3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量

$Y'\to Y$ をエタールとし、$X'=X\times_YY'$ と置く。$Y'$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B'$ が $Y$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ の上にあるとき、$X_B$ を有限個のアフィン開集合で覆うと、$\Gamma(X_B,\mathcal O)$ はそれらの切断の間の等化子として書ける。平坦な $B'$ とのテンソル積は有限個の加群の間の左完全列を保つので $\Gamma(X_{B'},\mathcal O)=\Gamma(X_B,\mathcal O)\otimes_BB'=B'$ である。貼り合わせて $\Gamma(X',\mathcal O_{X'})=\Gamma(Y',\mathcal O_{Y'})$ を得る。環が等しいので単元群も等しい。

$Y$ の局所環は excellent なので japonais であり、$f$ のファイバーは 1 次元である（$X$ は 2 次元で $Y$ 上平坦）。本書『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の系により $R^qf_*\mathbb G_m=0$（$q\ge2$）であり、 補題 により $f_*\mathbb G_m=\mathbb G_m$ である。
Leray スペクトル系列 $E_2^{a,b}=H^a(Y,R^bf_*\mathbb G_m)\Rightarrow H^{a+b}(X,\mathbb G_m)$ は $b=0,1$ の 2 行しかもたないので、残る微分は $d_2\colon E_2^{a,1}\to E_2^{a+2,0}$ だけであり、$E_\infty^{a,0}=\operatorname{Coker}(d_2\colon E_2^{a-2,1}\to E_2^{a,0})$、$E_\infty^{a,1}=\ker(d_2\colon E_2^{a,1}\to E_2^{a+2,0})$、および短完全列 $0\to E_\infty^{i,0}\to H^i(X,\mathbb G_m)\to E_\infty^{i-1,1}\to0$ がある。これらを継ぎ合わせると最初の長完全列を得る。$i=1$ の段では $E_2^{-1,1}=0$ なので列は $0\to\mathrm{Pic}(Y)$ から始まり、$E_2^{0,1}=H^0(Y,P)=\mathrm{Pic}(X/Y)$ である。$X,Y$ は正則なので $H^2(\cdot,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}'(\cdot)$ である。残りの主張は、この完全列の言い換えである。

次の可換図式を使う。
$$\begin{array}{ccc} \mathrm{Pic}(X)&\longrightarrow&\mathrm{Pic}(X_\eta)\\ \downarrow&&\downarrow\\ \mathrm{Pic}(X/Y)&\longrightarrow&\mathrm{Pic}(X_\eta/\eta) \end{array}$$
次数はどの矢印とも両立する。$X$ は正則なので $\mathrm{Pic}(X)$ は Weil 因子類群に等しく、開部分スキーム $X_\eta$ への制限は、因子の閉包をとることにより全射である。$X_\eta$ も正則なので、$\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X_\eta)$ は全射である。したがって $\delta$ は $\mathrm{Pic}(X)$ の元の次数の最大公約数に等しい。
1：$\mathrm{Pic}(X)$ の像は $\mathrm{Pic}(X/Y)$ に含まれるので $\delta'\mid\delta$。$\mathrm{Pic}(X/Y)$ の像は $\mathrm{Pic}(X_\eta/\eta)$ に含まれるので $\delta''\mid\delta'$。
2： 基本完全列 の最初の数項（Leray の 5 項完全列で、$R^2$ の消滅は要らない）を $X_\eta\to\eta$ に適用すると $\mathrm{Pic}(X_\eta)\to\mathrm{Pic}(X_\eta/\eta)\to\mathrm{Br}(K)$ が完全である。$\mathrm{Br}(K)=0$ なら左の写像は全射で、$\delta''=\delta$。1 と合わせて三つは等しい。
3：同様に $\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X/Y)\to\mathrm{Br}'(Y)$ から、$\mathrm{Br}'(Y)=0$ なら $\delta'=\delta$。
4：$X_\eta$ は正則な曲線なので $\mathrm{Pic}(X_\eta)$ は閉点の類で生成され、$\sum n_QQ$ の次数は $\sum n_Q[\kappa(Q):K]$ である。
局所版：上の議論は設定と 基本完全列 しか使わず、設定は $\tilde Y\to Y$、$\bar Y\to Y$ による底変換で保たれるので、そのまま通用する。二つの局所版の間：射 $\tilde\eta\to\bar\eta$ による引き戻しは、次数を保つ準同型 $\mathrm{Pic}(\bar X_{\bar\eta}/\bar\eta)\to\mathrm{Pic}(\tilde X_{\tilde\eta}/\tilde\eta)$ を与えるので、左辺の元の次数は右辺の元の次数の集合に含まれ、$\bar\delta''_y\mathbb Z\subset\delta''_y\mathbb Z$、すなわち $\delta''_y\mid\bar\delta''_y$ である。$\delta_y\mid\bar\delta_y$ も同じ。

