1-4 Severi–Brauer スキーム
射影空間 $\mathbb P^{r-1}$ の自己同型群は $\mathrm{PGL}_r$ なので、エタール局所に $\mathbb P^{r-1}_X$ に同型な $X$ スキーム（Severi–Brauer スキーム）は $\mathrm{PGL}_r$ トーサー、したがって階数 $r^2$ の Azumaya 代数と一対一に対応する。これによって Severi–Brauer スキーム $P$ に Brauer 類 $\delta(P)$ が付き、$\delta(P)=0$ であることと $P$ が局所自由加群の射影化であることが同値になる。さらに、$P$ が切断をもてば $P$ は射影化であり、$P$ がファイバー次数 $1$ の可逆層をもつことも同値な条件である。最後に、幾何的ファイバーが射影空間である固有平坦な射はエタール局所に自明であるという定理（原論文では証明が省かれている）を、同型のスキームと Hensel の補題を使って証明する。
この頁で示すこと
$X$ をスキーム、$r\ge1$ とする。エタール局所に $\mathbb P^{r-1}_X$ に同型な $X$ スキームを相対次元 $r-1$ の Severi–Brauer スキームと呼ぶ。本頁の主結果は次の四つである。
- Severi–Brauer スキームの分類（原論文 I (8.1)）：相対次元 $r-1$ の Severi–Brauer スキームの同型類は $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と一対一に対応し、したがって階数 $r^2$ の Azumaya 代数の同型類の集合 $\operatorname{Az}_r(X)$ とも一対一に対応する。［条件付き：射影的な対象の忠実平坦降下を引用］
- 類と射影化（原論文 I (8.4)、II §0）：Severi–Brauer スキーム $P$ に類 $\delta(P)\in\mathrm{Br}(X)$ が定まり、$\delta(P)=0$ であること、$P$ が階数 $r$ の局所自由加群の射影化であること、$P$ が各幾何的ファイバーに $\mathcal O(1)$ を誘導する可逆層をもつことは同値である。［条件付き：射影空間束の Picard 群と、コホモロジーと底変換の定理を引用］
- 切断の存在（原論文 II §0）：$P\to X$ が切断をもてば $P$ は射影化であり、とくに Zariski 局所に切断をもつことと Zariski 局所に自明であることは同値である。［完結］原論文は筋だけを述べ、接続関係の因子を使う細部は本頁で補った。
- ファイバーによる判定（原論文 I (8.2)、(8.3)）：固有・平坦・有限表示な射で一点の幾何的ファイバーが $\mathbb P^{r-1}$ ならば、その点の近傍で有限エタール全射の後に自明になり、したがって幾何的ファイバーがすべて射影空間である固有平坦有限表示の $X$ スキームは Severi–Brauer スキームである。［条件付き：EGA・FGA・SGA 1 の事実 (S1)–(S4) を引用］
1 と 4 は本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の Skolem–Noether の局所版と Azumaya 代数の特徴づけに帰着させ、3 は 2 に帰着させて頁内で閉じる。4 について原論文は証明を省き形式幾何の技法に言及するだけなので、本頁では同型のスキームと Hensel の補題による証明を付ける。系として、Severi–Brauer スキーム $P$ の類は $P$ 自身の上で消えること（$f^*\delta(P)=0$）も示す。
背景と動機
Severi–Brauer 多様体の概念は Châtelet（1944、Cha44）に遡る（原論文 II はその名を Châtelet に帰している）。体 $k$ 上の $n$ 次元 Severi–Brauer 多様体とは、$\bar k$ 上で $\mathbb P^n$ になる多様体であり、その同型類は $k$ 上の次数 $n+1$ の中心単純環の同型類と一対一に対応する。典型は実数体上の円錐曲線 $x^2+y^2+z^2=0$ で、これは Hamilton の四元数に対応する。
幾何の側から Brauer 群を見るこの見方は、後の章で重要になる。Severi–Brauer スキームの上では Brauer 類が消え（本頁の系（Severi–Brauer スキームの上で類は消える））、ファイバー空間の Brauer 群の計算（第3・4章）では、切断をもたない曲線束や射影束の形式が主役になる。原論文 I §8 は、Azumaya 代数に対する特徴づけの定理（本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』）の類似として、ファイバーの形だけから局所自明性を導く定理（ファイバーによる判定）を掲げ、形式幾何によって示せると述べて証明を省いている（Severi–Brauer多様体）。
