測度と積分8：Lebesgue測度の基本的性質

$$ \mathcal{Q}_n\colon=\left\{\prod_{j=1}^{N}\left(\frac{\ell_j-1}{2^n},\frac{\ell_j}{2^n}\right]:\ell_1,\ldots,\ell_N\in \mathbb{Z}\right\}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
とおく。明らかに任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $\mathcal{Q}_n$ の互いに異なる要素は互いに交わらず、$\mathbb{R}^N=\bigcup_{I\in \mathcal{Q}_n}I$ である。また $n< m$ なる任意の $n,m\in\mathbb{N}$ と $I_n\cap I_m\neq\emptyset$ なる任意の $I_n\in \mathcal{Q}_n$、$I_m\in \mathcal{Q}_m$ に対し $I_m\subset I_n$ である。 任意の開集合 $U\subset \mathbb{R}^N$ を取る。$U$に含まれる $\mathcal{Q}_1$ の要素全ての合併を $U_1$ とする。$U\backslash U_1$ に含まれる $\mathcal{Q}_2$ の要素全ての合併を $U_2$ とする。そして任意の$n\in\mathbb{N}$ に対し $U\backslash \bigcup_{k=1}^{n}U_k$ に含まれる $\mathcal{Q}_{n+1}$ の要素全ての合併を $U_{n+1}$ とする。$U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_n$ が成り立つことを示せばよい。任意の $x\in U$ を取る。$U$ は開集合であるから十分大きい $n\in\mathbb{N}$ を取れば $x\in I_n\subset U$ なる $I_n\in\mathcal{Q}_n$ が取れる。もし$I_n\cap \bigcup_{k=1}^{n-1}U_k\neq\emptyset$ ならばある $k\in \{1,\ldots,n-1\}$ に対し $I_n\subset U_k$ である。また $I_n\cap \bigcup_{k=1}^{n-1}U_k=\emptyset$ ならば $I_n\subset U_n$ である。よって $x\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_n$ であるから $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_n$ が成り立つ。

必要条件であることは 注意36.4 で述べている。Borel測度 $\mu\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow [0,\infty]$ が任意の直方体に対して通常の意味での体積を与えるとする。任意のコンパクト集合 $K\subset \mathbb{R}^N$ に対し $K$ はある直方体に含まれるので $\mu(K)<\infty$ であり、$\mathbb{R}^N$ は第二可算であるから 定理31.5 より $\mu$ はRadon測度である。 補題36.5 より任意の開集合 $U\subset \mathbb{R}^N$ に対し $\mu(U)=m_N(U)$ である。よって $\mu, m_N$ の外部正則性より任意の $B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$ に対し $\mu(B)=m_N(B)$ である。

$I$ の分割 $\Delta\in \mathcal{D}(I)$、代表点 $\xi_{\Delta}=(\xi_J)_{J\in K(\Delta)}$ によるRiemann和 $s(f,\Delta,\xi_{\Delta})$ は、
$$ s(f,\Delta,\xi_{\Delta})=\sum_{J\in K(\Delta)}f(\xi_J)m_N(J) =\sum_{J\in K(\Delta)}\int_{J}f(\xi_j)dm_N(x) $$
であり、
$$ \int_{I}f(x)dm_N(x)=\sum_{J\in K(\Delta)}\int_{J}f(x)dm_N(x) $$
であるから、
$$ \left\lvert\int_{I}f(x)dm_N(x)-s(f,\Delta,\xi_{\Delta})\right\rvert \leq \sum_{J\in K(\Delta)}\int_{J}\lvert f(x)-f(\xi_J)\rvert dm_N(x) $$
である。そして $f$は一様連続である（ 距離空間の位相の基本的性質の定理7.3 ）から、
$$ \int_{I}f(x)dm_N(x)=\lim_{d(\Delta)\rightarrow0}s(f,\Delta,\xi_{\Delta}) =\int_{I}f(x)dx $$
である。

$$ \mu(B)\colon=\lvert B+y\rvert\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}) $$
としてBorel測度 $\mu\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\rightarrow [0,\infty]$ を定義すると、$\mu$ は 命題36.6 の条件を満たす。よって $\mu$ はLebesgue測度である。

