7-3 Weil・Tate・Hodge 予想との関係

余次元フィルトレーション $N^p$ を、有限体上では Frobenius の固有値の可除性で、複素数体上では Hodge フィルトレーションで捉えようとする原論文 §10 の構想を解説する。有限体上では、余次元 $\ge p$ の部分多様体からの Gysin 像の上で Frobenius の固有値が $q^p$ で割り切れることを Weil 予想（今日では Deligne の定理）から導き、その逆向きを含む予想が次数 $2p$ で Tate 予想になることを見る。複素数体上では、同じ構想の等号の形が一般には偽であることを反例で示し、原論文の 1968 年の追記による修正が一般 Hodge 予想になることを述べる。証明した主張、引用、予想を区別して書き、予想の現況は 2026 年 9 月の時点で述べる。原論文 III の §10.2〜§10.4 と追記脚注に当たる。
前提知識: 余次元フィルトレーション, ℓ進コホモロジー, Tate捻り, Weil予想, Tate予想, Hodge予想, 一般Hodge予想, Hodge構造

この頁で示すこと

本頁は有限体上と複素数体上の二つの場面に分かれる。本頁の主結果は次の 7 つで、1〜4 が有限体上、5〜7 が複素数体上である。
有限体上では、$k=\mathbb F_q$、$\ell$ を $q$ と素な素数、$\bar k$ を代数閉包、$\mathrm{Frob}$ を幾何的 Frobenius とし、$N^p_{\mathrm{ar}}H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ を「$\alpha/q^p$ が代数的整数となる固有値 $\alpha$ の一般固有空間の和」（算術的フィルトレーション）とする。

1. 作用はフィルトレーションを保つ（原論文 III §10.2 前半）：Galois 群 $\Gamma$ の作用は $N^pH^i(X_{\bar k},F_{\bar k})$ を保つ。［完結］
2. 捻りと固有値（原論文 III (10.9)）：捻り $\mathbb Z_\ell(-m)$ を付けると $\mathrm{Frob}$ の固有値は $q^m$ 倍になる。［完結］
3. Gysin像の上の固有値の可除性（原論文 III §10.2 の下線部の後半を、Gysin 像の上で述べた形）：$X$ が射影的で滑らかなら、余次元 $\ge p$ の射影的で滑らかな $Z$ からの Gysin 像の和の上で、$\mathrm{Frob}$ の固有値はすべて $q^p\beta$（$\beta$ は代数的整数で、どの複素埋め込みでも $|\beta|=q^{i/2-p}$）の形である。［条件付き：Weil 予想の Riemann 予想の部分（Deligne の定理）と Gysin 写像の Galois 同変性を引用］
4. 次数2pでの読み替え（原論文 III (10.10) と §10.3）：原論文の予想「$N^pH^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)=N^p_{\mathrm{ar}}H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$」の $i=2p$ の場合は、サイクル類の張る空間が「固有値が 1 の冪根である一般固有空間の和」に等しいという主張、すなわち Tate予想 の形と同値である。［条件付き：Deligne の定理と前の頁の次数 $2p$ の定理を引用］
   複素数体上では、$X$ を滑らかな射影多様体、$H^i=H^i(X(\mathbb C),\mathbb Q)$、$F^p$ を Hodge フィルトレーション、$N^pH^i$ を Zariski 閉集合の外で消える類の部分空間とする。
5. 共役との共通部分（原論文 III (10.14) の右辺の不等号の向きを正した形）：$F^p\cap\overline{F^p}=\bigoplus_{r\ge p,\ s\ge p}H^{r,s}$ である。［完結］原論文の印字の形（$r\le p$、$s\le p$）は $p=0$、$X=\mathbb P^1$、$i=2$ で破れる。
6. 余次元フィルトレーションとHodgeフィルトレーション（原論文 III (10.12)〜(10.15)）：$N^pH^i$ は有理 Hodge 部分構造で、$N^pH^i\subset F^p\cap\overline{F^p}\cap H^i$ である。［条件付き：Deligne の混合 Hodge 理論を引用］
7. 修正された等号（原論文 III §10.4 の下線部と 1968 年 10 月の追記）：$N^pH^i$ は、複素化が $F^pH^i$ に含まれる有理 Hodge 部分構造のうち最大のものに等しい。これが 一般Hodge予想 で、$i=2p$ の場合が Hodge予想 である。［未完結：予想として掲げ、判定しない］原論文が最初に掲げた「6 の包含は常に等号」という形は反例「楕円曲線の3重積」（$i=3$、$p=1$）で破れる。
   原論文の予想 (P1)・(P2) と一般 Hodge 予想は本頁では判定せず、証明した主張・引用・予想を区別して述べる。予想の現況は 2026 年 9 月の時点で「その後の発展」に記す。

