2-1 Br′ の捩れ性と単射性
Azumaya 代数から作る $\mathrm{Br}(X)$ は $H^2(X,\mathbb G_m)$ の捩れ部分群 $\mathrm{Br}'(X)$（コホモロジー的 Brauer 群）に単射で入る。本頁では $\mathbb G_m$ を有理関数の層と因子の層に分けて、狭義 Hensel 化が一意分解整域なら $H^q(X,\mathbb G_m)$（$q\ge2$）が捩れで、$X$ が整なら $H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)$ が単射であることを示し、次元 $\le1$ のスキームと、局所環上の isotrivial な類、Hensel 局所環での $\mathrm{Br}=H^2$ を扱う。仮定を外したときの反例も述べる。$H^2$ の類を Azumaya 代数で表す問題は本書『2-2 Brauer 類の実現』へ送る。
この頁で示すこと
$X$ をネーター・スキーム、$\mathrm{Br}'(X)$ を $H^2(X,\mathbb G_m)$ の捩れ部分群とする。$X$ が整のとき $K$ をその関数体、$\eta_i$ を既約成分の生成点とする。
本頁の主結果は次の五つである。
- 捩れ性と単射性（原論文 II (1.3)–(1.5)、(1.8)、(1.10)）：局所環の狭義 Hensel 化がすべて一意分解整域なら $H^q(X,\mathbb G_m)$（$q\ge2$）は捩れで $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$、$X$ が整なら $H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)$ は単射。［条件付き：(G1)–(G5) を引用］
- 被約な場合の境界写像（原論文 II (1.6)、(1.7)、(1.9)）：$X$ が被約なら Cartier 因子の層の境界写像 $H^1(X,\mathcal Div_X)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ は単射で、像は生成点への制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ の核。［条件付き：(G2)、(G3)、(G5) を引用］
- 次元 1 以下のスキーム（原論文 II (1.5)、(1.8)）：$\dim X\le1$ なら $H^q(X,\mathbb G_m)$（$q\ge2$）は捩れで、$X$ が被約で閉点の剰余体がすべて分離閉なら生成点への制限は単射。［条件付き：(G1)、(G10) を引用］
- isotrivial な類（原論文 II (2.4)）：局所環 $R$ の上で、$\xi\in H^2(R,\mathbb G_m)$ が $\mathrm{Br}(R)$ に属することと、有限エタール全射で $\xi$ が消えることは同値。［条件付き：(G6) と接合積の余境界の計算を引用］
- Hensel 局所環の Brauer 群（原論文 II (2.5)）：$R$ が Hensel 局所環なら $\mathrm{Br}(R)=H^2(R,\mathbb G_m)$。［条件付き：(G7) を引用］
頁内で閉じるのは、(C)・(W) の長完全列と Leray・Hochschild–Serre のスペクトル系列を各段に当てる議論である。引用するのは「引用する事実」に挙げた一般論と、接合積の余境界の古典的な計算である。1 の仮定を Zariski 局所環の因子分解性に弱められないこと、3 の剰余体の仮定を外せないことは、「例と反例」で示す。
背景と動機
本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』で $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb G_m)$ を得た。位相空間では Serre の定理により像はちょうど捩れ部分群であった（本書『1-1 位相空間の Brauer 群』）。スキームでも同じことが言えるかが、講演 II の中心的な問いである。
講演 II は二つのことに気づく。第一に、$H^2(X,\mathbb G_m)$ はそもそも捩れとは限らない（Mumford の正規曲面 Mum61。「例と反例」）ので、比べる相手は捩れ部分群であるべきである。第二に、全射性を保証する満足な一般判定法が当時は無く、しかも $H^2(X,\mathbb G_m)$ は Azumaya 代数による解釈とは独立に計算しやすい。そこで講演 II はこの群を「コホモロジー的 Brauer 群」と名づけ、以後の計算（第 2〜7 章）の主な対象にする。講演者自身、複素数体上の正規曲面や非特異 3 次元多様体でも全射性の答えを知らないと述べる（II, p. 76）。
本頁の方法は、$\mathbb G_m$ を「有理関数」と「因子」の二つの層に分けることである。有理関数の側は体の Galois コホモロジーに帰着して捩れになり、因子の側は点ごとの層に分かれて計算できる（コホモロジー的Brauer群）。これで捩れ性と単射性が出る。もう一つの方法、すなわち Azumaya 代数を生成点から余次元の低い点を一つずつ越えて延ばす議論は、本書『2-2 Brauer 類の実現』で扱う。本頁の後半では、その準備として局所環上の類を調べ、Hensel 局所環で $\mathrm{Br}=H^2$ を示す。
定義と準備