定義と準備
本頁は Severi–Brauer スキームを Azumaya 代数と対応させる。まず、類が消えるときに現れる射影化の記号を定める。
局所自由加群 $E$ に対し $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$ とし（記号表の規約）、$\pi\colon\mathbb P(E)\to X$ の上の標準的な可逆層を $\mathcal O(1)$ と書く。$\pi_*\mathcal O(1)=E$ であり、$\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E\otimes M)$（$M$ は可逆層）である。
$X$ 上の $\mathbb P^{r-1}_X$ の自己同型の層は $\mathrm{PGL}_r$ である。これは引用して使う（局所的には、自己同型 $\phi$ に対し $\phi^*\mathcal O(1)\cong\mathcal O(1)\otimes M$ となる可逆層 $M$ をとり、Zariski 局所に $M$ を自明化すると、$\phi$ は $\Gamma(\mathcal O(1))=\mathcal O^r$ の線形自己同型からスカラーを除いて来る）。以下 $\mathrm{PGL}_r=\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})$ と書く。
行列代数と射影空間が同じ自己同型群をもつことが、本頁の対応の根拠である。エタール局所に射影空間となる対象を定義する。
$X$ スキーム $P$ で、エタール被覆 $(U_i\to X)$ と同型 $P_{U_i}\cong\mathbb P^{r-1}_{U_i}$ があるものを（相対次元 $r-1$ の）Severi–Brauer スキームという。
$A$ と $A^{\mathrm{op}}$ の対応物として、双対も定めておく。
$\mathrm{PGL}_r$ の自己同型 $g\mapsto{}^tg^{-1}$ でトーサーを移したものに対応する Severi–Brauer スキームを $P^\vee$ と書く。局所的には $\mathbb P^{r-1}$ の超平面のなす射影空間である。
準備はこれだけである。定義から直ちに、Severi–Brauer スキームが $\mathrm{PGL}_r$ トーサーで分類されることが従う。要点は、トーサーから作った降下データが実際にスキームを与えることである。
主結果と証明
分類
相対次元 $r-1$ の Severi–Brauer スキームの同型類は $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と一対一に対応し、したがって $\operatorname{Az}_r(X)$ とも一対一に対応する。
Severi–Brauer スキーム $P$ に対し、$\mathcal Isom_X(\mathbb P^{r-1}_X,P)$ はエタール局所に切断をもち、$\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})=\mathrm{PGL}_r$ が右から単純推移的に作用するので、$\mathrm{PGL}_r$ トーサーである。逆にトーサー $T$ が与えられたとき、$\mathbb P^{r-1}$ を $T$ で捩った対象は、エタール被覆の上の降下データ付きの射影空間として与えられる。この降下データが有効であること（実際に $X$ スキームが得られること）が要点で、それは $\mathbb P^{r-1}$ の上の相対反標準層 $\omega^{-1}=\det(\Omega^1)^{-1}$ が、どの自己同型でも標準的に保たれる相対豊富な可逆層であることによる：降下データはこの豊富な可逆層を伴うので、射影的な対象の降下が有効になる（引用：忠実平坦降下の理論）。こうして $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と Severi–Brauer スキームの同型類が一対一に対応する。本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の定理（Skolem–Noether の局所版）の $\operatorname{Az}_r(X)\cong H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と合わせて $\operatorname{Az}_r(X)$ とも対応する。
