
  $$\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)=\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n\right)=\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu(F_n) =\sum_{n=1}^{\infty}(\mu(E_n)-\mu(E_{n-1}))=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(E_n) =\sup_{n\in \mathbb{N}}\mu(E_n).$$
• $(6)$ $(E_1\backslash E_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調増加列であり、$\mu(E_1)<\infty$ であるから、有限加法性と $(5)$ より、
  $$\mu(E_1)- \mu\left(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}E_n\right)= \mu\left(E_1\backslash \bigcap_{n\in \mathbb{N}}E_n\right) =\mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}}(E_1\backslash E_n)\right) =\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(E_1\backslash E_n) =\mu(E_1)-\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(E_n). $$

• $(1)$　自明である。
• $(2)$　$(X,\mathfrak{M})$ の有限可測分割 $(E_1,\ldots,E_n), (F_1,\ldots,F_m)$と$a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\in [0,\infty)$ で、
  $$ f=\sum_{j=1}^{n}a_j\chi_{E_j},\quad g=\sum_{k=1}^{m}b_k\chi_{F_k}\quad\quad(*)$$
  なるものを取る。このとき $(E_j\cap F_k)_{j,k}$ は $(X,\mathfrak{M})$ の有限可測分割であり、
  $$ f+g=\sum_{j,k}(a_j+b_k)\chi_{E_j\cap F_k}$$
  であるから、測度の有限加法性より、
  $$ \int_{X}f(x)+g(x)d\mu(x)=\sum_{j,k}(a_j+b_k)\mu(E_j\cap F_k) =\sum_{j}a_j\mu(E_j)+\sum_{k}b_k\mu(F_k) =\int_{X}f(x)d\mu(x)+\int_{X}g(x)d\mu(x) $$
  である。
• $(3)$　$(X,\mathfrak{M})$ の有限可測分割 $(E_1,\ldots,E_n), (F_1,\ldots,F_m)$と$a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\in [0,\infty)$ で $(*)$ を満たすものを取る。$E_j\cap F_k\neq \emptyset$ なる $j,k$ に対し $a_j=f(x)\leq g(x)=b_k$ $(\forall x\in E_j\cap F_k)$ であるから、任意の $j,k$ に対し $a_j\mu(E_j\cap F_k)\leq b_k\mu(E_j\cap F_k)$ である。よって測度の有限加法性より、
  $$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\sum_{j}a_j\mu(E_j)=\sum_{j,k}a_j\mu(E_j\cap F_k) \leq \sum_{j,k}b_k\mu(E_j\cap F_k)=\sum_{k}b_k\mu(E_j\cap F_k)=\sum_{k}b_k\mu(F_k)=\int_{X}g(x)d\mu(x)$$
  である。

$A=(g>0)\in \mathfrak{M}$ とおく。$A=\emptyset$ ならば自明なので $A\neq\emptyset$ とする。
$$\alpha:=\text{min}(g(A))\in(0,\infty),\quad \beta:=\text{max}(g(A))\in (0,\infty)$$
とおき($g$が可測単関数であるので$g(A)$は有限集合であることに注意)、
$$A_{k,n}\colon=A\cap \left(g-\frac{1}{k}< f_n\right)\quad(\forall n,k\in \mathbb{N})$$
とおく。このとき各 $k\in \mathbb{N}$ に対し $(A_{k,n})_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列であり $A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{k,n}$ であるから、測度の単調収束性 (命題6.3の(5)) より、
$$\mu(A)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_{k,n})\quad\quad(**)$$
である。$\mu(A)=\infty$ の場合、$\alpha-\frac{1}{k}>0$ なる $k\in\mathbb{N}$ を取ると、
$$ \left(\alpha-\frac{1}{k}\right)\chi_{A_{k,n}}(x) \leq \left(g(x)-\frac{1}{k}\right)\chi_{A_{k,n}}(x) \leq f_n(x)\quad(\forall x\in X, \forall n\in \mathbb{N}) $$
であるから、 命題7.3 の $(3)$ より、
$$\left(\alpha-\frac{1}{k}\right)\mu(A_{k,n})\leq \int_{X}f_n(x)d\mu(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N})$$
である。よって $(**)$ より $\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=\infty$ であるから $(*)$ が成り立つ。$\mu(A)<\infty$ の場合、測度の単調収束性 (命題6.3の(6)) より、
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A\backslash A_{k,n})=0\quad(\forall k\in\mathbb{N})\quad\quad(***)$$
が成り立つ。任意の $n,k\in\mathbb{N}$、任意の $x\in X$ に対し、
$$\begin{aligned} g(x)&=g(x)\chi_A(x)=g(x)\chi_{A_{k,n}}(x)+g(x)\chi_{A\backslash A_{k,n}}(x)\\ &\leq \left(f_n(x)+\frac{1}{k}\right)\chi_{A_{k,n}}(x)+g(x)\chi_{A\backslash A_{k,n}}(x)\\ &\leq f_n(x)+\frac{1}{k}\chi_A(x)+\beta\chi_{A\backslash A_{k,n}}(x)\end{aligned}$$
であるから、 命題7.3 の $(2),(3)$ より、
$$ \int_{X}g(x)d\mu(x)\leq \sup_{m\in\mathbb{N}}\int_{X}f_m(x)d\mu(x)+\frac{1}{k}\mu(A)+\beta\mu(A\backslash A_{k,n})\quad(\forall k,n\in\mathbb{N})$$
である。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ を取る。$\frac{1}{k}\mu(A)<\frac{\epsilon}{2}$ なる $k\in \mathbb{N}$ に対し $(***)$ より $\beta\mu(A\backslash A_{k,n})<\frac{\epsilon}{2}$ なる $n\in \mathbb{N}$ が取れるので、
$$ \int_{X}g(x)d\mu(x)\leq \sup_{m\in\mathbb{N}}\int_{X}f_m(x)d\mu(x)+\epsilon $$
となる。よって$\epsilon\in(0,\infty)$ の任意性より $(*)$ が成り立つ。