$\mathrm{Br}(X)\subset H^2(X,\mathbb G_m)$ の右辺の捩れ性と単射性を調べるには、$\mathbb G_m$ を生成点の体の単元群と、その商である因子の層に分ける完全列が要る。まず被約なスキームで Cartier 因子の層を定める。
$X$ を被約なネーター・スキームとし、$g_i\colon\eta_i=\operatorname{Spec}\kappa(\eta_i)\to X$ を生成点（有限個）とする。可逆な有理関数の層を $\mathcal R_X^\times=\bigoplus_ig_{i*}\mathbb G_{m,\eta_i}$ と定める（アフィンでエタールな $U$ の上では $U$ の全商環の単元群）。$X$ は被約なので $\mathbb G_m\to\mathcal R_X^\times$ は単射で、その余核を Cartier 因子の層 $\mathcal Div_X$ と呼ぶ：
$$0\to\mathbb G_m\to\mathcal R_X^\times\to\mathcal Div_X\to0.\tag{C}$$
この列の真ん中の項は生成点の体の $\mathbb G_m$ を押し出したもので、そのコホモロジーは体の Galois コホモロジーに帰着する。右の項 $\mathcal Div_X$ は、$X$ が正規ならさらに余次元 $1$ の点ごとの層に分解できる。
$X$ が正規なら、各 $x\in X^{(1)}$ で $\mathcal O_{X,x}$ は離散付値環で、付値により Weil 因子の層 $\mathcal Z^1_X=\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb Z$（$i_x\colon\operatorname{Spec}\kappa(x)\to X$）への射 $\mathcal Div_X\to\mathcal Z^1_X$ が得られる。この射は単射で、幾何的点 $\bar y$ での余核は狭義 Hensel 化の因子類群 $\mathrm{Cl}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y})$。よって同型であることは、狭義 Hensel 化がすべて一意分解整域であることと同値。余核を局所 Picard 群の層と呼ぶ（局所Picard群）。
$\mathcal Div_X\to\mathcal Z^1_X$ が同型になる条件、すなわち狭義 Hensel 化がすべて一意分解整域であることが、主結果の仮定である。正則スキームはこれをみたす（次の一覧の (G4)）。以下の証明で使う一般論をまとめておく。
引用する事実
- (G1) 体 $F$ の Galois コホモロジー $H^q(F,M)$ は $q\ge1$ で捩れ群（射有限群の連続コホモロジーは正の次数で捩れ）。
- (G2) 点 $i\colon\operatorname{Spec}F\to X$（$X$ は準コンパクト準分離）とエタール層 $M$ について、$R^qi_*M$ の幾何的点 $\bar y$ での茎は、$\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\times_X\operatorname{Spec}F$（体の有限個の積の帰納極限）の $M$ 係数コホモロジーで、$q\ge1$ で捩れ。$H^p(X,-)$ は捩れ層に捩れ群を与え、ネーター・スキーム上では直和と交換する。閉点 $x$ について $i_{x*}$ は完全。
- (G3) Hilbert の定理 90：$H^1(F,\mathbb G_m)=0$。$H^1(X,\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(X)$。半局所環と、Krull 次元 $0$ の環の Picard 群は $0$。
- (G4) 正則局所環は一意分解整域で（Auslander–Buchsbaum AB59）、その狭義 Hensel 化も正則。
- (G5) Leray のスペクトル系列 $H^p(X,R^qf_*F)\Rightarrow H^{p+q}(Y,F)$ と、その低次の完全列
$$0\to H^1(X,f_*F)\to H^1(Y,F)\to H^0(X,R^1f_*F)\to H^2(X,f_*F)\to H^2(Y,F).$$ - (G6) Hochschild–Serre のスペクトル系列：$X'\to X$ が有限群 $G$ の Galois 被覆なら $H^p(G,H^q(X',F))\Rightarrow H^{p+q}(X,F)$。
- (G7) 狭義 Hensel 局所環のエタールコホモロジーは正の次数で $0$。アフィンな遷移射をもつ準コンパクト準分離なスキームの射影系の極限で、コホモロジーは帰納極限と交換する。
- (G8) ネーターなアフィン $X$ と点 $x$ について、$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ 上の有限表示の加群・代数とその射・同型は、$x$ のあるアフィン近傍へ延び、二つの延長は近傍を縮めれば一致する。$x$ の近傍の有限個のアフィン開集合からなる系の極限（たとえば $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ の開部分）についても同じ。