これで Severi–Brauer スキームと Azumaya 代数はトーサーを通して対応する。この対応をイデアルで直接書くこともできるが、双対の取り方に規約が要る。
Azumaya 代数との具体的な対応
Azumaya 代数 $A$ に対応する $P$ は、「$A$ の右イデアル（または左イデアル）で、$\mathcal O_X$ 加群として階数 $r$ の局所自由な直和因子であるもの」を分類するスキームとして書ける。$A=M_r$ のとき、階数 $r$ の左イデアルは $\{m:\ker m\supset H\}$（$H$ は超平面）の形、右イデアルは $\{m:\operatorname{Im}m\subset\ell\}$（$\ell$ は直線）の形であり、どちらを採るかで $\mathbb P^{r-1}$ とその双対が入れ替わる。本書ではこの規約を固定せず、$A\leftrightarrow P$ をトーサーを経由する対応で定義し、$A^{\mathrm{op}}\leftrightarrow P^\vee$ と覚える（$A^{\mathrm{op}}$ のトーサーは $g\mapsto{}^tg^{-1}$ で移したものになる。実際 $M_r\to M_r^{\mathrm{op}}$、$m\mapsto{}^tm$ は代数同型で、共役 $gmg^{-1}$ を ${}^tg^{-1}(\cdot){}^tg$ に移す）。
対応が立ったので、Azumaya 代数の Brauer 類を Severi–Brauer スキームに移し、類が消えることの幾何的な意味を問う。
類と射影化
Severi–Brauer スキーム $f\colon P\to X$ に類 $\delta(P)\in\mathrm{Br}(X)\subset H^2(X,\mathbb G_m)$ が定まり、次は同値である。
(a) $\delta(P)=0$。
(b) 階数 $r$ の局所自由加群 $E$ で $P\cong\mathbb P(E)$ となるものがある。
(c) $P$ 上の可逆層 $\mathcal L$ で、各幾何的ファイバーに $\mathcal O(1)$ を誘導するものがある。
段 1（類の定義）．$\delta(P)$ を、$P$ に対応する $\mathrm{PGL}_r$ トーサーの余境界 $\delta\in H^2(X,\mathbb G_m)$ と定める（本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の定理（余境界の単射性））。対応する Azumaya 代数 $A$ について $\delta(P)=\delta(A)=[A]$ である。
段 2（(a)⇔(b)）．$\delta(P)=0$ はトーサーの構造群が $\mathrm{GL}_r$ に持ち上がることと同値である。$\mathrm{GL}_r$ トーサーは階数 $r$ の局所自由加群 $E$ と同じで、それを $\mathrm{PGL}_r$ へ押し出したトーサーに対応する Severi–Brauer スキームは $\mathbb P(E)$ である。
段 3（(b)⇒(c)）．$\mathbb P(E)$ の $\mathcal O(1)$ をとればよい。
段 4（(c)⇒(b)）．$\mathcal L$ を (c) の可逆層、$E=f_*\mathcal L$ とする。エタール局所に $P=\mathbb P^{r-1}$ であり、そこでは $\mathcal L\cong\mathcal O(1)\otimes f^*M$（$M$ は底の可逆層）となる（射影空間の束の Picard 群は、底の Picard 群と $\mathbb Z\cdot\mathcal O(1)$ で生成される。Zariski 局所にはこれで十分で、$\mathcal L$ の各ファイバーの次数が $1$ であることを使う。引用）。したがってエタール局所に $E\cong\mathcal O^r\otimes M$ であり、$E$ は階数 $r$ の局所自由加群で、その形成は底変換と交換する（$R^1f_*\mathcal O(1)=0$ による。コホモロジーと底変換の定理）。自然な全射 $f^*E\to\mathcal L$ が $X$ 射 $P\to\mathbb P(E)$ を定め、これはエタール局所に $\mathbb P^{r-1}\to\mathbb P(\mathcal O^r\otimes M)$ の標準同型である。同型であることはエタール局所に確かめればよいので、$P\cong\mathbb P(E)$。
この定理の一つの帰結を、次の小節の定理（切断の存在）を先取りして述べておく。