$(1)$ は非負値可測関数の積分の定義より自明である。
$(2)$ を示す。
$$ \sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\leq \int_{X}\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)d\mu(x) $$
は非負値可測関数の積分の定義により成り立つ。また $s(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)$ $(\forall x\in X)$ なる任意の非負値可測単関数 $s$ に対し、 補題8.2 より、
$$ \int_{X}s(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}} \int_{X}f_n(x)d\mu(x) $$
であるから、非負値可測関数の積分の定義より、
$$ \int_{X}\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in\mathbb{N}} \int_{X}f_n(x)d\mu(x) $$
である。
$(3),(4)$ を示す。 定理5.5 より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$と $(g_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、$f(x)=\sup_{n\ni \mathbb{N}}f_n(x)$, $g(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)$ $(\forall x\in X)$ を満たすものが取れる。よって $(2)$ と 命題7.3 の $(1),(2)$ より、
$$\begin{aligned} \int_{X}af(x)d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}af_n(x)d\mu(x) =a\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)=a\int_{X}f(x)d\mu(x), \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &\int_{X}f(x)+g(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)+g_n(x)d\mu(x) =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\int_{X}f_n(x)d\mu(x)+\int_{X}g_n(x)d\mu(x)\right)\\ &=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)+\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x) =\int_{X}f(x)d\mu(x)+\int_{X}g(x)d\mu(x) \end{aligned} $$
である。

$f(x)\colon=\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)\in [0,\infty]$ $(\forall x\in X)$ とおく。積分の単調性より、
$$ \sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x)\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)\quad\quad(*) $$
である。逆の不等式を示す。各 $n\in\mathbb{N}$ に対し 定理5.5 より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(f_{n,m})_{m\in\mathbb{N}}$ で $f_n(x)=\sup_{m\in\mathbb{N}}f_{n,m}(x)$ なるものが取れる。これに対し、
$$ g_m(x)\colon=\text{max}(f_{1,m}(x),\ldots,f_{m,m}(x))\quad(\forall m\in \mathbb{N},\forall x\in X) $$
とおくと、$(g_m)_{m\in\mathbb{N}}$ は非負値可測単関数の各点単調増加列であり（注：各$g_m$が可測であることは 命題4.8 により、単関数であることは 命題5.4 による。）、
$$ g_m(x)\leq f_m(x)\quad(\forall m\in\mathbb{N},\forall x\in X)\quad\quad(**) $$
である。そして、
$$ f_n(x)=\sup_{m\in\mathbb{N}}f_{n,m}(x)=\sup_{m\geq n}f_{n,m}(x) \leq\sup_{m\in \mathbb{N}}g_m(x)\quad(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X) $$
であるから、
$$ f(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}g_n(x)\quad(\forall x\in X) $$
である。よって 命題8.3 の $(2)$ より、
$$ \int_{X}f(x)d\mu(x)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{X}g_n(x)d\mu(x) $$
であるから、$(**)$ と積分の単調性より、
$$ \int_{X}f(x)d\mu(x)\leq \sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x) $$
である。これで $(*)$ の逆の不等式が示せた。

$F_n(x)\colon=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ $(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in X)$ として非負値可測関数の各点単調増加列 $(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すると、単調収束定理と積分の加法性より、
$$ \int_{X}\sum_{n\in \mathbb{N}}f_n(x)d\mu(x)= \int_{X}\sup_{n\in \mathbb{N}}F_n(x)d\mu(x) =\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}F_n(x)d\mu(x) =\sup_{n\in \mathbb{N}}\sum_{k=1}^{n}\int_{X}f_k(x)d\mu(x) =\sum_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)d\mu(x) $$
である。

$f$ が非負値可測単関数であれば自明である。一般の非負値可測関数 $f$ に対し 定理5.5 より非負値可測単関数の各点単調増加列 $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で $f=\sup_{n\in \mathbb{N}}f_n$ なるものが取れる。よって単調収束定理より、
$$ \int_{X}f(x)\chi_N(x)d\mu(x)=\sup_{n\in \mathbb{N}}\int_{X}f_n(x)\chi_N(x)d\mu(x)=0 $$
である。