- (G9) Zariski 開集合 $U,V$ について Mayer–Vietoris の完全列 $H^1(U\cap V,\mathbb G_m)\xrightarrow{\partial}H^2(U\cup V,\mathbb G_m)\to H^2(U,\mathbb G_m)\oplus H^2(V,\mathbb G_m)$ があり、開集合への制限について自然。
- (G10) 冪零イデアルで定まる閉埋め込みはエタール景の同値を与える。準連接層に付随するエタール層のコホモロジーは Zariski コホモロジーに等しく、ネーター空間の次元を超える次数で $0$、アフィンなら正の次数で $0$。環 $R$ と冪零イデアル $N$ について、$R/N$ 上の Azumaya 代数は $R$ 上に持ち上がる（分離代数の Hochschild コホモロジーの消滅）。
- (G11) ネーター局所環 $\mathcal O$ の Hensel 化 $\mathcal O^{\mathrm h}$ はネーターで、$\mathcal O\to\mathcal O^{\mathrm h}$ は忠実平坦な局所準同型、$\mathcal O/\mathfrak m^k\cong\mathcal O^{\mathrm h}/\mathfrak m^k$ で、被約性・正規性・正則性・次元を保つ。$(\mathcal O^{\mathrm h})^{\mathrm{sh}}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}$。
- (G12) 正規ネーター局所環上の連接層は反射包をとれる。2 次元の正則局所環上の反射的な有限生成加群は自由。$\dim R\ge2$ の正規ネーター局所環 $R$ について、穴あきスペクトル上の反射的な層の切断は $R$ 上の加群そのものに等しい（Hartogs 型の性質）。忠実平坦な局所準同型 $A\to B$（ネーター正規整域）で $\mathrm{Cl}(A)\to\mathrm{Cl}(B)$ は単射。
主結果と証明
以下、(C) とその正規な場合の形 (W) の長完全列に、上の事実を段ごとに当てる。まず正規（因子分解的）な場合に捩れ性と単射性を示し、次に被約な場合、被約でない場合へと仮定を緩める。
捩れ性と単射性
$X$ をネーター・スキームとし、局所環の狭義 Hensel 化がすべて一意分解整域とする（例：$X$ が正則）。
- $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)$ は捩れ群。とくに $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$。
- $X$ が整なら、関数体 $K$ への制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)$ は単射で、よって $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}(K)$。
$X$ は正規で、連結成分ごとに考えて整としてよい。$g\colon\eta=\operatorname{Spec}K\to X$ を生成点とする。仮定により (C) は
$$0\to\mathbb G_m\to g_*\mathbb G_{m,K}\to\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb Z\to0\tag{W}$$
となる。
段 1（真ん中の項）．(G5) の Leray の系列で $H^p(X,R^qg_*\mathbb G_m)\Rightarrow H^{p+q}(K,\mathbb G_m)$。$q\ge1$ の $R^qg_*\mathbb G_m$ は (G2) により捩れ層なので、$q\ge1$ の $E_2$ 項は捩れ。$E_\infty^{n,0}$ は $H^n(K,\mathbb G_m)$ の部分群で、$n\ge1$ では (G1) により捩れ。$E_2^{n,0}=H^n(X,g_*\mathbb G_m)$ から $E_\infty^{n,0}$ へは捩れ群 $E_r^{n-r,r-1}$ からの微分の像で割るだけなので、$E_2^{n,0}$ は捩れ群の捩れ群による拡大で、捩れ。
段 2（右の項）．各 $x\in X^{(1)}$ について、同じ議論（$i_x$ への Leray の系列と、$H^n(\kappa(x),\mathbb Z)$ が $n\ge1$ で捩れであること）で $H^n(X,i_{x*}\mathbb Z)$ は $n\ge1$ で捩れ。(G2) により直和と交換するので $H^n(X,\mathcal Z^1_X)$ も捩れ。さらに $n=1$ では $0$：(G5) より $H^1(X,i_{x*}\mathbb Z)\hookrightarrow H^1(\kappa(x),\mathbb Z)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\mathrm{Gal},\mathbb Z)=0$（射有限群から捩れの無い離散群への連続準同型は像が有限なので $0$）。
段 3（主張 1）．(W) の長完全列
$$H^{q-1}(X,\mathcal Z^1_X)\to H^q(X,\mathbb G_m)\to H^q(X,g_*\mathbb G_m)$$
で、$q\ge2$ なら両端が段 1・段 2 により捩れなので、真ん中も捩れ。