背景と動機

前の頁の余次元フィルトレーション $N^p$ は、閉集合の外で消えるかどうかという「位相的」な定義をもつ。原論文 §10 は、これを別の構造から読み取れるかを問う。
有限体上では、コホモロジーに Frobenius が作用する。余次元 $p$ の部分多様体に支えられた類は、捻り $(-p)$ を経由するので、固有値に $q^p$ の因子が付くはずである。原論文はこの「算術的」なフィルトレーションが位相的な $N^p$ と一致すると予想し、Tate の予想 Tat65 に触発されたと書く。複素数体上では、Frobenius の役割を Hodge 分解が果たし、原論文は両者の類似を明言したうえで、Hodge 側の等号の予想を掲げた。
原論文の執筆時（1966 年）には、Weil 予想の Riemann 予想の部分はまだ証明されておらず、原論文は有限体上の曲面の $H^2$ についてさえ Weil 予想も Tate 予想も知られていないと述べ、後者が Artin–Tate により Brauer 群の有限性と同値であることを Tate の講演 Tat66 から引く。この頁は、その後に確立された事実を区別しながら、原論文の構想を追う。

定義と準備

Galois 作用と Frobenius

$k=\mathbb F_q$ とし、$X$ を $k$ 上のスキーム、$X_{\bar k}=X\otimes_k\bar k$ とする。$\Gamma=\operatorname{Gal}(\bar k/k)$ は $\bar k$ への作用を通じて $X_{\bar k}$ に（$k$ 線形でない）$X$ 上の自己同型として作用し、構造の輸送によって $H^i(X_{\bar k},F_{\bar k})$ に作用する。$\varphi\in\Gamma$ を $x\mapsto x^q$ とし、幾何的 Frobenius を $\mathrm{Frob}=\varphi^{-1}$ の作用と定める。$\Gamma$ は $\varphi$ を位相的生成元とする副有限群 $\hat{\mathbb Z}$ なので、$\Gamma$ の作用は $\mathrm{Frob}$ の作用で決まる。
原論文はこの作用を $\mathrm{frob}_N$（$N$ は有限体の位数）と書き、向きを明記しないが、固有値が代数的整数になる向き、すなわち幾何的 Frobenius と読むほかない。$X$ の Frobenius 自己準同型が誘導する作用と $\mathrm{Frob}$ が一致することは、以下では Weil 予想の引用の中に含めて使う。
Frobenius の作用が定まったので、その固有値が $q$ の冪でどこまで割れるかで $H^i$ を層別する。これが余次元フィルトレーションと比べる相手である。

算術的フィルトレーション

$\mathrm{Frob}$ の $H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ 上の固有値がすべて代数的数であるとき、
$$ N^p_{\mathrm{ar}}H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)=\bigoplus_{\alpha/q^p\text{ は代数的整数}}\bigl(\alpha\text{ に対する一般固有空間}\bigr) $$
と置く。条件「$\alpha/q^p$ が代数的整数」は $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ の作用で保たれるので、右辺は $\mathbb Q_\ell$ 上定義された部分空間である。原論文はこれを $\mathrm{Filt}'^p$ と書く。
複素数体上で同じ役割を果たすのが Hodge フィルトレーションで、こちらは引用で済ませる。

