代数学

多項式の共通零点集合（アフィン代数的集合）と座標環の対応から出発し、Zariski位相、Hilbertの基底定理・零点定理、局所環と接空間、次元を扱う。後半では前層と層、局所環付き空間、環のスペクトラム Spec とアフィンスキーム、スキームの貼り合わせと射、ファイバー積と特殊化、閉埋入・有限型・有限射を順に導入し、「環と幾何の翻訳」を一貫した軸にする。最後に射影空間と斉次座標を橋渡しとして導入し、総合問題で全体を往復する。前提は可換環論（イデアル・局所化・素イデアル）と体の初歩である。

群の定義から出発し、準同型と商群、群の作用、Sylow の定理、組成列、可解群と冪零群、自由群を順に学び、最後に小さな位数の有限群を具体的に分類する。対称性の計算から始めて、写像で群を比べる、類にまとめて新しい群を作る、集合に作用させて数える、という三つの方法を軸に進む。各章で証明を一つずつ確かめ、最後に Sylow の定理と半直積を組み合わせて、位数 15 までの群を分類する地図を作る。前提は、集合と写像、整数の割り算、および線形代数の初歩である。

体の拡大を「ベクトル空間として測る」ことから出発し、代数的元と最小多項式、分離性、分解体と正規性、有限体を順に整える。そのうえで、拡大の対称性を群として捉えるGalois群とArtinの固定体定理を示し、Galoisの基本定理（中間体と部分群の反転対応）を証明する。後半は円分体、定規とコンパスによる作図可能数、根号による可解性と一般五次方程式の非可解性へ進み、対称性の言葉で方程式の解の様子を判定する。前提は群論（220）と環・多項式環（225）の初歩である。

整数と多項式に共通する「足して掛けられる」構造として環を定義し、単元・零因子・整域・体、環準同型とイデアル、商環と同型定理、素イデアルと極大イデアルを順に学ぶ。後半では、体上の多項式環、Euclid 整域から主イデアル整域（PID）、一意分解整域（UFD）への道筋、Gauss の補題による整数係数多項式の既約性、中国剰余定理を扱う。各章で「整数で成り立つ性質がどこまで一般の環で成り立つか」を確かめる。前提は、集合と写像、整数の割り算、および線形代数の初歩である。

四つの元しかない体を筆算で作るところから始め、有限体の演算表、Frobenius 写像と冪表、既約多項式の次数と個数、線形符号の生成行列と検査行列、巡回符号（長さ 7 の Hamming 符号）、七点七直線の有限射影平面までを、小さい例を手で最後まで計算しながら学ぶ。各章は「定義→命題と証明→計算例→解答付き演習」の形で、演算表・行列・接続表を自分で再現できることを目標にする。前提は線形代数と、環・イデアルの初歩（商環、剰余類）である。