段 4（主張 2）．(W) と段 2 の $H^1(X,\mathcal Z^1_X)=0$ から、$H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X,g_*\mathbb G_m)$ は単射。次に (G5) の低次の完全列で、$H^2(X,g_*\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)$ の核は $H^0(X,R^1g_*\mathbb G_m)$ の像。$R^1g_*\mathbb G_m$ の幾何的点 $\bar y$ での茎は (G2) により $H^1(\operatorname{Spec}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes_{\mathcal O_X}K),\mathbb G_m)$ で、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes K$ は正規整域 $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}$ の商体だから、Hilbert の定理 90（G3）によりこれは $0$。よって $R^1g_*\mathbb G_m=0$ で、合成 $H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(K)$ は単射。本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の定理（余境界の単射性）と合わせて $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}(K)$。
これで、狭義 Hensel 化が一意分解整域なら $\mathrm{Br}(X)\subset\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$ であり、整なら関数体で類を見分けられることが分かった。証明で使った二つの事実の原論文での番号について注意しておく。
原論文 II は、ここで使った「$H^1(X,i_{x*}\mathbb Z)=0$」（II (1.9)）と「Brauer 群の生成点への単射性」（II (1.10)）を後の段落で互いに取り違えて引く（II (1.11) a) と式 (6)）。本頁の証明は内容で並べた。
定理は正規性（実際には因子分解性）を仮定した。被約なだけのスキームでも、(C) の左と真ん中の項についての議論はそのまま通り、境界写像の像が「すべての生成点で消える類」と一致する。この記述は本書『2-2 Brauer 類の実現』の次元 $1$ の局所環の議論で使う。
$X$ を被約なネーター・スキームとする。$H^n(X,\mathcal R_X^\times)$ は $n\ge1$ で捩れであり、$H^1(X,\mathcal R_X^\times)=0$、$H^2(X,\mathcal R_X^\times)\hookrightarrow\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$。よって (C) の境界写像 $\partial\colon H^1(X,\mathcal Div_X)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ は単射で、その像は制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ の核。
上の定理の証明の段 1 は各生成点 $g_i$ にそのまま通る。段 4 の後半も、$R^1g_{i*}\mathbb G_m$ の茎が Krull 次元 $0$ の環 $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes\kappa(\eta_i)$ の Picard 群で $0$（G3）となることから通る。残りは (C) の長完全列から従う。
被約でないスキームへ移るには、冪零元がコホモロジーをどれだけ変えるかを知る必要がある。次元を超える次数では変えない、というのが次の補題である。
$X$ をネーター、$X_0=X_{\mathrm{red}}$、$d=\dim X$ とする。制限 $H^q(X,\mathbb G_m)\to H^q(X_0,\mathbb G_m)$ は $q\ge d+1$ で、$X$ がアフィンなら $q\ge1$ で同型。
(G10) により $X$ と $X_0$ のエタール景は同じ。冪零根基を $N$ とすると、単元は冪零元を法として持ち上がるので $1\to1+N\to\mathbb G_{m,X}\to\mathbb G_{m,X_0}\to1$ は完全。$1+N$ は $1+N^i$ による有限のフィルトレーションをもち、$(1+N^i)/(1+N^{i+1})\cong N^i/N^{i+1}$（$1+a\mapsto a$）は準連接層に付随する層。(G10) により $q>d$（アフィンなら $q\ge1$）で $H^q(X,1+N)=0$ となり、長完全列から主張が従う。
以上を合わせると、次元 $\le1$ のスキームでは因子分解性の仮定なしに捩れ性が出る。単射性には、閉点の剰余体についての仮定が要る。
$X$ を次元 $\le1$ のネーター・スキームとする。
- $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)$ は捩れ。
- $X$ が被約で、閉点の剰余体がすべて分離閉なら、生成点への制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ は単射。