Hodge フィルトレーション

複素数体上の滑らかな射影多様体 $X$ について、Hodge 分解 $H^i\otimes\mathbb C=\bigoplus_{r+s=i}H^{r,s}$、$\overline{H^{r,s}}=H^{s,r}$ と、$F^pH^i=\bigoplus_{r\ge p}H^{r,s}$ を引用する（Hodge構造）。原論文は代数的 de Rham コホモロジーの素朴な切り捨てから $F^p$ を定め、比較定理で有理係数の形に言い換えている。本頁は初めから特異コホモロジーの上で述べる。
以上で、比べる二組（有限体上の $N^p$ と $N^p_{\mathrm{ar}}$、複素数体上の $N^p$ と $F^p$）が揃った。

主結果と証明

Galois 作用と捻り

余次元フィルトレーションは $X_{\bar k}$ の幾何だけで定めたので、$\Gamma$ の作用がそれを保つことをまず確かめておく。そうして初めて $\mathrm{Gr}^p$ の上で固有値を論じられる。

固有値を比べる際には、Tate 捻りが固有値を $q$ の冪だけずらす。その向きを確定しておく。

算術的 Frobenius $\varphi$ で考えると、固有値は $q^{-m}$ 倍になる。原論文は「$q^m$ 倍」とだけ書くので、この向きの規約が必要である。

Gysin 像の上の固有値

Gysin 写像で送られた類の固有値は、源の多様体の固有値を捻りでずらしたものである。Weil 予想を認めれば、それが $q^p$ で割れることが分かる。
次を引用する。

• (W) Weil 予想の Riemann 予想の部分（Deligne Del74）：$k$ 上射影的で滑らかな $Z$ について、$\mathrm{Frob}$ の $H^j(Z_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ 上の特性多項式は整数係数で $\ell$ によらず、その根は代数的整数で、どの複素埋め込みでも絶対値が $q^{j/2}$ である。原論文の時点ではこれは予想であった。
• (G) 射影的で滑らかな $Z$ と射 $g\colon Z\to X$（$\dim Z=\dim X-c$）について、Gysin 写像 $H^{j}(Z_{\bar k},\mathbb Q_\ell(-c))\to H^{j+2c}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ は $\Gamma$ と両立する。

原論文との違い

原論文は、前の頁で述べた Gysin 像による記述「$N^p$ は Gysin 像の和に等しい」（有限体上の版。そこでは $Z$ を有限体上で定義されたものにとれることも主張される）を経由して、この主張を $N^p$ そのものの上で述べる。その記述は本書では証明していないので、本頁は主張を Gysin 像の和 $V$ の上で述べた。また原論文は固有・滑らかな $Z$ で述べるが、本頁は (W) をそのまま使える射影的な場合に限った。

もう一つの主張について

原論文は同じ箇所で、$N^p$ 上の固有値は $\mathbb Q$ 上の共役で閉じ、特性多項式は整数係数であるとも述べる。これは上の論証からは出ない。整数係数の特性多項式をもつ空間の $\mathrm{Frob}$ 安定な部分空間の特性多項式は、一般には有理係数にならないからである。たとえば $\mathbb Q_\ell^2$ 上の $\operatorname{diag}(\alpha,\alpha')$ で、$\alpha,\alpha'$ が $\mathbb Q$ 上共役な 2 次の無理数でともに $\mathbb Q_\ell$ に属する（$\ell$ がその 2 次体で分解する）とき、全体の特性多項式は $\mathbb Z[T]$ に属するが、$\alpha$ の固有直線上の特性多項式 $T-\alpha$ は属さない。本頁はこの主張を立てない。

原論文の予想と Tate 予想

原論文は、上の主張がすべての固有で滑らかなスキームについて（特異点解消を仮定せずに）成り立つと予想し、それを
$$ N^pH^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)\subset N^p_{\mathrm{ar}}H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)\tag{P1} $$
と言い換え（III (10.10)）、さらに Tate に触発されて
$$ N^pH^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)=N^p_{\mathrm{ar}}H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)\tag{P2} $$
を予想する（III §10.3 の冒頭、下線つき）。本頁はこの二つを判定しない。
予想を判定はしないが、$i=2p$ の場合には、前の頁のサイクル類による記述を使って (P2) をより具体的な形に言い換えられる。

