$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
本書で引用として使う代数曲線と代数曲面の概念（Picard 群、Picard スキームと Néron–Severi 群、交叉理論、曲線束と Néron モデル、曲線の基本、Betti 数）、$\ell$ 進の道具（$\ell$ 準素部分と Tate 加群、Tate 捻り、$\ell$ 進コホモロジー、サイクル類写像、Weil 予想と Tate 予想）、Hodge 理論の初歩（Hodge 分解、Lefschetz の $(1,1)$ 定理、Hodge 予想）の要点を集めた頁である。各項目は定義の要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。Galois コホモロジーと中心単純環の前提は本書『0-4 Galois コホモロジーと中心単純環』にある。
代数曲線と代数曲面
Picard 群と因子
Picard 群と因子
$\mathrm{Pic}(X)=H^1(X,\mathbb G_m)$ は可逆層の同型類の群で、Zariski・エタール・fppf のどの位相で計算しても同じである。正規なスキームでは Weil 因子、正則なスキームでは Cartier 因子と Weil 因子が一致し、$\mathrm{Pic}$ は因子類群になる。
- 使いどころ：全頁。Kummer 列で $\mathrm{Br}'$ と並ぶ項（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』）、因子の層の完全列（『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、『次元 1 のスキームと類体論』）。
- 案内：Picard群、Har77 II.6、Liu02 第 7 章。
Picard スキームと Néron–Severi 群
Picard スキームと Néron–Severi 群
代数閉体 $k$ 上固有な $X$ について、$\mathrm{Pic}^0(X)$ を Picard スキームの単位元成分の $k$ 点とし、$\mathrm{NS}(X)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}^0(X)$ と置く。$\mathrm{NS}(X)$ は有限生成であり（Néron–Severi の定理）、その階数が Picard 数 $\rho$ である。$\mathrm{Pic}^0(X)$ は $\operatorname{char}k$ と異なる $\ell$ で割り切れる。
- 使いどころ：$\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ の余階数が $B_2-\rho$ になること（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』）、Tate 加群の完全列 $0\to\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Z_\ell\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell\mathrm{Br}'(X)\to0$（『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』）、局所版（『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』）。
- 案内：Néron–Severi群、Picardスキーム、FGAex の Kleiman の部、Ful98 第 19 章。
曲面の交叉理論
曲面の交叉理論
体上射影的な正則曲面 $X$ の上で、因子の交叉数 $D\cdot E$ が定まり、$\mathrm{NS}(X)$ 上の対称双線形形式を与える（Hodge 指数定理により符号は $(1,\rho-1)$）。曲線束の連結なファイバーについて、その成分の交叉行列は半負定値で、核（有理係数）はファイバー全体の類で張られる（Zariski の補題）。正規曲面特異点の解消の例外曲線の交叉行列は負定値である（Mumford）。
- 使いどころ：『曲線束と Tate–Shafarevich 群』（ファイバーの重複度と $d_y$）、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』（$\mathrm{NS}$ 上の二次形式と判別式）、『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』（交叉行列の余核）。
- 案内：交叉理論、判別式形式、Har77 V.1、Liu02 第 9 章、Ful98 第 2 章。
曲線束・重複ファイバー・Néron モデル
曲線束・重複ファイバー・Néron モデル
正則な 1 次元の底 $Y$ の上の固有平坦な射 $f\colon X\to Y$（$X$ は正則な曲面）を曲線束と呼ぶ。閉ファイバーは重複度つきの成分の和 $\sum a_jC_j$ に分かれる。生成ファイバーのヤコビアンは、$Y$ 上の Néron モデルという「滑らかで分離的な最良の延長」をもつ。
- 使いどころ：『曲線束と Tate–Shafarevich 群』だけ。『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の Artin の定理も同じ設定の局所版である。
- 案内：Néronモデル、重複ファイバー、BLR90 第 1・9 章、Liu02 第 9・10 章。
曲線の基本
代数閉体上の曲線のコホモロジー
代数閉体上の固有滑らかな連結曲線 $X$ では、$H^2(X,\mu_n)\cong\mathbb Z/n$ で、$\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)$ は次数を $n$ で割った余りである。したがって $\mathrm{Br}(X)=0$ が Kummer 列からも出る（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』。『次元 1 以下の体』は被約でない曲線を含めて別の道で示す）。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』、『次元 1 以下の体』、『fppf 位相と相対 Picard 群』。
- 案内：Mil80 の曲線のコホモロジーを扱う節、Har77 第 IV 章。
Betti 数と Lefschetz の公式
Betti 数と Lefschetz の公式
$B_i=\operatorname{rank}_{\mathbb Z_\ell}H^i(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)$ は、$X$ が固有滑らかなら $\ell$ によらない（一般の次元では Weil 予想と底変換から出る）。Poincaré 双対性により $B_i=B_{2d-i}$（$d=\dim X$）。曲面では、$B_1$ が Albanese 多様体の次元の 2 倍であることと、Lefschetz の跡公式 $\sum_i(-1)^iB_i=c_2$ から、$B_2$ が $\ell$ によらないことが直接分かる。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』（曲面で $\mathrm{Br}(X)(\ell)$ の余階数が $\ell$ によらないこと）、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』。
- 案内：ℓ進コホモロジー、Mil80 の Poincaré 双対性の章。
$\ell$ 進の道具
$\ell$ 準素部分と Tate 加群
$\ell$ 準素部分と Tate 加群
アーベル群 $M$ について、$M(\ell)$ はその $\ell$ 準素部分、$T_\ell M=\varprojlim{}_{\ell^\nu}M$（遷移は $\ell$ 倍）、$V_\ell M=T_\ell M\otimes\mathbb Q_\ell$ である。${}_\ell M$ が有限なら $M(\ell)\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^r\oplus(\text{有限})$ と分解し、$r$（余階数）は $T_\ell M$ の階数に等しい。$T_\ell$ は有限部分を見ない。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』の余階数、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』と『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』の双対性。