段 1（被約な場合の捩れ性）．$X$ が被約なら、$\mathcal Div_X$ の生成点での茎は $0$ で、準コンパクトなエタールな $U$ の上の切断の台は有限個の閉点からなるので、
$$\mathcal Div_X=\bigoplus_{x}i_{x*}\bigl(\mathcal Div_{X,x}\bigr)$$
（$x$ は $\dim\mathcal O_{X,x}=1$ の閉点。$\mathcal Div_{X,x}$ は $\operatorname{Spec}\kappa(x)$ 上のエタール層で、幾何的点での値は狭義 Hensel 化の Cartier 因子の群）となる。閉点では $i_{x*}$ は完全なので、$H^q(X,\mathcal Div_X)=\bigoplus_xH^q(\kappa(x),\mathcal Div_{X,x})$ は $q\ge1$ で捩れ（G1）で、命題（被約な場合の境界写像）と合わせて $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)$ は捩れ。
段 2（一般の場合）．補題（冪零元による不変性、$d\le1$）により $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)\cong H^q(X_{\mathrm{red}},\mathbb G_m)$ なので、同じ結論を得る。
段 3（単射性）．$H^1(X,\mathcal Div_X)=\bigoplus_xH^1(\kappa(x),\mathcal Div_{X,x})$ は一般には $0$ でない（$\mathcal Div_{X,x}$ は捩れの無い定数層とは限らない。「例と反例」の例「非正規曲線」）が、閉点の剰余体 $\kappa(x)$ が分離閉なら $0$ で、命題（被約な場合の境界写像）により生成点への制限は単射になる。
剰余体の仮定が外せないことは「例と反例」の例「非正規曲線」と反例「幾何的単分岐な曲線」で示す。ここまでは $H^2(X,\mathbb G_m)$ の側の性質であった。次に、局所環の上で $H^2$ の元がいつ Azumaya 代数から来るかを問う。
局所スキーム
$X=\operatorname{Spec}R$、$R$ を局所環とする（ネーターでなくてよい）。$\xi\in H^2(X,\mathbb G_m)$ が $\mathrm{Br}(X)$ に属することと、有限エタール全射 $X'\to X$ で $\xi|_{X'}=0$ となるものがあること（$\xi$ が isotrivial であること）は同値。
段 1（必要性）．$\xi=\delta(A)$ なら、本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の定理（Azumaya 代数の特徴づけ）の (iii) により、閉点の近傍（$X$ は局所なので $X$ 自身）の有限エタール全射 $X'\to X$ で $A$ は行列代数になり、$\xi|_{X'}=0$。
段 2（十分性）．$\xi|_{X'}=0$ となる有限エタール全射 $X'\to X$ をとる。$X'$ を連結成分の一つに置き換えて Galois 閉包をとり、$X'\to X$ は有限群 $G$ の Galois 被覆としてよい。(G6) の Hochschild–Serre の系列
$$E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(X',\mathbb G_m))\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbb G_m)$$
で、$X'$ は半局所（有限個の閉点をもつアフィンスキーム）なので $H^1(X',\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(X')=0$。よって $E_2^{p,1}=0$ で、低次の完全列
$$0\to H^2(G,\Gamma(X',\mathbb G_m))\xrightarrow{\ \alpha\ }H^2(X,\mathbb G_m)\xrightarrow{\ \beta\ }H^2(X',\mathbb G_m)$$
を得る。$\xi\in\ker\beta$ なので、$\xi=\alpha(c)$ となる 2 コサイクル $c\in Z^2(G,R'^\times)$（$X'=\operatorname{Spec}R'$）がある。接合積（同頁の例「接合積」）
$$A_c=\bigoplus_{\sigma\in G}R'u_\sigma,\qquad u_\sigma\lambda=\sigma(\lambda)u_\sigma,\quad u_\sigma u_\tau=c(\sigma,\tau)u_{\sigma\tau}$$
は $R$ 上階数 $|G|^2$ の Azumaya 代数で、$\delta(A_c)=\varepsilon\,\alpha(c)$ が成り立つ（接合積の古典的な計算、引用。$\varepsilon=\pm1$ は符号の規約だけで決まり、$c$ によらない）。$\mathrm{Br}(X)$ は部分群なので、$\xi=\alpha(c)=\varepsilon\,\delta(A_c)\in\mathrm{Br}(X)$。
局所環の上では、$\mathrm{Br}(X)$ の元は「有限エタール被覆で消える類」として特徴づけられた。Hensel 局所環では、狭義 Hensel 化でのコホモロジーの消滅がその被覆を与える。