$A$ は有限個の基本行列の積で表されることと ${\rm det}\colon\mathbb{M}_{N\times N}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$ は乗法を保存することから $A$ は基本行列であるとして示せば十分である。
$$ \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\ni B\mapsto \lvert A(B)\rvert \in [0,\infty],\quad \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\ni B\mapsto \lvert {\rm det}(A)\rvert \lvert B\rvert\in [0,\infty] $$
は 定理31.5 よりRadon測度であるから外部正則性より任意の開集合 $U\subset \mathbb{R}^N$ に対し $\lvert A(U)\rvert=\lvert {\rm det}(A)\rvert \lvert U\rvert$ が成り立つことを示せば十分であり、さらに 補題36.5 より $\mathbb{R}^N$ の開集合は互いに交わらない有界な左半開立方体の可算合併であるから任意の有界な左半開立方体
$$ I\colon=\prod_{j=1}^{N}(\alpha_j,\beta_j] $$
を取り、
$$ \lvert A(I)\rvert=\lvert {\rm det}(A)\rvert \lvert I\rvert\quad\quad(*) $$
が成り立つことを示せば十分である。 $A$ が $A(i,j)$ か $B(j;b)$ の場合は自明である。$A=C(i,j;c)$ とする。このとき、
$$ A(I)=\left\{(x_1,\ldots,x_N): \alpha_k< x_k\leq \beta_k\text{ }(k\neq i), \text{ }\alpha_i+cx_j< x_i\leq \beta_i+cx_j\right\} $$
であるからTonelliの定理（ 定理14.4 ）より、
$$ \lvert A(I)\rvert=\prod_{k\neq i,j}(\beta_k-\alpha_k)\int_{\alpha_j}^{\beta_j}\int_{\alpha_i+cx_j}^{\beta_i+cx_j}1dx_idx_j =\left(\prod_{k\neq i,j}(\beta_k-\alpha_k)\right)(\beta_j-\alpha_j)(\beta_i-\alpha_i)=\lvert I\rvert $$
である。$\lvert {\rm det}(A)\rvert=1$ なので $(*)$ が成り立つ。

任意の $x\in (\alpha< M\nu)$ を取る。$\alpha<\sup_{r\in (0,\infty)}\frac{\lvert\nu\rvert(B(x,r))}{\lvert B(x,r)\rvert}$ であるから、
$$ \alpha<\frac{\lvert\nu\rvert(B(x,r))}{\lvert B(x,r)\rvert}=\frac{\lvert \nu\rvert(B(x,r))}{r^N\lvert B(0,1)\rvert} $$
なる $r\in (0,\infty)$ が取れる。（ 命題37.1 と 命題37.3 より $\lvert B(x,r)\rvert=\lvert B(0,r)\rvert=r^N\lvert B(0,1)\rvert$ である。) 十分小さい$\delta\in (0,\infty)$ を取れば、
$$ \alpha<\frac{\lvert\nu\rvert(B(x,r))}{(r+\delta)^N\lvert B(0,1)\rvert} $$
となる。任意の $y\in B(x,\delta)$ に対し $B(x,r)\subset B(y,r+\delta)$ であるから、
$$ \lvert\nu\rvert(B(y,r+\delta))\geq \lvert\nu\rvert(B(x,r))>\alpha(r+\delta)^N\lvert B(0,1)\rvert =\alpha\lvert B(y,r+\delta)\rvert $$
である。よって、
$$ \alpha<\frac{\lvert\nu\rvert(B(y,r+\delta))}{\lvert B(y,r+\delta)\rvert}\leq M\nu(y) $$
であるから $B(x,\delta)\subset (\alpha< M\nu)$ である。ゆえに $(\alpha< M\nu)$は開集合である。