Tate 予想

通常、Tate予想 は次の形で述べられる：$k$ 上射影的で滑らかな $X$ について、$X$ 上で定義された余次元 $p$ のサイクルのサイクル類は $H^{2p}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell(p))^{\Gamma}$ を張る。有限次拡大 $\mathbb F_{q^r}$ ごとに適用すると、$X_{\bar k}$ のサイクル類が張る部分空間は $\bigcup_rH^{2p}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell(p))^{\mathrm{Frob}^r}$ に等しい、という形になる。易しい包含（$\mathbb F_{q^r}$ 上で定義されたサイクルの類は $\mathrm{Frob}^r$ で固定される）は、サイクル類の構成が構造の輸送と両立することから従う。
原論文は「固有値が 1 の冪根である部分」と「十分大きな $r$ で $\mathrm{Frob}^r$ に固定される部分」を同じものとして書いている。前者を一般固有空間の和と読むと、両者が一致するのは $\mathrm{Frob}$ がその部分で半単純に作用するときに限る（固定ベクトルの合併は一般固有空間に含まれ、等号は半単純性と同値）。この半単純性は、Tate 予想と並べて予想として扱われることが多い。

Brauer 群との関係

原論文は、有限体上の曲面について、因子の場合（$p=1$）の Tate 予想が Brauer 群の有限性と同値であるという Artin–Tate の観察を、Tate の講演 Tat66 から引く。第6章の完全列 $0\to\mathrm{NS}\otimes\mathbb Z_\ell\to H^2(\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell\mathrm{Br}'\to0$ は、この同値の幾何的な側の骨組みである。
原論文はさらに、$\mathbb F_q$ を有限型の体や $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 上有限型の正則な底に替え、閉点ごとの Frobenius を使って算術的フィルトレーションを定義し直し、そこでも (P2) を予想する。本頁はこの一般化を記録するにとどめる。

Hodge 側

以下、$X$ は複素数体上の滑らかな射影多様体、$H^i=H^i(X(\mathbb C),\mathbb Q)$、$N^pH^i$ は前の頁と同じ式（Zariski 閉集合の外で消える類）で定める。
Hodge 側で比較の相手になるのは $F^p$ そのものではなく、$F^p$ とその共役の共通部分である。これを Hodge 型で書いておく。

原論文 (10.14) の印字は、右辺の添字の条件を「$r\le p$、$s\le p$」としている。これは不等号の向きの誤りである。実際 $p=0$ とすると、印字の条件 $r\le0$、$s\le0$ を満たす型は $(0,0)$ だけなので、$i>0$ では印字の右辺は $0$ になるが、$F^0\cap\overline{F^0}=H^i\otimes\mathbb C$ である（たとえば $X=\mathbb P^1$、$i=2$ では $H^2\otimes\mathbb C=H^{1,1}\ne0$）。
有限体側の可除性に対応するのが、複素数体側の次の包含である。

これは原論文の時点では証明されておらず、原論文も「少なくとも標数 0 で」と述べるだけで証明を書いていない。今日では Deligne の混合 Hodge 理論 Del71 の帰結として知られている（引用）：余次元 $\ge p$ の閉集合 $Y$ について、制限の核 $\operatorname{Ker}(H^i\to H^i(X\smallsetminus Y))$ は有理 Hodge 部分構造であり、その Hodge 型 $(r,s)$ はすべて $r,s\ge p$ を満たす。包含の後半は、有理 Hodge 部分構造 $W$ について $W_{\mathbb C}\subset F^p$ と $W_{\mathbb C}\subset F^p\cap\overline{F^p}$ が同値であること（$W_{\mathbb C}$ は共役で閉じる）による。