$R$ が Hensel 局所環なら $\mathrm{Br}(R)=H^2(R,\mathbb G_m)$。
$R$ の狭義 Hensel 化 $R^{\mathrm{sh}}$ は、剰余体の有限分離拡大に対応する $R$ 上の有限エタール局所代数 $R_i$ の帰納極限である（Hensel 性により、剰余体の有限分離拡大は有限エタール拡大に一意に持ち上がる）。(G7) により $H^2(R^{\mathrm{sh}},\mathbb G_m)=0$ で、$\xi\in H^2(R,\mathbb G_m)$ はある $R_i$ の上で既に消える。$\operatorname{Spec}R_i\to\operatorname{Spec}R$ は有限エタール全射なので $\xi$ は isotrivial で、定理（isotrivial な類）により $\xi\in\mathrm{Br}(R)$。
これで Hensel 局所環では $\mathrm{Br}=H^2$ が分かった。一般のネーター・スキームで $H^2$ の類を Azumaya 代数で表すには、生成点から出発して余次元の低い点を一つずつ越えて代数を延ばす議論が要り、そこでこの定理と命題（被約な場合の境界写像）が使われる。それが本書『2-2 Brauer 類の実現』の主題である。
例と反例
以下の例は、定理（捩れ性と単射性）と命題（次元 1 以下のスキーム）の仮定を外すと単射性が破れることを示す。まず、閉点の剰余体が分離閉でない整な曲線である。
$X=\operatorname{Spec}\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2)$ とする。$x^2+y^2$ は $\mathbb R$ 上既約なので $X$ は整な曲線であり、原点 $o$ だけが特異点で、$\kappa(o)=\mathbb R$。$t=y/x$ は $t^2=-1$ をみたすので、関数体は $K=\mathbb C(x)$。Tsen の定理（本書『3-1 次元 1 以下の体』）により $\mathrm{Br}(\mathbb C(x))=0$。一方、四元数 $\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathcal O_X$ は $X$ 上の Azumaya 代数で、原点への制限は $\mathbb H\ne0\in\mathrm{Br}(\mathbb R)$ だから、その類は $\mathrm{Br}(X)$ で $0$ でなく、$\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(K)$ は単射でない。この例は定理（捩れ性と単射性）の仮定「狭義 Hensel 化が一意分解整域」（$o$ での狭義 Hensel 化は $\mathbb C$ 上の 2 本の直線の交点で、整域ですらない）と、命題（次元 1 以下のスキーム）の仮定「閉点の剰余体が分離閉」（$\kappa(o)=\mathbb R$）をともに破る。なお $\dim X=1$ なので、本書『2-2 Brauer 類の実現』の定理（類の実現）の 3 により $\mathrm{Br}(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$ は成り立つ。原論文 II (1.11) b) はこの例を Auslander–Goldman に帰す。
上の例は正規でなかった。正規性に近い「幾何的単分岐」を仮定しても、剰余体が分離閉でなければ単射性は回復しない、というのが次の反例である。
原論文 II (1.11) c) は、命題（次元 1 以下のスキーム）の仮定を「剰余体の次元が $\le1$」または「$X$ が幾何的単分岐（被約化の整閉包の各局所環が局所環で、その剰余体が元の剰余体の純非分離拡大）」に弱められるだろうと見込むが、後者では生成点への制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ は単射とは限らない。前者は本書では扱わない。
$p$ を素数、$k=\mathbb F_p(a,b)$（2 変数の有理関数体）、$k'=k(\alpha)$（$\alpha^p=a$）、$R=k+t\,k'[t]\subset k'[t]$、$X=\operatorname{Spec}R$ とする。
- 満たす条件：$R=k[t,t\alpha,\dots,t\alpha^{p-1}]$ は有限生成 $k$ 代数で、$k'[t]$ はその上で有限なので $\dim X=1$。$X$ は整で、関数体は $k'(t)$、整閉包は $k'[t]$。$t$ を含む素イデアルは $\mathfrak m_0=t\,k'[t]$（剰余体 $k$）だけで、その上の整閉包の素イデアルは $(t)$ だけ、剰余体 $k'$ は $k$ の純非分離拡大。他の点では $R$ は正則なので、$X$ は幾何的単分岐。
- 破る条件：閉点 $\mathfrak m_0$ の剰余体 $k$ は分離閉でない。
- 構成：$L=k(u)$、$u^p-u=b$ は $k$ の次数 $p$ の巡回拡大である（$c^p-c=b$ となる $c\in k$ は無い）。$\sigma(u)=u+1$ として巡回代数 $D=(L/k,\sigma,a)$ をとる。$a$ 進付値について $L/k$ は不分岐で剰余拡大も次数 $p$ なので、ノルムの付値は $p$ の倍数であり、付値 $1$ の $a$ はノルムでない。よって $D$ は分裂しない。一方 $k'$ 上では $a=\alpha^p$ は $L\otimes k'/k'$ のノルムなので、$D\otimes k'$ は分裂する。
