2-2 Brauer 類の実現

$\mathcal O\to\mathcal O'$ は平坦な局所準同型なので忠実平坦で、$L\otimes\mathcal O'\to V'$ は単射。$V$ の基底が張る格子 $L_0$ と $L'_0=L_0\otimes\mathcal O'$ をとる。どの格子 $L$ もある $N$ で $f^NL_0\subset L\subset f^{-N}L_0$ となる（$\mathcal O'$ についても同様）。この範囲の $\mathcal O$ 格子は $Q_N=f^{-N}L_0/f^NL_0\cong(\mathcal O/f^{2N})^r$ の部分加群と一対一で、$\mathcal O'$ 格子は $Q'_N\cong(\mathcal O'/f^{2N})^r$ の部分加群と一対一。仮定により $Q_N\to Q'_N$ は同型で、$\mathcal O'$ は $Q'_N$ に $\mathcal O'/f^{2N}=\mathcal O/f^{2N}$ を通して作用するので、両者の部分加群は一致する。平坦性により $(L\otimes\mathcal O')/f^NL'_0=(L/f^NL_0)\otimes\mathcal O'$ はこの同型で $L/f^NL_0$ に対応し、$N$ を大きくしても対応は両立する。積 $L_1L_2$ は $L_1\otimes L_2\to V$ の像なので、平坦な $\mathcal O'$ を掛けると $(L_1\otimes\mathcal O')(L_2\otimes\mathcal O')$ になる。$1\in L$ は $\mathcal O\cdot1+L=L$ と同値で、これも $\mathcal O'$ を掛けて保たれる。

$S=\operatorname{Spec}\mathcal O$、$s$ を閉点、$\kappa=\kappa(s)$ とする。
段 1（次元 $0$）．$\mathcal O$ は Artin 局所環で、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の補題（冪零元による不変性、アフィン）により $H^2(S,\mathbb G_m)\cong H^2(\kappa,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(\kappa)$。本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（局所 Artin 環上の持ち上げ）により $\kappa$ 上の中心単純環は $\mathcal O$ 上の自由な代数に持ち上がり、これは Azumaya 代数。$\mathrm{Br}(\mathcal O)\to H^2(S,\mathbb G_m)$ は単射なので、両者は一致する。
段 2（次元 $1$ で $\mathcal O$ が被約）．

• (a) $\mathcal O$ は被約なので随伴素イデアルは極小素イデアルだけで、$\mathfrak m$ はその和に含まれない。よって非零因子 $f\in\mathfrak m$ で $V(f)=\{\mathfrak m\}$ となるものがあり、$K=\mathcal O_f$ は極小素イデアルでの剰余体の有限積。(G11) により $\mathcal O^{\mathrm h}$ はネーター・被約・次元 $1$ で、$\mathcal O/f^k$ は長さ有限なので $\mathcal O/f^k\cong\mathcal O^{\mathrm h}/f^k$。$K^{\mathrm h}=\mathcal O^{\mathrm h}_f$ も体の有限積。
• (b) $\zeta\in H^2(S,\mathbb G_m)$ をとる。$\zeta|_K$ は各成分の体の中心単純環 $A_\eta$（次数 $d_\eta$）で表される。本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（Hensel 局所環の Brauer 群）により $\zeta|_{\mathcal O^{\mathrm h}}=\delta(B^{\mathrm h})$ となる Azumaya 代数 $B^{\mathrm h}$（次数 $e$）がある。
• (c) $D=\prod_\eta d_\eta$ とし、$A'=\prod_\eta A_\eta\otimes M_{eD/d_\eta}$、$B'=B^{\mathrm h}\otimes M_D$ とおくと、どちらも各成分で次数 $eD$ で、$A'$ は自由 $K$ 加群。$K^{\mathrm h}$ の各成分の体 $\kappa'$ の上で $A'\otimes\kappa'$ と $B'\otimes\kappa'$ は同じ類 $\zeta|_{\kappa'}$・同じ次数の中心単純環なので同型であり、$K^{\mathrm h}$ 代数の同型 $\varphi\colon B'\otimes K^{\mathrm h}\cong A'\otimes_KK^{\mathrm h}$ を得る。
• (d) 補題（格子の対応。$V=A'$、$\mathcal O'=\mathcal O^{\mathrm h}$）を $\varphi(B')$ に当てると、$\mathcal O$ 格子 $\Lambda\subset A'$ で $\Lambda\otimes\mathcal O^{\mathrm h}=\varphi(B')$ となるものがあり、$\Lambda$ は $1$ を含む部分代数。$\Lambda\otimes\mathcal O^{\mathrm h}$ は自由なので、忠実平坦性から $\Lambda$ は有限生成で平坦、よって自由。$\Lambda\otimes\Lambda^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(\Lambda)$ も $\mathcal O^{\mathrm h}$ を掛けると同型になるので同型で、$\Lambda$ は Azumaya 代数であり $\Lambda_f=A'$。