$r_1\geq r_2\geq \ldots\geq r_N$ であるとしてよい。$k(1):=1$ とおく。 $B(x_k,r_k)\cap B(x_1,r_1)=\emptyset$ なる $k\in\{2,\ldots,N\}$ で最小のものを $k(2)$ とする。 $B(x_k,r_k)\cap \bigcup_{j=1}^{2}B(x_{k(j)},r_{k(j)})=\emptyset$ なる $k\in\{k(2)+1,\ldots,N\}$ で最小のものを $k(3)$ とおく。以下同様にして $1=k(1)< k(2)<\ldots< k(n)$ を取り尽くしたものとする。$S:=\{k(1),k(2),\cdots,k(n)\}$とおく。 定義の仕方から $S$ は $(*)$ を満たす。$S$ が $(**)$ を満たすことを示す。任意の $k\in \{1,\ldots,N\}\backslash S$ を取り、
$$ B(x_k,r_k)\subset \bigcup_{j\in S}B(x_j,3r_j)\quad\quad(***) $$
が成り立つことを示せばよい。$k(m)< k< k(m+1)$ なる $m\in \{1,\ldots,n\}$ を取る。 $B(x_k,r_k)\cap \bigcup_{j=1}^{m}B(x_{k(j)},r_{k(j)})\neq\emptyset$ であるから $B(x_k,r_k)\cap B(x_{k(l)},r_{k(l)})\neq\emptyset$ なる $l\in\{1,\ldots,m\}$ が取れる。任意の $x\in B(x_k,r_k)$、任意の $y\in B(x_k,r_k)\cap B(x_{k(l)},r_{k(l)})$ を取る。$k(l)< k$ より $r_k\leq r_{k(l)}$ であるから、
$$ d(x,x_{k(l)})\leq d(x,x_k)+d(x_k,y)+d(y,x_{k(l)})< r_k+r_k+r_{k(l)}\leq 3r_{k(l)} $$
である。よって $(***)$ が成り立つ。

Lebesgue測度はRadon測度であるから内部正則性より任意のコンパクト集合 $K\subset (\alpha< M\nu)$ を取り、
$$ \lvert K\rvert\leq \frac{3^N}{\alpha}\| \nu\| $$
が成り立つことを示せば十分である。任意の $x\in K$ に対し $\alpha< M\nu(x)=\sup_{r\in (0,\infty)}\frac{\lvert\nu\rvert(B(x,r))}{\lvert B(x,r)\rvert}$ であるから $r_x\in (0,\infty)$ で、
$$ \alpha<\frac{\lvert \nu\rvert(B(x,r_x))}{\lvert B(x,r_x)\rvert} $$
なるものが取れる。$K$ はコンパクトであるから有限個の $x_1,\ldots, x_n\in K$ が取れて、
$$ K\subset \bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,r_{x_j}) $$
となり、 補題38.3 より $S\subset \{1,\ldots,n\}$ で、
$$ B(x_j,r_{x_j})\cap B(x_k,r_{x_k})=\emptyset\quad(j\neq k,j,k\in S), $$
$$ \bigcup_{j=1}^{n}B(x_j,r_{x_j})\subset \bigcup_{j\in S}B(x_j,3r_{x_j}) $$
なるものが取れる。 命題37.1 と 命題37.3 より $\lvert B(x_j,3r_{x_j})\rvert=3^N\lvert B(x_j,r_{x_j})\rvert$ であるから、
$$ \begin{aligned} \lvert K\rvert&\leq \sum_{j\in S}\lvert B(x_j,3r_{x_j})\rvert =\sum_{j\in S}3^N\lvert B(x_j,r_{x_j})\rvert \leq \frac{3^N}{\alpha}\sum_{j\in S}\lvert\nu\rvert(B(x_j,r_{x_j}))\\ &\leq \frac{3^N}{\alpha}\lvert\nu\rvert\left(\sum_{j\in S}B(x_j,r_{x_j})\right) \leq \frac{3^N}{\alpha}\| \nu\| \end{aligned} $$
である。