- 破る結論：$D_R=D\otimes_kR$ は Azumaya 代数で、閉点 $\mathfrak m_0$ への制限は $D\ne0$ なので $[D_R]\ne0$。関数体 $k'(t)$ は $k'$ を含むので $[D_R\otimes k'(t)]=0$。よって $\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(k'(t))$ も、$H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(k'(t))$ も単射でない。閉点の剰余体についての仮定（分離閉など）は外せない。
次に、狭義 Hensel 化ではなく Zariski 局所環の因子分解性だけを仮定したとき、$H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)$ の核がどう記述されるかを見る。核は特異点での局所 Picard 群で測られ、それが捩れでない例がある。
$X$ を正規なネーター・スキーム、$Z$ を有限個の閉点の集合とし、$Z$ の外で狭義 Hensel 化が一意分解整域とする。$x\in Z$ について $U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\smallsetminus\{x\}$、$\bar U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x}\smallsetminus\{\text{閉点}\}$、$\pi_x$ を剰余体の絶対 Galois 群とする。局所 Picard 群の層は $Z$ に台をもち、$0\to\mathcal Div_X\to\mathcal Z^1_X\to(\text{局所 Picard 群の層})\to0$ と $H^1(X,\mathcal Z^1_X)=0$ から、
$$\ker\bigl(H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)\bigr)\cong H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\Bigl(\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}\Bigr)\Big/\operatorname{Im}Z^1(X)$$
を得る（$X$ が整の場合。$Z^1(X)$ は $X$ の Weil 因子の群で、各因子をその $x$ での局所的な類に送る）。ここで $\bar U_x$ と $U_x$ は局所的に因子分解的なので $\mathrm{Pic}(\bar U_x)=\mathrm{Cl}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x})$、$\mathrm{Pic}(U_x)=\mathrm{Cl}(\mathcal O_{X,x})$ で、後者は前者の部分群（G12）。よって完全列
$$0\to\operatorname{Coker}\Bigl(Z^1(X)\to\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(U_x)\Bigr)\to H^1(X,\mathcal Div_X)\to\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(U_x)\to0$$
がある。$Z$ が 1 点 $x$ なら、$\mathcal O_{X,x}$ の高さ $1$ の素イデアルはどれも $X$ の余次元 $1$ の点の閉包の局所的な類なので左端は $0$ で、
$$H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(U_x)$$
となる。原論文 II (1.11) b) の式 (7)・(7 bis) はこの右辺を $x\in Z$ についての直和の形で述べ「(6) から容易に導かれる」とするが、$Z$ が 2 点以上では一般に成り立たない（次の反例）。
原論文は同じ段落で、講演者自身の留保「Sauf malentendu de la part du conférencier」（II, p. 75）を付けて、局所環 $\mathcal O_{X,x}$ が一意分解整域なのに $\mathrm{Pic}(\bar U_x)$ が捩れでも有限型でもない（望むなら複素数体上の）正規曲面という Mumford の例を挙げる。$x$ の外で狭義 Hensel 化が一意分解整域なら、1 点の場合の式から $H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\mathrm{Pic}(\bar U_x)$、よって $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れでない。定理（捩れ性と単射性）の仮定を「Zariski 局所環が一意分解整域」に弱めてはいけないことを示す例だが、本頁は Mumford の構成を確かめていないので、原論文の主張の引用にとどめる。
上の例の式は、特異点が 1 点の場合に閉じた形になる。2 点以上では、原論文の式 (7) の形は成り立たない。