• (e) $\theta=\delta(\Lambda)-\zeta$ とおくと、$\theta|_K=0$、$\theta|_{\mathcal O^{\mathrm h}}=0$。本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の命題（被約な場合の境界写像）により、$\theta=\partial(d)$、$d\in H^1(S,\mathcal Div_S)$ と書け、$\partial$ は単射。$\mathcal Div_S$ は閉点に台をもつので $H^1(S,\mathcal Div_S)=H^1(\kappa,\mathcal D)$、$\mathcal D=(\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O}K)^\times/(\mathcal O^{\mathrm{sh}})^\times$。$S^{\mathrm h}=\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm h}$ についても、$(\mathcal O^{\mathrm h})^{\mathrm{sh}}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}$、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O^{\mathrm h}}K^{\mathrm h}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O}K$ なので、同じ Galois 加群 $\mathcal D$ を得る。平坦な射 $u\colon S^{\mathrm h}\to S$ は生成点を生成点に写し、(C) の射を与え、$u^*\colon H^1(S,\mathcal Div_S)\to H^1(S^{\mathrm h},\mathcal Div_{S^{\mathrm h}})$ は同型。$\partial^{\mathrm h}(u^*d)=u^*\theta=0$ で $\partial^{\mathrm h}$ は単射なので $u^*d=0$、$d=0$、$\theta=0$。よって $\zeta=\delta(\Lambda)\in\mathrm{Br}(\mathcal O)$。
  段 3（次元 $1$ で一般）．$\mathcal O_0=\mathcal O_{\mathrm{red}}$ とすると、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の補題（冪零元による不変性、アフィン）により $H^2(S,\mathbb G_m)\cong H^2(\operatorname{Spec}\mathcal O_0,\mathbb G_m)$。段 2 により $\zeta$ の像は $\delta(\Lambda_0)$ と書け、(G10) により $\Lambda_0$ は $\mathcal O$ 上の Azumaya 代数 $\Lambda$ に持ち上がる。$\delta(\Lambda)$ と $\zeta$ は同じ像をもつので等しい。

段 1（生成点）．$\eta_1,\dots,\eta_m$ を既約成分の生成点とし、$\eta_j$ を含み他の既約成分と交わらないアフィン開集合 $V_j$ をとる（$V_j$ は互いに交わらない）。$\mathcal O_{X,\eta_j}$ は次元 $0$ なので、補題（次元 1 以下の局所環）により $\xi|_{\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta_j}}=\delta(A_j^0)$。(G8) により $A_j^0$ は縮めた $V_j$ 上の Azumaya 代数 $A_j$ に延び、(G7)（$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta_j}$ は $V_j$ の射影極限）によりさらに縮めれば $\xi|_{V_j}=\delta(A_j)$。$U=\bigsqcup_jV_j$ の上で $\xi$ は実現される。
段 2（次元 1 の点を越える）．$U$ をすべての生成点を含む開集合、$A$ を $U$ 上の $\xi$ の実現とする。$X\smallsetminus U$ の点 $x$ で $\dim\mathcal O_{X,x}=1$ のものは、真の一般化（生成点で $U$ に属する）が $X\smallsetminus U$ に無いので、$X\smallsetminus U$ の既約成分の生成点で、有限個しかない。その一つ $x$ について、$x$ を含む開集合 $V''$ と $U\cup V''$ 上の実現を作る。