任意の$x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$ T_rf(x)\colon=\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert dy\quad(\forall r\in (0,\infty)), $$
$$ Tf(x)\colon=\inf_{\delta\in (0,\infty)}\sup_{r\in (0,\delta)}T_rf(x) $$
とおく。$x\in \mathbb{R}^N$ がLebesgue点であることと $Tf(x)=0$ であることは同値である。よって $(0< Tf)$ がLebesgue測度 $0$ のBorel集合に含まれることを示せばよい。$(0< Tf)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}(\frac{1}{n}< Tf)$ であるからそのためには任意の $\alpha\in (0,\infty)$ を取り $(\alpha< Tf)$ がLebesgue測度 $0$ のBorel集合に含まれることを示せばよい。 命題32.1 より $C_c(\mathbb{R}^N)$ の列 $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で $\lim_{n\rightarrow\infty}\| f-g_n\|_1=0$ なるものが取れる。$h_n\colon=f-g_n$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ とおく。任意の $n\in\mathbb{N}$ を取る。 $f=g_n+h_n$ であるから、
$$ T_rf(x)\leq T_rg_n(x)+T_rh_n(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N,\forall r\in (0,\infty)), $$
したがって、
$$ Tf(x)\leq Tg_n(x)+Th_n(x)=Th_n(x)\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
である。（$g_n$ は連続なので $Tg_n=0$である。）また任意の $x\in\mathbb{R}^N$ と $r\in (0,\infty)$ に対し $T_rh_n(x)\leq Mh_n(x)+\lvert h_n(x)\rvert$ であるから、
$$ Th_n(x)\leq Mh_n(x)+\lvert h_n(x)\rvert\quad(\forall x\in\mathbb{R}^N). $$
よって、
$$ Tf(x)\leq Mh_n(x)+\lvert h_n(x)\rvert\quad(\forall x\in \mathbb{R}^N) $$
である。ゆえに、
$$ (\alpha< Tf)\subset (\frac{\alpha}{2}< Mh_n )\cup(\frac{\alpha}{2}<\lvert h_n\rvert ):=B_n\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
である。ここでHardy-Littlewoodの不等式（ 命題38.4 ）より、
$$ \lvert B_n\rvert\leq \left\lvert(\frac{\alpha}{2}< Mh_n )\right\rvert+\left\lvert( \frac{\alpha}{2}<\lvert h_n\rvert )\right\rvert \leq \frac{2(3^N+1)}{\alpha}\| h_n\|_1 $$
である。そこで $B\colon=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$ とおけば $(\alpha< Tf)\subset B$ であり、$\lim_{n\rightarrow\infty}\| h_n\|_1=0$ より、
$$ \lvert B\rvert\leq \inf_{n\in\mathbb{N}}\frac{2(3^N+1)}{\alpha}\| h_n\|_1=0 $$
である。よって $(\alpha< Tf)$ はLebesgue測度が $0$ のBorel集合 $B$ に含まれる。

補題39.2 よりLebesgue測度に関してほとんど全ての $x\in \mathbb{R}^N$ に対し、
$$ \left\lvert\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}f(y)dy-f(x)\right\rvert \leq \frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}\lvert f(y)-f(x)\rvert dy\rightarrow0\quad(r\rightarrow+0) $$
である。

命題37.3 より、$\Phi$ の代わりに $\Phi'(a)^{-1}\Phi$ を考えることで最初から $\Phi'(a)=1$（単位行列）として示せば十分である。任意の $\epsilon\in(0,1)$ に対し十分小さい $r\in (0,\infty)$ を取れば、
$$ \lvert\Phi(x)-\Phi(a)-(x-a)\rvert\leq \epsilon\lvert x-a\rvert\quad(\forall x\in \overline{B(a,r)})\quad\quad(*) $$
となる。ただし、
$$ \overline{B(a,r)}=\{x\in \mathbb{R}^N:\lvert x-a\rvert\leq r\}\subset U, $$
$$ B(\Phi(a),r)=\{y\in \mathbb{R}^N:\lvert y-\Phi(a)\rvert< r\}\subset \Phi(U) $$
とする。$(*)$ より、
$$ \lvert\Phi(x)-\Phi(a)\rvert\leq (1+\epsilon)\lvert x-a\rvert<(1+\epsilon)r \quad(\forall x\in B(a,r)) $$
であるから、
$$ \Phi(B(a,r))\subset B(\Phi(a), (1+\epsilon)r) $$
である。また $(*)$ より、
$$ (1-\epsilon)r= (1-\epsilon)\lvert x-a\rvert\leq \lvert\Phi(x)-\Phi(a)\rvert\quad(\forall x\in \partial B(a,r)) $$
であるから、
$$ \Phi(\partial B(a,r))\cap B(\Phi(a),(1-\epsilon)r)=\emptyset, $$
したがって、
$$ B(\Phi(a),(1-\epsilon)r)\subset \Phi(B(a,r))\cup \Phi(U\backslash \overline{B(a,r)}) $$
である。左辺は連結で右辺は互いに交わらない開集合であるから、
$$ B(\Phi(a),(1-\epsilon)r)\subset \Phi(B(a,r)) $$
を得る。よって、
$$ B(\Phi(a),(1-\epsilon)r)\subset \Phi(B(a,r))\subset B(\Phi(a), (1+\epsilon)r) $$
が成り立つ。ここで 命題37.1 と 命題37.3 より、
$$ \lvert B(\Phi(a),(1\pm\epsilon)r)\rvert =(1\pm \epsilon)^N\lvert B(a,r)\rvert $$
であるから、
$$ (1-\epsilon)^N\leq \frac{\lvert \Phi(B(a,r))\rvert}{\lvert B(a,r)\rvert}\leq (1+\epsilon)^N $$
である。ゆえに $\lim_{r\rightarrow+0}\frac{\lvert \Phi(B(a,r))\rvert}{\lvert B(a,r)\rvert}=1$ が成り立つ。