$f\colon P\to X$ を Severi–Brauer スキームとすると、$f^*\delta(P)=0\in\mathrm{Br}(P)$ である。
$P\times_XP\to P$（第 2 成分への射影）は $P$ 上の Severi–Brauer スキームで、対角線という切断をもつので、次の定理（切断の存在）により射影化であり、その類 $f^*\delta(P)$ は上の定理（類と射影化）により $0$ である。
類が消える条件 (b)(c) は、大域的な対象 $E$ や $\mathcal L$ の存在を要求する。切断という、より弱く見える条件で十分であることが次の定理である。
切断の存在
Severi–Brauer スキーム $P\to X$ が切断をもてば、$P$ は階数 $r$ の局所自由加群の射影化 $\mathbb P(E)$ に同型である。とくに、$P$ が Zariski 局所に切断をもつことと Zariski 局所に自明であることは同値である。
段 1（接続関係の因子）．$P\times_XP^\vee$ の中に、エタール局所に $\{(x,H):x\in H\}$（$\mathbb P^{r-1}\times\mathbb P^{r-1,\vee}$ の中の $\sum x_iy_i=0$ で定まる双次数 $(1,1)$ の因子）となる相対的な有効 Cartier 因子 $I$ がある。これは局所的な定義が $\mathrm{PGL}_r$ の作用（$P$ には $g$、$P^\vee$ には ${}^tg^{-1}$）で保たれるので、エタール降下により $X$ 上で定まる。
段 2（切断から因子へ）．$s\colon X\to P$ を切断とし、$I$ を $s\times\mathrm{id}\colon P^\vee\to P\times_XP^\vee$ で引き戻した $D\subset P^\vee$ を考える。エタール局所には、$D$ は点 $s$ を含む超平面のなす $P^\vee$ の超平面、すなわち $\{y:\sum s_iy_i=0\}$ であり（$s$ は局所的に単模ベクトルで与えられるので、この一次式は各ファイバーで零にならない）、$D$ は $X$ 上平坦な相対的有効 Cartier 因子で、各幾何的ファイバーで次数 $1$ の超平面である。
段 3（結論）．$\mathcal O_{P^\vee}(D)$ は上の定理（類と射影化）の (c) の可逆層なので、$P^\vee\cong\mathbb P(F)$（$F$ は階数 $r$ の局所自由加群）。$\mathbb P(F)$ の双対は $\mathbb P(F^\vee)$ であり、$(P^\vee)^\vee=P$ なので $P\cong\mathbb P(F^\vee)$。
段 4（Zariski 局所の主張）．Zariski 局所に切断があれば、Zariski 局所に射影化であり、局所自由加群は Zariski 局所に自由なので、$P$ は Zariski 局所に自明である。逆は明らか。
この証明は原論文が省いた細部を含むので、対応を記す。
原論文 II §0 は、切断を双対束上の相対 Cartier 因子と見て $E=g_*(\mathcal L)$ をとるという筋を述べ、詳細を「標準的な技法」に委ねる。上の証明の段 1〜段 3 は本頁で補った。
ここまでの定理は、$P$ がエタール局所に射影空間であることを前提にしていた。最後に、ファイバーの形だけからその前提が従うことを示す。これは本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の Azumaya 代数の特徴づけの類似である。
ファイバーによる判定
原論文 I (8.2) は証明を載せず、形式幾何の技法（Gro59）で示せると述べるだけである。以下は、形式幾何の代わりに同型のスキームと Hensel の補題を使う証明である。次の外部の結果を引用する（本頁では証明しない）。
- (S1) 平坦・有限表示な射は、ファイバーが滑らかな点で滑らかであり、滑らかな点の集合は開である。局所有限表示で形式的に滑らかな射は滑らかである。体 $\kappa$ 上の空でない滑らかなスキームは、$\kappa$ の有限分離拡大に値をもつ点をもつ。エタール射は開写像である。
- (S2) 固有・有限表示な射のあるファイバーの上で豊富な可逆層は、そのファイバーの近傍の上で相対的に豊富である（EGA III EGA3）。射影的・平坦・有限表示な $X$ スキーム $P,Q$ について、同型の関手 $\mathcal Isom_X(P,Q)$ は $X$ 上局所有限表示なスキームで表現される（FGA FGA）。