• (a) 補題（次元 1 以下の局所環）により $\xi|_{\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}}=\delta(B^0)$。$f\in\mathfrak m_x$ を $\mathcal O_{X,x}$ のどの極小素イデアルにも属さないようにとると、$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\cap V(f)=\{x\}$。$x$ の連結なアフィン近傍 $V$ を、$f$ が $V$ 上の関数になり、$X\smallsetminus U$ の既約成分と $V(f)$ の既約成分のうち $x$ を含まないものと交わらないようにとる。$x$ を含むそれらの成分の生成点は $x$ の一般化で、それぞれ $X\smallsetminus U$、$V(f)$ に属するので $x$ 自身。よって $V\cap(X\smallsetminus U)=V\cap V(f)$、すなわち $V\cap U=V\cap D(f)$。(G8)(G7) により、$V$ をこの形のまま縮めて $V$ 上の実現 $B$ をとる。
• (b) $\eta'_1,\dots,\eta'_t$ を $x$ の一般化である生成点とする。$U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\smallsetminus\{x\}=\operatorname{Spec}(\mathcal O_{X,x})_f$ は、各 $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta'_i}$（一点のスキーム）の直和。$A$ の次数は $U$ の連結成分 $C$ ごとに一定値 $d_C$、$B$ の次数は一定値 $e$。$\eta'_i$ を含む成分の $d_C$ の積を $D$ とし、そのような成分の上で $A$ を $A\otimes M_{eD/d_C}$ に、$B$ を $B\otimes M_D$ に取り替える（類は変わらない）。すると各 $\eta'_i$ で両者の次数は $eD$。
• (c) 各 $\mathcal O_{X,\eta'_i}$ は Artin 局所環で、その上の Azumaya 代数は剰余体上の代数で決まる（本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（局所 Artin 環上の持ち上げ））。剰余体上では両者は同じ類（$\xi$ の制限）・同じ次数の中心単純環なので同型であり、同型 $\varphi\colon A|_{U_x}\cong B|_{U_x}$ を得る。
• (d) $U_x$ は、$x$ のアフィン近傍 $V'\subset V$ を動かしたときの $D(f)\cap V'$ の射影極限なので、(G8) により $\varphi$ はある $V'$ の上の同型 $A|_{D(f)\cap V'}\cong B|_{D(f)\cap V'}$ に延びる。$D(f)\cap V'=U\cap V'$ なので、$A$ と $B|_{V'}$ をこの同型で貼り合わせて、$U\cup V'$ 上の Azumaya 代数 $C$ を得る。
• (e) $\theta=\delta(C)-\xi|_{U\cup V'}$ は $U$ と $V'$ の上で $0$ なので、(G9) により $\theta=\partial(\lambda)$、$\lambda\in H^1(U\cap V',\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(D(f)\cap V')$。$\lambda|_{U_x}\in\mathrm{Pic}(U_x)=0$（Artin 局所環の積、G3）なので、(G8) により $x$ のアフィン近傍 $V''\subset V'$ で $\lambda|_{D(f)\cap V''}$ は自明になる。(G9) の自然性により $\theta|_{U\cup V''}=\partial(\lambda|_{U\cap V''})=0$。よって $\xi$ は $U\cup V''$ 上で $C$ により実現される。
  $U\cup V''$ の補集合は $X\smallsetminus U$ に含まれ、$x$ を含まない。これを有限回くり返すと補集合のすべての点で $\dim\mathcal O\ge2$ となり、主張 1 を得る。
  段 3（次元 2 の点を越える）．主張 2 の仮定のもとで、段 2 の $U$、$A$ から始める。$X\smallsetminus U$ の点 $y$ で $\dim\mathcal O_{X,y}=2$ のものは、同じ理由で $X\smallsetminus U$ の既約成分の生成点であり、有限個。その一つ $y$ をとる。
• (a) $R=\mathcal O_{X,y}$ は 2 次元の正則局所環で、一意分解整域（G4）。$U_y=\operatorname{Spec}R\smallsetminus\{y\}$ の点は $\dim\mathcal O\le1$ なので $U$ に属する。
• (b) $A|_{U_y}$ の連接な延長の反射包 $M$ をとると（G12）、$M$ は自由な $R$ 加群で $M|_{U_y}=A|_{U_y}$、$\Gamma(U_y,\widetilde M)=M$。$A$ の乗法は $M\otimes M\to\Gamma(U_y,A)=M$ を与え、結合律と単位元は $\Gamma(U_y,A)$ の中で確かめられる。$M\otimes M^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_R(M)$ は同じ階数の自由加群の射で $U_y$ の上で同型なので、行列式は $\Gamma(U_y,\mathcal O)^\times=R^\times$ に属し、同型。よって $M$ は $R$ 上の Azumaya 代数。