- 案内：Tate加群、Sil86 第 III 章（§7。楕円曲線の場合）。
Tate 捻り
Tate 捻り
$\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim\mu_{\ell^\nu}$、$\mathbb Z_\ell(j)=\mathbb Z_\ell(1)^{\otimes j}$、$\mu_{\ell^\infty}=\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)$。分離閉体の上では $\mathbb Z_\ell(1)\cong\mathbb Z_\ell$ だが、同型は 1 の冪根の系の選び方による。Galois 作用を見るときは捻りを区別しなければならない。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』以後。『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』では捻りが Frobenius の固有値を $q^j$ 倍ずらすことが本質になる。
- 案内：Tate捻り。
$\ell$ 進コホモロジー
$\ell$ 進コホモロジー
$H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))=\varprojlim_\nu H^i(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j})$（層のコホモロジーではなく、有限段の群の射影極限）。有限段の群が有限なら、$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ 係数との比較の完全列 $0\to(\text{有限})\to H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell H^i(X,\mu_{\ell^\infty})\to0$ がある。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』、『不分岐コホモロジー』、『余次元フィルトレーションと niveau』、『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』。
- 案内：ℓ進コホモロジー、Mil80 の後半の章、Fu15。
サイクル類写像と Gysin 写像
サイクル類写像と Gysin 写像
余次元 $p$ のサイクルに類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2p}(X,\mathbb Z_\ell(p))$ を対応させる写像。$p=1$ では Kummer 列の連結準同型 $\mathrm{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ である。閉部分多様体 $Z\subset X$ からの Gysin 写像 $H^{i-2c}(Z,\mathbb Z_\ell(j-c))\to H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))$（$c$ は余次元）は、純性（コホモロジー的純性定理）から作られる。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』（$p=1$）、『余次元フィルトレーションと niveau』（niveau の記述）、『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』（Tate 予想）。
- 案内：サイクル類写像、Gysin写像、Ful98 第 19 章、Mil80 の後半の章。
Weil 予想と Tate 予想
Weil 予想と Tate 予想
有限体 $\mathbb F_q$ 上の固有滑らかな $X$ について、$H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ 上の Frobenius の固有値は絶対値 $q^{i/2}$ の代数的整数である（Deligne による証明）。Tate 予想は、$H^{2p}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell(p))$ の Galois 不変元が代数的サイクルの類で張られることを主張する。$p=1$ の場合は $\mathrm{Br}(X)$ の $\ell$ 部分の有限性と同値である（とくに曲面について、Artin–Tate の枠組み）。
- 使いどころ：『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』の背景、『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』の主題。本書では「証明済みの定理」「予想」「その後に解けた場合」を時点つきで区別して書く。
- 案内：Weil予想、Tate予想、Har77 付録 C、CTS21 の有限性を扱う章。
Hodge 理論の初歩
Hodge 分解とフィルトレーション
Hodge 分解と Hodge 構造
複素数体上の滑らかな射影多様体 $X$ について $H^i(X,\mathbb C)=\bigoplus_{r+s=i}H^{r,s}$、$\overline{H^{r,s}}=H^{s,r}$。Hodge フィルトレーションは $F^pH^i=\bigoplus_{r\ge p}H^{r,s}$ である。これらをまとめたものが（重さ $i$ の）Hodge 構造である。
- 使いどころ：『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』。
- 案内：Hodge構造、Voi02 第 I 巻の Hodge 分解と Hodge 構造の章、GH78 第 0 章。
Lefschetz の $(1,1)$ 定理
Lefschetz の $(1,1)$ 定理
$\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Q$ は $H^2(X,\mathbb Q)\cap H^{1,1}$ に一致する。したがって $\rho\le h^{1,1}$ であり、$B_2=2h^{2,0}+h^{1,1}$ から $B_2-\rho\ge2h^{2,0}$ が出る。たとえば K3 曲面では $B_2=22$、$h^{2,0}=1$ なので、$\mathrm{Br}(X)$ は少なくとも $(\mathbb Q/\mathbb Z)^2$ を含む（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』の $B_2-\rho$ と、複素数体上の比較定理を合わせる）。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』の頁の具体的な計算、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』の背景、『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』。
- 案内：GH78 第 1 章、Voi02 第 I 巻の Hodge 類の章。
Hodge 予想と一般 Hodge 予想
Hodge 予想と一般 Hodge 予想
Hodge 予想は $H^{2p}(X,\mathbb Q)\cap H^{p,p}$ が代数的サイクルの類で張られることを主張する。一般 Hodge 予想は、有理係数の余次元フィルトレーション $N^pH^i$ が「$F^p$ に含まれる $H^i(X,\mathbb Q)$ の最大の部分 Hodge 構造」に一致することを主張する（Grothendieck による修正後の形）。
[1]
Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer III : exemples et compléments, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, 88–188
[2]
Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer I : algèbres d'Azumaya et interprétations diverses, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, 46–66