- (S3) $S_0\subset S$ を平方零イデアル $J$ で定まる閉部分スキームとし、$P,Q$ を $S$ 上滑らかとする。$S_0$ 上の同型 $P_0\cong Q_0$ を $S$ 上の同型に持ち上げる障害は $H^1(P_0,T_{P_0/S_0}\otimes J)$ にある（SGA 1 III SGA1）。
- (S4) Hensel 局所環上の有限エタールな局所代数は Hensel である。$\mathcal O^{\mathrm h}_{X,x}$ は $x$ のエタール近傍の局所環の帰納極限であり、その上の有限エタール代数の上の有限表示の対象の同型は、$x$ を像に含むあるエタール射 $W\to X$ の上に降りる（本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の引用事実 (F3)）。Hensel 局所環上の滑らかなスキームについて、剰余体の点は持ち上がる（同頁の引用事実 (F2)）。
証明は、閉ファイバーの分裂、同型のスキームの滑らかさ、Hensel の補題による切断の三段からなる。
$f\colon P\to X$ が固有・平坦・有限表示で、点 $x$ の幾何的ファイバーが $\mathbb P^{r-1}$ に同型なら、$x$ の開近傍 $U$ と有限エタール全射 $U'\to U$ で $P\times_XU'\cong\mathbb P^{r-1}_{U'}$ となるものがある。したがって、幾何的ファイバーがすべて射影空間である固有平坦有限表示の $X$ スキームは Severi–Brauer スキームである。
段 1（滑らかさと射影性）．$f$ は平坦で $x$ のファイバーが滑らかなので、(S1) により $f$ はそのファイバーの点で滑らかである。滑らかでない点の閉集合の像は、$f$ が固有なので閉であり、$x$ を含まない。$X$ を $x$ のアフィン近傍に縮めて $f$ を滑らかとする。相対反標準層 $\omega_{P/X}^{-1}$ は $x$ の幾何的ファイバーで $\mathcal O(r)$ になり豊富なので、(S2) により $X$ をさらに縮めれば相対的に豊富で、$P$ は $X$ 上射影的である。
段 2（閉ファイバーの分裂）．$\kappa=\kappa(x)$、$R=\mathcal O^{\mathrm h}_{X,x}$ とする。$I_\kappa=\mathcal Isom_\kappa(\mathbb P^{r-1}_\kappa,P_x)$ は $\bar\kappa$ 上で $\mathrm{PGL}_r$ に同型なので、滑らかで空でない。(S1) により、有限分離拡大 $\kappa'=\kappa(\alpha)$ で $I_\kappa(\kappa')\ne\emptyset$ となる。$\alpha$ の最小多項式のモニックな持ち上げ $g$ で $R'=R[t]/(g)$ とおくと、$R'$ は $R$ 上有限エタールな局所環で剰余体は $\kappa'$、(S4) により Hensel である。
段 3（同型のスキームの滑らかさ）．$I=\mathcal Isom_{R'}(\mathbb P^{r-1}_{R'},P_{R'})$ は (S2) により $R'$ 上局所有限表示である。$R'$ 代数 $S$ と平方零イデアル $J$ について、$S/J$ 上の同型を $S$ 上へ持ち上げる障害は (S3) により $H^1(\mathbb P^{r-1}_{S/J},T\otimes J)$ にある。Euler 列 $0\to\mathcal O\to\mathcal O(1)^{r}\to T\to0$ と、アフィンな底の上で $H^1(\mathcal O(1)\otimes J)=0$、$H^2(\mathcal O\otimes J)=0$ であることから、この群は $0$ である（$r=1$ なら $T=0$）。よって $I$ は形式的に滑らかで、(S1) により $R'$ 上滑らかである。
段 4（切断）．$I$ の閉ファイバーは段 2 により $\kappa'$ 点をもつので、(S4) により $I(R')\ne\emptyset$、すなわち $P_{R'}\cong\mathbb P^{r-1}_{R'}$ である。
段 5（エタール近傍へ）．(S4) により、この同型は $x$ を像に含むあるエタール射 $W\to X$ の上に降り、$P_W\cong\mathbb P^{r-1}_W$ となる。$W$ の像 $U_0$ は (S1) により開で、$W\to U_0$ はエタール被覆なので、$P|_{U_0}$ は Severi–Brauer スキームである。