• (c) $R$ は正則なので、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（捩れ性と単射性）の 2 により $H^2(R,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(\operatorname{Frac}R)$ は単射で、$\delta(M)$ と $\xi|_{\operatorname{Spec}R}$ は生成点で一致するので等しい。
• (d) (G8)(G7) により $M$ は $y$ の連結なアフィン近傍 $V$ 上の Azumaya 代数 $M_V$ に延び、$\xi|_V=\delta(M_V)$。段 2 (a) と同じく $V$ を縮めて $V\cap(X\smallsetminus U)=V\cap\overline{\{y\}}$ とし、$V\cap\overline{\{y\}}$ の定義イデアルの生成元 $f_1,\dots,f_r$ をとる。$V\cap U=\bigcup_iD(f_i)$、$U_y=\bigcup_i\operatorname{Spec}R_{f_i}$。
• (e) (b) の等式 $M|_{U_y}=A|_{U_y}$ は、(G8) により $y$ のアフィン近傍 $V'\subset V$ の上の同型 $A|_{V'\cap U}\cong M_V|_{V'\cap U}$ に延びる。貼り合わせて $U\cup V'$ 上の Azumaya 代数 $C$ を得る。
• (f) 段 2 (e) と同じく $\theta=\delta(C)-\xi=\partial(\lambda)$、$\lambda\in\mathrm{Pic}(V'\cap U)$。$U_y$ は正則なので $\mathrm{Pic}(U_y)=\mathrm{Cl}(R)=0$ であり、(G8) により $y$ の近傍 $V''$ で $\lambda$ は自明になり、$\xi$ は $U\cup V''$ 上で実現される。
  これを有限回くり返すと補集合のすべての点で $\dim\mathcal O\ge3$ となり、主張 2 を得る。
  段 4（主張 3）．$\dim X\le1$ なら、すべての点で $\dim\mathcal O_{X,y}\le1$ なので、主張 1 の $Y$ は空。$X$ が正則で $\dim X\le2$ なら、主張 2 の $Y$ は空で、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（捩れ性と単射性）により $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れなので $\mathrm{Br}(X)=\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$。
  段 5（主張 4）．$X$ は正則・連結なので整。本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（捩れ性と単射性）の 2 を $X$ と各 $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ に当てて、$\mathrm{Br}(X)\subset\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})\subset\mathrm{Br}(K)$ を得る。逆に $\alpha$ がすべての $x\in X^{(1)}$ で $\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})$ に入るとする。$\alpha$ を表す中心単純環 $A_K$ を、(G8) により稠密な開集合 $U$ の上の Azumaya 代数 $A$ に延ばす。$x\in X^{(1)}\smallsetminus U$ では、仮定により $\mathcal O_{X,x}$ 上の Azumaya 代数 $B^0$ で類が $\alpha$ のものがある。段 2 の (a)(b)(d) を、(c) を「$A\otimes K$ と $B^0\otimes K$ は同じ類・同じ次数の中心単純環なので同型」に替えて行えば、$U\cup V'$ 上の Azumaya 代数で生成点での類が $\alpha$ のものを得る（類を比べる (e) は不要）。これをくり返したあと、段 3 の (a)(b)(d)(e) を同様に行えば（(c)(f) は不要）、$\dim X\le2$ なので $X$ 全体の上の Azumaya 代数 $C$ で $[C\otimes K]=\alpha$ となるものを得る。

Kummer 列（本書『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』）により $H^2(X,\mathbb G_m)$ の $\ell^n$ 捩れ元は $H^2(X,\mu_{\ell^n})$ から来るので、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（isotrivial な類）と合わせる。「$\Leftarrow$」は、$\zeta$ を消す有限エタール全射がその像も消すことによる。「$\Rightarrow$」は、$\zeta$ の像を消す有限エタール全射 $X'\to X$ をとると、$X'$ は半局所なので $\mathrm{Pic}(X')/\ell^n=0$ で、Kummer 列から $\zeta|_{X'}=0$ となることによる。