Brauer群の理論（GrothendieckのBrauer群 I–III を読む）
概要
本書は、A. Grothendieck の連続講演「Le groupe de Brauer」I（Azumaya 代数）・II（コホモロジー論）・III（補足と計算）を道案内にして、スキームの Brauer 群の理論を解説する参考書である。I と II は Séminaire Bourbaki の 1964/65 年と 1965/66 年の講演で、III を加えた 3 篇が論文集『Dix exposés sur la cohomologie des schémas』（North-Holland・Masson、1968 年）に収められている。原論文は、体の中心単純環の同値類として古典的に定義されていた Brauer 群を、スキームの上の理論に作り直し、エタールコホモロジーの言葉で計算できるようにして、双対性と双有理不変量へつないだ。 本書は原論文の翻訳ではない。原論文の節の順序ではなく、Azumaya 代数、コホモロジー的 Brauer 群、低次元の計算、fppf 位相、純性と双有理不変性、双対性、高次の双有理不変量と予想、という主題ごとに七つの章を立て、現代の記号と言葉で書き直した。各頁は、その頁で示すこと、背景と動機、定義と準備、主結果と証明、例と反例、その後の発展、原論文との対応という同じ形で書いてある。 原論文は、当時の読者が EGA と SGA 4 を手元に置いていることを前提に、多くの段を「よく知られている」「直ちに分かる」で済ませている。本書はその段を補って証明を閉じ、各主張が、本書の中で証明し切れたもの（完結）、引用した定理や仮定に依るもの（条件付き）、証明を閉じられなかったもの（未完結）、印字のままでは成り立たないもの（偽）のどれに当たるかを区別して示す。エタールコホモロジーの基本定理、曲面の交叉理論、Weil 予想の Deligne による証明など、外部から引く結果は引用であることを明示し、各頁の末尾に原論文の番号と頁との対応表を置く。 読むには、可換環論、ホモロジー代数、スキーム論、層とエタールコホモロジー、Galois コホモロジーと類体論の初歩が要る。第 2 章の後半からは代数曲面と ℓ 進の道具が、第 7 章の最後では Hodge 理論の初歩が加わる。すべてを先に学ぶ必要はない。分野ごとの要点、頁ごとに要る前提の対応表、読む順序の案、全頁に共通する記号と約束は、第 0 章の頁「本書の読み方」と「記号と約束」にまとめた。各章で何を扱い、原論文の何を補い、どこを直したかは、下の目次の各章の説明に書いた。
目次
第0章 前提知識と読み方
本書を読むのに要る分野を一覧にし、各概念の要点を数行で述べる章である。可換環論とホモロジー代数、スキーム論、層とコホモロジー、Galois コホモロジー、中心単純環、代数曲線と代数曲面、ℓ 進の道具、Hodge 理論の初歩の順に並べ、どの頁で何のために使うか、用語解説記事と標準的な教科書のどこを見ればよいかを案内する。頁ごとに要る前提の対応表と読む順序の案は 0-1 に、全頁に共通する記号と約束は 0-6 にまとめる。すべてを先に学ぶ必要はなく、第 1 章と第 2 章の前半は、スキーム論と層コホモロジーの基本、体の Galois コホモロジーの初歩があれば読み始められる。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第1章 Azumaya代数とBrauer群
体の中心単純環として古典的に定義された Brauer 群を、スキームの上へ移す章である。まず位相空間という見通しのよい場合を扱い、次に体上の中心単純環と分裂体を証明つきで述べ、スキーム上の Azumaya 代数を「エタール局所に行列代数になる代数」として定義して、これが PGL トーサー、さらに Severi–Brauer スキームと同じものであることを示す。中心拡大の余境界が Brauer 群を 2 次のコホモロジー群へ埋め込み、以後の章はこの埋め込みの上で進む。原論文 I が完全列の左端を取り違えている箇所は、実射影平面の上の例で破れることを示し、正しい形に直す。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第2章 コホモロジー的Brauer群
Azumaya 代数から作る Brauer 群と、コホモロジー的 Brauer 群（2 次のコホモロジー群の捩れ部分）を比べ、Kummer 列で計算する章である。正則なスキームでは高次のコホモロジーが捩れになり、Brauer 群は関数体の Brauer 群に入る。代数閉体上の固有滑らかな多様体では、ℓ 準素部分の余階数が第 2 Betti 数と Picard 数の差になる。二つの群が一致するかという原論文の問いは、Giraud のジェルブによる比較を経て、Gabber と de Jong が広く肯定的に解いたが、分離的でないスキームでは崩れる。原論文の別の予想は Grothendieck–Serre 予想として知られる。第 1 Betti 数を Picard スキームの次元とした点、被約なスキームの Picard 群を有限生成とした点、準コンパクト性を落とした点は、正しい形と反例で示す。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第3章 低次元の計算