• $(1)$　$\Leftarrow$ は 命題9.3 による。$\Rightarrow$ を示す。$\int_{X}f(x)d\mu(x)=0$ とする。
  $$ (0< f)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{n}< f\right) $$
  であり、積分の単調性より、任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ \frac{1}{n}\mu\left(\frac{1}{n}< f\right)=\int_{X}\frac{1}{n}\chi_{(\frac{1}{n}< f)}(x)d\mu(x)\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)=0 $$
  である。よって $\mu(\frac{1}{n}< f)=0$ であるから、測度の $\sigma$-劣加法性より、
  $$ \mu(0< f)=\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{1}{n}< f\right) \right)\leq\sum_{n\in \mathbb{N}}\mu\left(\frac{1}{n}< f\right)=0. $$
• $(2)$　$\mu(f=\infty)=0$ を示せばよい。
  $$ (f=\infty)=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}(n\leq f ) $$
  であり、$( (n\leq f) )_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathfrak{M}$ の単調減少列である。そして積分の単調性より任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し、
  $$ n\mu(n\leq f)=\int_{X}n\chi_{(n\leq f)}(x)d\mu(x)\leq \int_{X}f(x)d\mu(x)<\infty $$
  である。よって測度の単調収束性 ( 命題6.3 の$(6)$) より、
  $$ \mu(f=\infty)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(n\leq f)=0. $$

• $(1)$　任意の $f,g\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $f+g\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ であることと、
  $$ \int_{X}f(x)+g(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)d\mu(x)+\int_{X}g(x)d\mu(x)\quad\quad(*) $$
  が成り立つことを示す。非負値可測関数の積分の単調性と加法性より、
  $$ \int_{X}\lvert f(x)+g(x)\rvert d\mu(x) \leq \int_{X} \lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert d\mu(x) =\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)+\int_{X}\lvert g(x)\rvert d\mu(x)<\infty $$
  であるから $f+g\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ である。また、
  $$ f=f_+-f_-,\quad g=g_+-g_-,\quad f+g=(f+g)_+-(f+g)_- $$
  より、
  $$ (f+g)_++f_-+g_-=(f+g)_-+f_++g_+ $$
  であるから、非負値可測関数の積分の加法性より $(*)$ を得る。
• $(2)$　任意の $f\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ と任意の $\alpha\in \mathbb{R}$ に対し、$\alpha f\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ であることと、
  $$ \int_{X}\alpha f(x)d\mu(x)=\alpha\int_{X}f(x)d\mu(x)\quad\quad(**) $$
  が成り立つことを示す。非負値可測関数の積分の非負斉次性より、
  $$ \int_{X}\lvert \alpha f(x)\rvert d\mu(x)=\lvert \alpha\rvert\int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)<\infty $$
  であるから $\alpha f\in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(X,\mathfrak{M},\mu)$ である。$\alpha\geq0$ ならば、
  $$ (\alpha f)_{\pm}=\text{max}(\pm \alpha f,0)=\alpha\text{max}(\pm f,0)=\alpha f_{\pm} $$
  であり、$\alpha<0$ ならば、
  $$ (\alpha f)_{\pm}=\text{max}(\pm \alpha f,0) =\text{max}(\mp (-\alpha) f,0)=(-\alpha) \text{max}(\mp f,0)=(-\alpha) f_{\mp} $$
  である。よって非負値可測関数の積分の非負斉次性より $(**)$ を得る。

$\mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ が $\mathbb{C}$ 上の線形空間であることと積分が線形汎関数であることは 命題10.2 より明らかである。任意の $f\in \mathcal{L}^1(X,\mathfrak{M},\mu)$ に対し $(*)$ が成り立つことを示す。
$$ \alpha\int_{X}f(x)d\mu(x)=\left\lvert \int_{X}f(x)d\mu(x)\right\rvert,\quad\lvert \alpha\rvert=1 $$
なる $\alpha\in \mathbb{C}$ を取れば、積分の線形性と単調性より、
$$ \left\lvert\int_{X}f(x)d\mu(x)\right\rvert =\text{Re}\int_{X}\alpha f(x)d\mu(x) =\int_{X}\text{Re}(\alpha f(x))d\mu(x) \leq \int_{X} \lvert f(x)\rvert d\mu(x) $$
である。

$(1)\Leftrightarrow(2)\Rightarrow(3)$ は 命題9.4 の $(1)$ による。$(3)\Rightarrow(2)$ を示す。虚部と実部に分ければよいので $f$ は実数値であると仮定して示せば十分であるが、
$$ \int_{X}f_+(x)d\mu(x)=\int_{X}f(x)\chi_{(f>0)}(x)d\mu(x)=0, $$
$$ \int_{X}f_-(x)d\mu(x)=\int_{X}-f(x)\chi_{(f<0)}(x)d\mu(x)=0 $$
であるから、
$$ \int_{X}\lvert f(x)\rvert d\mu(x)=\int_{X}f_+(x)d\mu(x)+\int_{X}f_-(x)d\mu(x)=0 $$
である。