段 6（有限エタールへ）．上の定理（Severi–Brauer スキームの分類）により $P|_{U_0}$ は階数 $r^2$ の Azumaya 代数 $A$ に対応する。本書『1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー』の定理（Azumaya 代数の特徴づけ）の条件 (iii) により、$x$ の開近傍 $U\subset U_0$ と有限エタール全射 $U'\to U$ で $A_{U'}\cong M_r(\mathcal O_{U'})$ となるものがある。対応するトーサーは $U'$ 上で自明なので、$P\times_XU'\cong\mathbb P^{r-1}_{U'}$。
段 7（最後の主張）．幾何的ファイバーがすべて射影空間なら、各点で上の議論が使えるので、$P$ はエタール局所に射影空間である。逆に Severi–Brauer スキームは、固有・平坦・有限表示であることがエタール被覆から降りるので、固有・平坦・有限表示で、幾何的ファイバーは射影空間である。
証明の段 3 で使った剛性について、原論文の注意と比べておく。
段 3 で使ったのは $H^1(\mathbb P^{r-1},T)=0$ である。原論文 I (8.5) は上の定理（ファイバーによる判定）を、この一次の剛性と、$\operatorname{Lie}\mathrm{PGL}_r\to H^0(\mathbb P^{r-1},T)$ が同型であること（自己同型の無限小形）の大域版と読む。どちらも Euler 列から標数によらず従う：$r\ge2$ で $H^1(\mathcal O(1))=0$、$H^2(\mathcal O)=0$ から $H^1(T)=0$、$H^0(\mathcal O(1)^r)=\mathfrak{gl}_r$、$H^0(\mathcal O)=k$、$H^1(\mathcal O)=0$ から $H^0(T)=\mathfrak{gl}_r/k=\operatorname{Lie}\mathrm{PGL}_r$。ただし一次の剛性だけでこの定理が従うわけではなく、同型のスキームの表現可能性（段 1・段 3）と Hensel の補題（段 4）が要る。原論文は、同じことが半単純群の旗多様体でも成り立つだろうと見通しを述べている。
例と反例
以下の例は、まず最も簡単な Severi–Brauer 曲線で定理（切断の存在）と定理（類と射影化）を見て、次に定理（ファイバーによる判定）の仮定を検討する。
$C=\{x^2+y^2+z^2=0\}\subset\mathbb P^2_{\mathbb R}$ は $\mathbb C$ 上で $\mathbb P^1$ に同型な Severi–Brauer 曲線である。$C(\mathbb R)=\emptyset$ なので切断をもたず、定理（切断の存在）の対偶と定理（類と射影化）から $\delta(C)\ne0$。対応する中心単純環は $\mathbb H$ である。$C$ 上の可逆層の次数はすべて偶数（反標準層 $\omega^{-1}$ が次数 $2$ で、$\mathrm{Pic}(C)$ はそれで生成される。引用）であり、定理（類と射影化）の (c) の次数 $1$ の可逆層が無いことと合う。
この円錐曲線は、四元数代数と円錐曲線の一般的な対応の一例である。
体 $k$（標数 $\ne2$）と $a,b\in k^\times$ について、四元数代数 $(a,b)$（$i^2=a$、$j^2=b$、$ij=-ji$）に対応する Severi–Brauer 曲線は円錐曲線 $ax^2+by^2=z^2$ である（引用）。$(a,b)$ が分裂すること、円錐曲線が有理点をもつこと、$b$ が $k(\sqrt a)/k$ のノルムであることは同値である。
定理（類と射影化）の (b) の $E$ がどの程度決まるかを見ておく。
$\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E\otimes M)$ なので、$\delta(P)=0$ のとき $E$ は可逆層のテンソルを除いてしか決まらない。逆に $\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E')$ なら $E'\cong E\otimes M$ となる（定理（類と射影化）の (c)⇒(b) の証明で、$\mathcal L$ の取り方の自由度が $f^*M$ だけであることによる）。$\delta$ は $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ の元のうち、この情報を忘れる。
次は、定理（ファイバーによる判定）の二つの点、すなわちすべてのファイバーが射影空間であるという仮定が外せないことと、有限エタールを Zariski に置き換えられないことを、一つの族で見る反例である。