原論文の等号の予想

原論文は、有限体上の (P2) の類似として、上の包含がすべての $i,p$ で等号であると下線を引いて予想した。この形は偽である。

計算の筋だけを述べる（全体は 一般Hodge予想 の記事にある）。$H^3=\bigwedge^3H^1$ は 20 次元で、$H^{3,0}$ は $\omega=dz_1\wedge dz_2\wedge dz_3$ で張られる。$F^1$ は $H^{3,0}$ の杯積に関する直交補なので、有理類 $v$ が右辺に入るのは $\int_Xv\wedge\omega=0$ のときであり、これは $\omega$ の周期写像 $H_3(X,\mathbb Q)\to\mathbb C$ の核に対応する。周期の値の張る空間は $\mathbb Q+\mathbb Q\tau+\mathbb Q\tau^2+\mathbb Q\tau^3$ で、$\tau^3=2$ と $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]=3$ からこれは 3 次元なので、右辺は $20-3=17$ 次元である。一方、左辺は上の定理により有理 Hodge 部分構造で、重み 3 は奇数なので型 $(r,s)$ と $(s,r)$ が対になり、次元は偶数である。左辺の性質に 1971 年の結果を使っているので、この反例は原論文の時点の道具だけでは完成しない。

1968 年の追記と一般 Hodge 予想

原論文には 1968 年 10 月付けの追記脚注があり、著者はそこで、この形の予想は本質的に自明な理由で偽であると認め、右辺を「右辺の $\mathbb Q$ 部分空間のうち、Hodge 分解について安定な複素部分空間を生成するもので最大のもの」に取り替えるよう修正した。同じ脚注は、$X$ が $m$ 次元のとき $i\le m$ を仮定し忘れたことと、$i\ge m$ の場合の読み替えにも触れているが、本頁はその部分を検証していない。上の反例は $i=m=3$ なので、この補足によっては救われない。Grothendieck は翌年、この事情を短い論文 "Hodge's general conjecture is false for trivial reasons" Gro69 にまとめている。本書は、上の反例がその論文の論法と同じかどうかには立ち入らない。
修正後の形は次のとおりである。

これが 一般Hodge予想 である。$i=2p$ では $F^p\cap\overline{F^p}\cap H^{2p}=H^{p,p}\cap H^{2p}$ であり、この部分空間は（偶数重みで型 $(p,p)$ だけからなるので）それ自身が有理 Hodge 部分構造になる。したがって $i=2p$ では原形と修正形は一致し、前の頁の次数 $2p$ の議論の特異コホモロジー版（$N^pH^{2p}$ がサイクル類で張られること。引用）と合わせて、「$H^{p,p}\cap H^{2p}(X,\mathbb Q)$ の元は余次元 $p$ の代数的サイクルの類の有理結合である」という Hodge予想 になる。上の反例は奇数重みの偶奇を使うので、$i=2p$ の場合には効かない。

例と反例

以下の例は、有限体側と複素数体側のそれぞれで、フィルトレーションの一致を直接確かめられる場合と、本文中で示した反例をまとめる。

射影空間では、前の頁の計算とそのまま比べられる。

複素数体側で $i=2p$ の等号が証明されている代表的な場合が $p=1$ である。

残る二つは本文中で示した反例である。

その後の発展

以下は 2026 年 9 月の時点での記述である。

• Weil 予想：有理性は Dwork が示し、Grothendieck の $\ell$ 進コホモロジーが有理性と関数等式を与えた。Riemann 予想の部分は Deligne が 1974 年に射影的で滑らかな多様体について証明し Del74、1980 年の Weil II Del80 でより一般の形に拡張した。本頁の Gysin 像の上の固有値の定理は、これにより条件付きではなくなった（射影的な場合）。
• Tate 予想：有限体上の Abel 多様体の因子の場合は Tate が証明した Tat66a。有限体上の K3 曲面の因子の場合は、Nygaard、Nygaard–Ogus、Maulik、Charles、Madapusi Pera らの一連の仕事で、すべての標数で証明されている。有限体上の曲面について、因子の Tate 予想と Brauer 群の有限性の同値は Tate と Milne Mil75 によって確立された。一般の場合は未解決である。
• Hodge 予想：未解決であり、Clay 数学研究所が 2000 年に発表したミレニアム懸賞問題の一つである。整数係数の形は成り立たないことが Atiyah–Hirzebruch によって示されている。$p=1$ の場合は上の Lefschetz の定理である。
• 一般 Hodge 予想：修正後の形は未解決である。原論文の等号の形が偽であることは、Grothendieck 自身が Gro69 で公にした。
• 余次元フィルトレーションと算術的フィルトレーションの包含 (P1)：本書ではその現況に立ち入らない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Le groupe de Brauer III Gro68 である。