$k$ を標数 $\ne2$ の代数閉体、$Y=\mathbb P^1\times\mathbb P^1$、$\iota$ を両成分のアフィン座標で $t\mapsto-t$ と作用する位数 $2$ の自己同型、$X=Y/\iota$ とする。
- 満たす条件：$X$ は正規射影曲面で、$\iota$ の 4 個の固定点の像 $Z=\{z_1,\dots,z_4\}$ の外で正則。各 $z$ で完備局所環は $k[\![s^2,st,t^2]\!]$（$A_1$ 型の特異点）で、その類群は $\mathbb Z/2$（Sam64）、$s=0$ の像が生成元である（引用）。$z$ を通る $\{0\}\times\mathbb P^1$ などの像はその生成元を与えるので、$\mathrm{Cl}(\mathcal O_{X,z})\to\mathrm{Cl}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,z})\cong\mathbb Z/2$ は全射で、$\pi_z$ は自明。
- 破る結論（式 (7) の右辺は $0$）：$\bigoplus_z\mathrm{Pic}(\bar U_z)/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(U_z)=0$。
- 左辺は $0$ でない：上の例（孤立特異点をもつ正規曲面）により $H^1(X,\mathcal Div_X)=(\mathbb Z/2)^4/I$、$I$ は Weil 因子の局所的な類のなすベクトルの像。Weil 因子 $D$ の引き戻しは $Y$ 上の $\iota$ 線形化された可逆層 $\mathcal O(a,b)$ を与え、$D$ の $z$ での局所的な類が $0$ であることは、$z$ の上の固定点で $\iota$ がファイバーに自明に作用することと同値である（引用）。$\mathcal O(a,b)$ の線形化の 4 固定点での作用は、全体の符号 $\varepsilon$ を除いて $\varepsilon,\ \varepsilon(-1)^a,\ \varepsilon(-1)^b,\ \varepsilon(-1)^{a+b}$ なので、$-1$ の個数はいつも偶数。よって $I$ は重みが偶数のベクトルに含まれ、$H^1(X,\mathcal Div_X)\ne0$。よって $H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(k(X))$ は単射でない。
- 上の例の完全列の左端 $\operatorname{Coker}(Z^1(X)\to\bigoplus\mathrm{Pic}(U_z))$ がこの差を与える。Mumford の例は 1 点の場合なので、この誤りの影響を受けない。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（2026 年時点。書誌の頁は未確認）。現代的な全体像は Mil80 第 IV 章と CTS21 を見よ。
- Grothendieck–Serre 予想：II (1.11) a) は、定理（捩れ性と単射性）の $\mathrm{PGL}_r$ トーサーへの帰結（正則なら、生成点で自明な $\mathrm{PGL}_r$ トーサーは局所自明）が、正則局所スキーム上の任意の半単純群について成り立つと予想した。今日 Grothendieck–Serre 予想と呼ばれ、体を含む正則局所環の場合（Fedorov–Panin ら）など多くの場合に解決された。
- $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題のその後（Gabber、de Jong deJ03、Edidin–Hassett–Kresch–Vistoli EHKV01 の反例）と、純性については本書『2-2 Brauer 類の実現』の「その後の発展」で述べる。
原論文との対応表
| 本頁 | 原論文 II（Gro68b） | 印字頁 |
|---|---|---|
| 完全列 (C)、Cartier 因子の層 | II §1 の式 (2) | 71 |
| Weil 因子の層・局所 Picard 群の層 | II 式 (3)、(5) | 71、74 |
| 捩れ性と単射性の 1、冪零元による不変性、次元 1 以下のスキームの 1 | II (1.3)、(1.4)、(1.5)、式 (3 bis) | 71–72 |
| 捩れ性と単射性の証明の段 1・2・4、被約な場合の境界写像 | II (1.1)、(1.2)、(1.6)、(1.7)、(1.9)、式 (1)、(4) | 70–73 |
| 捩れ性と単射性の 2、次元 1 以下のスキームの 2 | II (1.8)、(1.10) | 73 |
| isotrivial な類、Hensel 局所環の Brauer 群 | II (2.4)、(2.5) | 78–79 |
| 非正規曲線、孤立特異点をもつ正規曲面、反例（式 (7)）、「その後の発展」の Grothendieck–Serre | II (1.11) a) b)、式 (5)–(7 bis) | 73–75 |
| 反例（幾何的単分岐な曲線） | II (1.11) c) | 75 |
| 「背景と動機」の $\mathrm{Br}'$ の命名と問い | II §2 冒頭（番号なし）、(2.7) | 76、79–80 |
原論文 II (1.10) の右辺の印字 $\mathrm{Br}(X_i)$ は、生成点の局所環の Brauer 群の意である。
参考文献
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