[3]
Pierre Deligne, Théorie de Hodge, II, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1971
[4]
J. W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967
[5]
Emil Artin, John Tate, Class Field Theory, W. A. Benjamin, 1968
[6]
Marvin J. Greenberg, Rational points in Henselian discrete valuation rings, Publications Mathématiques de l'IHÉS 31, 1966
[8]
Alexander Grothendieck, Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), North-Holland, 1968
[10]
Maurice Auslander, Oscar Goldman, The Brauer group of a commutative ring, Transactions of the American Mathematical Society 97, 1960
[11]
Michel Raynaud, Spécialisation du foncteur de Picard, Publications Mathématiques de l'IHÉS 38, 1970
[12]
Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956
[13]
David Mumford, The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1961
[16]
Ofer Gabber, Some theorems on Azumaya algebras, Le groupe de Brauer, Lecture Notes in Mathematics 844, Springer, 1981
[17]
Serge Lang, Algebraic groups over finite fields, American Journal of Mathematics 78, 1956
[18]
Maurice Auslander, David A. Buchsbaum, Unique factorization in regular local rings, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 1959
[19]
Tsit Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics 67, American Mathematical Society, 2005
[20]
Michael Artin, David Mumford, Some elementary examples of unirational varieties which are not rational, Proceedings of the London Mathematical Society (3), 1972
[21]
Alexander Grothendieck, Géométrie formelle et géométrie algébrique, Séminaire Bourbaki exposé 182, 1959
[22]
Pierre Deligne, Cohomologie étale (SGA 4½), Lecture Notes in Mathematics 569, Springer, 1977
[23]
Irving Reiner, Maximal Orders, Academic Press, 1975
[24]
Joseph Lipman, Desingularization of two-dimensional schemes, Annals of Mathematics 107, 1978
[25]
Aise Johan de Jong, The period-index problem for the Brauer group of an algebraic surface, Duke Mathematical Journal 123, 2004
[27]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique II, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1961
[28]
François Châtelet, Variations sur un thème de H. Poincaré, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (3), 1944
[29]
Gorô Azumaya, On maximally central algebras, Nagoya Mathematical Journal, 1951
[30]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique III, Publications Mathématiques de l'IHÉS 11, 17, 1961
[31]
Chiungtze Tsen, Divisionsalgebren über Funktionenkörpern, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1933
[32]
Phillip Griffiths, Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978
[33]
Michel Demazure, Alexander Grothendieck, Schémas en groupes (SGA 3), Lecture Notes in Mathematics 151–153, Springer, 1970
[34]
Pierre Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains, Tata Institute of Fundamental Research, 1964
[38]
Pierre Deligne, La conjecture de Weil. II, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1980
[39]
James S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals of Mathematics 102, 1975
[40]
Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer II : théorie cohomologique, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, 67–87
[42]
Jean-Pierre Serre, Corps locaux, Hermann, 1962
[43]
Benjamin Antieau, Ben Williams, The topological period–index problem over 6-complexes, Journal of Topology, 2014, 617–640
[44]
Jun-ichi Igusa, Betti and Picard numbers of abstract algebraic surfaces, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 1960
[45]
Nicolas Bourbaki, Algèbre, Chapitre 8 : Modules et anneaux semi-simples, Hermann, 1958
[47]
Jean Giraud, Cohomologie non abélienne, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 179, Springer, 1971
[48]
Shreeram Abhyankar, On the valuations centered in a local domain, American Journal of Mathematics, 1956
[50]