$\Phi(E)$ が $\sigma$-コンパクトであることは $\Phi$ の連続性による。
任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し、
$$ E_{n,m}\colon=\left\{x\in E: \lvert y-x\rvert<\frac{1}{m}\text{ なる任意の }y\in U\text{ に対し }\lvert\Phi(y)-\Phi(x)\rvert\leq n\lvert y-x\rvert\right\} $$
とおく。任意の $x\in E$ に対し $\|\Phi'(x)\|+1\leq n$ なる $n\in\mathbb{N}$ が取れ、十分大きい $m\in\mathbb{N}$ を取れば $\lvert y-x\rvert<\frac{1}{m}$ なる任意の $y\in U$ に対し、
$$ \lvert\Phi(y)-\Phi(x)-\Phi'(x)(y-x)\rvert\leq \lvert y-x\rvert $$
となるから、
$$ \lvert\Phi(y)-\Phi(x)\rvert\leq (\|\Phi'(x)\|+1)\lvert y-x\rvert\leq n\lvert y-x\rvert $$
である。よって、
$$ E=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}E_{n,m} $$
が成り立つ。また任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し $E_{n,m}=\overline{E_{n,m}}\cap E$ である（注：任意の $x\in \overline{E_{n,m}}\cap E$ と $x$ に収束する $E_{n,m}$ の列 $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を取る。また $\lvert y-x\rvert<\frac{1}{m}$ なる任意の $y\in U$ を取る。十分大きい $i\in\mathbb{N}$ に対し $\lvert y-x_i\rvert<\frac{1}{m}$ となり $x_i\in E_{n,m}$ より $\lvert \Phi(y)-\Phi(x_i)\rvert\leq n\lvert y-x_i\rvert$ であるから $\Phi$ の連続性より $\lvert\Phi(y)-\Phi(x)\rvert\leq n\lvert y-x\rvert$ である。よって $x\in E_{n,m}$ である。）から $E_{n,m}$ は $\sigma$-コンパクトである。
$\Phi(E)=\bigcup_{n,m\in\mathbb{N}}\Phi(E_{n,m})$ であるから
任意の $n,m\in\mathbb{N}$ に対し $\sigma$-コンパクト集合 $\Phi(E_{n,m})$ のLebesgue測度が $0$ であることを示せばよい。$\lvert E_{n,m}\rvert=0$ であるからLebesgue測度の外部正則性より任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $E_{n,m}$ を含む開集合 $U$ で $\lvert U\rvert<\epsilon$ なるものが取れる。 補題36.5 より $U$ は左半開立方体の非交叉列 $(I_j)_{j\in \mathbb{N}}$ により $U=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}I_j$ と表される。各 $I_j$ の一辺の長さを $r_j$ とする。必要ならば細分して、
$$ r_j<\frac{1}{Nm}\quad(\forall j\in \mathbb{N}) $$
としてよい。このとき任意の $j\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ \lvert\Phi(y)-\Phi(x)\rvert\leq n\lvert y-x\rvert< nNr_j\quad(\forall x,y\in I_j\cap E_{n,m}) $$
であるから $\Phi(I_j\cap E_{n,m})$ は一辺の長さが $2nNr_j$ 以下のある左半開立方体 $J_j$ に含まれる。
$$ \Phi(E_{n,m})=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}\Phi(I_j\cap E_{n,m})\subset \bigcup_{j\in \mathbb{N}}J_j $$
であり、
$$ \lvert\Phi(E_{n,m})\rvert\leq \sum_{j\in \mathbb{N}}\lvert J_j\rvert \leq\sum_{j\in\mathbb{N}}(2nNr_j)^N =(2nN)^N\sum_{j\in \mathbb{N}}\lvert I_j\rvert =(2nN)^N\lvert U\rvert<(2nN)^N\epsilon $$
である。よって $\epsilon$ の任意性より $\lvert\Phi(E_{n,m})\rvert=0$ を得る。