体、次元 1 のスキーム、次元 2 の曲線束の順に Brauer 群を計算する章である。次元 1 以下の体では Brauer 群が消える。正則な次元 1 のスキームでは剰余写像の完全列が類体論と結びつき、局所体、数体の整数環、有限体上の固有曲線の Brauer 群が定まる。Hensel 離散付値環上の正則な曲面では、Brauer 群が閉ファイバーで決まる（M. Artin の定理）。曲線束では、Brauer 群が生成ファイバーのヤコビアンの Tate–Shafarevich 群と結びつき、後の Brauer–Manin 障害の研究につながった。閉ファイバーの局所不変量についての原論文の主張は一般には成り立たず、有限体上の射影直線の上の円錐曲線束が反例になる。整数環の上で固有なスキームの Brauer 群が有限かという M. Artin の問いは、次元 1 以下を除いて未解決である。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第4章 fppf位相
平坦な被覆を許す fppf 位相を導入し、相対 Picard 群と Brauer 群を結ぶ章である。相対 Picard 群の元を絶対 Picard 群へ持ち上げる障害が Brauer 群の元として取り出され、分離閉体上の固有スキームでは、基礎体を代数閉包へ広げたときの Brauer 群の変化がこの障害で記述される。土台になるのは、滑らかな可換群スキームについてエタールコホモロジーと fppf コホモロジーが一致するという原論文の付録の比較定理で、これはその後、標準的な道具として広く使われている。滑らかでない群では一致しない。付録の二つの補題は印字のままでは成り立たず、一方は添字の範囲を、他方は閉部分スキームが空でないという仮定を補う必要がある。反例とともに正しい形を示す。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第5章 純性と双有理不変性
正則なスキームから余次元 2 以上の閉集合を除いても Brauer 群が変わらないという純性と、そこから出る双有理不変性を扱う章である。純性は原論文の時点では次元の低い場合や体上滑らかな場合に限られていたが、その後 Gabber と Česnavičius の仕事によって正則スキーム一般について確立された。双有理不変性は、正則な中心に沿うブローアップで Brauer 群が変わらないことから始まり、純性のもとで固有な正則スキームの双有理不変量になる。原論文の純性の定理と系は余次元 1 を含む形で印字されていて成り立たず、余次元 2 以上に限る必要がある。双有理不変性の系も「固有」を落とした形では成り立たず、原論文自身が脚注でその証明を撤回している。いずれも反例と正しい形を示す。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第6章 双対性
ℓ 進コホモロジーを通して Brauer 群と Néron–Severi 群を結ぶ章である。代数閉体上の固有滑らかな多様体では、2 次の ℓ 進コホモロジーが Néron–Severi 群と Brauer 群の Tate 加群の間に挟まれ、曲面では Brauer 群の側が Néron–Severi 群の直交補空間として非退化な二次形式をもつ。捩れの部分についても双対性が成り立つ。後半は、2 次元の完備正規局所環の穴あき近傍という局所版を扱い、局所 Picard 群と交叉行列で記述する。原論文はここで標数 0 の完全な双対を述べるが、証明の一段を自ら確認していないと明言しているので、本書は期待される形として証明済みの部分と分けて書く。有限体上の曲面では、Tate 予想が Brauer 群の有限性と同値であることが Tate と Milne により示された（Artin–Tate の公式）。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$第7章 高次の双有理不変量と予想
Brauer 群を高次へ一般化した不分岐コホモロジーと余次元フィルトレーションを扱い、Weil・Tate・Hodge の予想に結びつける章である。不分岐コホモロジーは関数体の双有理不変量で、Artin–Mumford の単有理だが有理でない 3 次元多様体や、Colliot-Thélène–Ojanguren らの有理性の研究につながった。余次元フィルトレーションは Bloch–Ogus の理論につながる。有限体上では、Frobenius の固有値の可除性が Deligne の Weil 予想の証明から従い、逆向きの包含が Tate 予想になる。標数 0 で原論文が Hodge フィルトレーションとの等号として掲げた予想は成り立たず（楕円曲線の 3 乗で破れる）、原論文自身の 1968 年の追記が Hodge 分解について安定な最大の部分に置き換えた。これが一般 Hodge 予想である。
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
参考文献
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