$X=\operatorname{Spec}\mathbb R[t]$、$P\subset\mathbb P^2_X$ を $x^2+y^2=tz^2$ で定まる円錐曲線の族とする。
- 満たす条件：$P\to X$ は超曲面の族なので固有・平坦・有限表示である。$t\ne0$ の点では幾何的ファイバーは滑らかな円錐曲線 $\cong\mathbb P^1$ なので、定理（ファイバーによる判定）により $P$ は $X\smallsetminus\{0\}$ の上で Severi–Brauer スキームである。
- 破る条件：$t=0$ の幾何的ファイバーは $x^2+y^2=0$、すなわち交わる 2 本の直線で、$\mathbb P^1$ ではない。
- 破る結論：$P$ は $X$ 全体の上では Severi–Brauer スキームでない。定理（ファイバーによる判定）の後半（幾何的ファイバーがすべて射影空間なら Severi–Brauer）の仮定は、一点でも外すと結論が崩れる。
- 有限エタールは Zariski に置き換えられない：$t=-1$ のファイバーは上の例（実数体上の円錐曲線）の曲線で実点をもたない。さらに、関数体 $\mathbb R(t)$ では $t$ は二つの平方の和でない（平方和の有理関数は定義域で $\ge0$）ので、$P$ は生成点で有理点をもたず、どの空でない開集合の上にも切断が無い。よって $P$ は $X\smallsetminus\{0\}$ のどの点の近傍でも Zariski 局所に自明ではなく、定理（ファイバーによる判定）の「有限エタール全射」は Zariski 近傍に置き換えられない。
最後に、退化した場合を確かめておく。
$r=1$ のとき $\mathrm{PGL}_1=1$ で、Severi–Brauer スキームは $X$ 自身だけである。$\operatorname{Az}_1(X)=\{\mathcal O_X\}$ と合う。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点の知識による。書誌の頁は確認していない）。
- Amitsur の定理（GS17）：体上の Severi–Brauer 多様体 $P$ について、$\ker(\mathrm{Br}(k)\to\mathrm{Br}(k(P)))$ は $\delta(P)$ で生成される巡回群である（Amitsur, 1955）。本頁の系（Severi–Brauer スキームの上で類は消える）はその「$\delta(P)$ が核に入る」側である。スキーム上の類似は Gabber らによって扱われた。
- Artin の講義「Brauer–Severi varieties」（1982、Art82）：定理（ファイバーによる判定）を含む Severi–Brauer 多様体の基礎が、スキームの言葉で整理された。
- 一般化された Severi–Brauer 多様体と旗多様体：$A$ の階数 $dr$ の右イデアルのスキーム（Grassmann 多様体の形式）や、半単純群の旗多様体の形式は、原論文 I (8.5) の見通しの延長として、Tits 指数や Merkurjev–Panin らの動機の研究で用いられている。
- 円錐曲線の例の一般化：Severi–Brauer 多様体の有理点の存在は Hasse 原理をみたす（数体上。Châtelet の時代から知られる局所大域原理）。
原論文との対応表
| 本頁 | 原論文（I Gro68a、II Gro68b） | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定理（Severi–Brauer スキームの分類） | I (8.1) | 63–64 |
| 定理（類と射影化）の (a)⇔(b) | I (8.4) | 64 |
| 定理（類と射影化）の (c) | II §0（番号なし。次数 1 の可逆層と banal 性） | 69 |
| 定理（切断の存在） | II §0（番号なし。切断と banal 性） | 68 |
| 定理（ファイバーによる判定） | I (8.2)、(8.3) | 64 |
| 注意（原論文 I (8.5) の注意） | I (8.5) | 64–65 |
| 「背景と動機」の歴史（Châtelet） | II §0（番号なし） | 69 |
| 双対 $P^\vee$ と $A^{\mathrm{op}}$ | I (8.4) | 64 |
原論文の I は「préschéma de Brauer-Severi」と書き、II は「Severi-Brauer」と書く。本書は後者の語順に統一する。
参考文献
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