非負値Borel関数の非負値Borel単関数の各点単調増加列による近似（ 定理5.5 ）より任意のBorel集合 $B\in \mathcal{B}_{U}$ に対し、
$$ \lvert \Phi(B)\rvert=\int_{B}\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx $$
が成り立つことを示せば十分である。任意の $n\in\mathbb{N}$ に対し開集合 $U_n\colon=\{x\in U:\lvert \Phi(x)\rvert< n\}$ を定義し、有限Borel測度
$$ \mu_n\colon\mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}\ni B\mapsto \lvert\Phi(B\cap U_n)\rvert\in [0,\infty) $$
を定義する。 定理31.5 より $\mu_n$ はRadon測度である。 $\mu_n$ は $\mathbb{R}^N$ のLebesgue測度に関して絶対連続である。実際、$\lvert B\rvert=0$ なる任意の $B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}$ と $K\subset B$ なる任意のコンパクト集合 $K$ に対し $K\cap U_n$ は $\sigma$-コンパクト（$U_n$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合ゆえ $\sigma$ -コンパクトであることに注意）で $\lvert K\cap U_n\rvert=0$ であるから 補題40.2 より $\mu_n(K)=\lvert\Phi(K\cap U_n)\rvert=0$ である。よって $\mu_n$ の内部正則性より $\mu_n(B)=0$ であるから $\mu_n$ はLebesgue測度に関して絶対連続である。そこで $\mu_n$ のLebesgue測度に関するRadon-Nikodym微分（ 定義18.8 ）を $h_n\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ とおく。このとき、
$$ \lvert\Phi(B\cap U_n)\rvert=\int_{B\cap U_n}h_n(x)dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N})\quad\quad(*) $$
であるから、Lebesgueの微分定理（ 定理39.3 ）よりLebesgue測度に関してa.e. $x\in U_n$ で、
$$ \lim_{r\rightarrow+0}\frac{\lvert\Phi(B(x,r))\rvert}{\lvert B(x,r)\rvert}= \lim_{r\rightarrow+0}\frac{1}{\lvert B(x,r)\rvert}\int_{B(x,r)}h_n(y)dy=h_n(x) $$
である。一方 補題40.1 より任意の $x\in U_n$ に対し、
$$ \lim_{r\rightarrow+0}\frac{\lvert\Phi(B(x,r))\rvert}{\lvert B(x,r)\rvert}=\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert $$
であるからLebesgue測度に関してa.e. $x\in U_n$ で $h_n(x)=\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert$ が成り立つ。ゆえに $(*)$ より、
$$ \lvert\Phi(B\cap U_n)\rvert= \int_{B\cap U_n}\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx\quad(\forall B\in \mathcal{B}_{\mathbb{R}^N}) $$
が成り立つ。$(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は単調増加列であり $U=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}U_n$ であるから単調収束定理より任意の $B\in \mathcal{B}_{U}$ に対し、
$$ \begin{aligned} \lvert\Phi(B)\rvert&=\sup_{n\in\mathbb{N}}\lvert\Phi(B\cap U_n)\rvert=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_{B\cap U_n}\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx=\int_{B}\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx \end{aligned} $$
が成り立つ。

$(2)$と逆関数定理より、$\Phi(B_0)$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合で $B_0\ni x\mapsto \Phi(x)\in \Phi(B_0)$ は $C^1$ 級同相写像である。また $\Phi(B)\backslash \Phi(B_0)\subset \Phi(B\backslash B_0)$ であるから $(1),(3)$ と 補題40.2 より $\lvert \Phi(B)\backslash \Phi(B_0)\rvert=0$ である。ゆえに 補題40.3 より、
$$ \int_{\Phi(B)}f(x)dx=\int_{\Phi(B_0)}f(x)dx =\int_{B_0}f(\Phi(x))\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx =\int_{B}f(\Phi(x))\lvert {\rm det}(\Phi'(x))\rvert dx $$
である。