Alexander Grothendieck, Fondements de la géométrie algébrique, Secrétariat mathématique, Paris, 1962
[51]
Alexander Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Lecture Notes in Mathematics 224, Springer, 1971
[52]
Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud, Néron Models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 21, Springer, 1990
[53]
John Tate, On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog, Séminaire Bourbaki, exposé 306, 1966
[54]
Kęstutis Česnavičius, Purity for the Brauer group, Duke Mathematical Journal, 2019
[55]
Robin Hartshorne, Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Springer, 1966
[56]
Philippe Gille, Tamás Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165, Cambridge University Press, 2017
[58]
Barbara Fantechi, Lothar Göttsche, Luc Illusie, Steven L. Kleiman, Nitin Nitsure, Angelo Vistoli, Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society, 2005
[59]
Michael Artin, Algebraic approximation of structures over complete local rings, Publications Mathématiques de l'IHÉS 36, 1969
[60]
Peter Donovan, Max Karoubi, Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1970, 5–25
[61]
Michael Artin, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics 269, 270, 305, Springer, 1972
[62]
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002
[63]
Kazuhiro Fujiwara, A proof of the absolute purity conjecture (after Gabber), Algebraic Geometry 2000, Azumino, Advanced Studies in Pure Mathematics 36, Mathematical Society of Japan, 2002
[66]
Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 1986
[67]
Dan Edidin, Brendan Hassett, Andrew Kresch, Angelo Vistoli, Brauer groups and quotient stacks, American Journal of Mathematics, 2001, 761–777
[68]
Michael Artin, Jean-Louis Verdier, Seminar on étale cohomology of number fields, Woods Hole Summer Institute, 1964
[70]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique IV, Publications Mathématiques de l'IHÉS 20, 24, 28, 32, 1964
[71]
Jean-Pierre Serre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5, Springer, 1964
[72]
Pierre Deligne, La conjecture de Weil. I, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1974
[73]
Serge Lang, On quasi algebraic closure, Annals of Mathematics 55, 1952
[74]
Raoul Bott, The stable homotopy of the classical groups, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 1957
[75]
Dorin Popescu, General Néron desingularization and approximation, Nagoya Mathematical Journal 104, 1986
[76]
John Milnor, Introduction to Algebraic K-Theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971
[77]
Michael Artin, Brauer–Severi varieties, Brauer Groups in Ring Theory and Algebraic Geometry (Wilrijk, 1981), Lecture Notes in Mathematics 917, Springer, 1982, 194–210
[78]
Jean-Louis Colliot-Thélène, Manuel Ojanguren, Variétés unirationnelles non rationnelles : au-delà de l'exemple d'Artin et Mumford, Inventiones mathematicae, 1989
[79]
John Tate, Algebraic cycles and poles of zeta functions, Arithmetical Algebraic Geometry (Purdue, 1963), Harper & Row, 1965
[80]
Spencer Bloch, Arthur Ogus, Gersten's conjecture and the homology of schemes, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (4), 1974
[81]
Joseph Lipman, Rational singularities, with applications to algebraic surfaces and unique factorization, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1969
[82]
Alexander Grothendieck, Hodge's general conjecture is false for trivial reasons, Topology, 1969
[83]
Alexei N. Skorobogatov, Yuri G. Zarhin, A finiteness theorem for the Brauer group of abelian varieties and K3 surfaces, Journal of Algebraic Geometry, 2008
[84]
John Tate, Endomorphisms of abelian varieties over finite fields, Inventiones mathematicae, 1966
[85]
Dan Abramovich, Kalle Karu, Kenji Matsuki, Jarosław Włodarczyk, Torification and factorization of birational maps, Journal of the American Mathematical Society, 2002