1：$X$ は正則で連結（$f_*\mathcal O_X=\mathcal O_Y$ より）なので整で 2 次元であり、$Z\ne X$ だから $\dim Z\le1$。$Z$ は既約なので、閉点 $y$ 上のファイバー $Z_y$（$Z$ の真の閉部分集合）は 0 次元である。よって $Z\to Y$ は固有かつ準有限、したがって有限である。$Z$ は整で $Y$ を支配するので $\mathcal O_Y$ 上捩れのない加群を与え、$Y$ は正則 1 次元なので $Z\to Y$ は平坦、したがって有限局所自由であり、その階数は生成点での次数 $e$ である。
2：有限局所自由で階数 $e$ の射 $\pi\colon Z\to Y$ について、ノルム写像 $N\colon\pi_*\mathbb G_{m,Z}\to\mathbb G_{m,Y}$ があり、$N$ と単位 $\mathbb G_{m,Y}\to\pi_*\mathbb G_{m,Z}$ の合成は $e$ 乗である。$\pi$ は有限なので $\pi_*$ は完全で $H^q(Z,\mathbb G_m)=H^q(Y,\pi_*\mathbb G_m)$ である（SGA4 VIII による）。したがって $N$ の誘導する写像と $\pi^*$ の合成は $H^q(Y,\mathbb G_m)$ 上の $e$ 倍であり、$\ker(\pi^*)$ は $e$ で消える。$\pi$ は $Z\hookrightarrow X\to Y$ と分解するので、$\ker(H^q(Y)\to H^q(X))\subset\ker(H^q(Y)\to H^q(Z))$ である。
3：$\operatorname{Spec}\kappa(Q)\to\operatorname{Spec}L$ は階数 $e$ の有限局所自由な射なので、2 の議論がそのまま通る。

1：$i^*$ を $P\to B$ に施すと同型になるので $E|_\eta=F|_\eta=0$。$Y$ は 1 次元の整スキームで $\eta$ が唯一の閉でない点なので、$E,F$ の台は閉点の集合に含まれる。
2：高次順像の茎の計算により $P_{\bar y}=H^1(\tilde X,\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(\tilde X)$ であり、$B_{\bar y}=H^0(\tilde\eta,i^*P)=\mathrm{Pic}(\tilde X_{\tilde\eta}/\tilde\eta)$ である。写像 $P_{\bar y}\to B_{\bar y}$ は $\mathrm{Pic}(\tilde X_{\tilde\eta})$ を経由し、$\tilde X$ は正則なので $\mathrm{Pic}(\tilde X)\to\mathrm{Pic}(\tilde X_{\tilde\eta})$ は全射である（ 命題 の証明と同じ）。よって核と余核は主張の形になる。
3：Leray の 5 項完全列を $\tilde X_{\tilde\eta}\to\tilde\eta$ に適用すると、$F_{\bar y}$ は $\ker(\mathrm{Br}(\tilde\eta)\to H^2(\tilde X_{\tilde\eta},\mathbb G_m))$ に同型である（$f_*\mathbb G_m=\mathbb G_m$ は平坦な底変換で保たれる）。$\tilde\eta$ は狭義 Hensel 離散付値環の分数体なので、本書『次元 1 以下の体』により $\mathrm{Br}(\tilde\eta)$ の $\ell$ 部分（$\ell\ne p_y$）は $0$、したがって $F_{\bar y}$ は $p_y$ 準素である。$\kappa(y)$ が完全なら狭義 Hensel 化の剰余体は代数閉で、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,y}$ は excellent なので（本書『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の (E11)）、本書『次元 1 以下の体』の Lang の定理により $\mathrm{Br}(\tilde\eta)=0$。$\delta_y=1$ の場合は、 閉点の閉包とノルムの補題 の 3 を底 $\tilde\eta$（体）の上の曲線 $\tilde X_{\tilde\eta}$ に適用すると、上の核は $\tilde X_{\tilde\eta}$ の各閉点の次数で消え、 命題 の 4 の局所版によりその最大公約数 $\delta_y=1$ で消える。

1：$\tilde X\to X$ は ind-エタールなので、閉ファイバーの成分の生成点での局所環の長さは保たれ、$C^j_y$ の上の成分の重複度は $a^j_y$ である。個数は $\nu^j_y$ の定義の後の注意による。
2：$\tilde X$ は正則なので $\mathrm{Pic}=$ Weil 因子類群であり、開部分 $\tilde X_{\tilde\eta}$ への制限の核は、補集合（閉ファイバー）の成分で生成される。すなわち $\mathbb Z^{(\Pi_y)}\to\mathrm{Pic}(\tilde X)$ の像が $E_{\bar y}$ である（ 前の命題 の 2）。この写像の核は、有理関数 $g$ で $\operatorname{div}(g)$ が閉ファイバーに台をもつものの因子からなる。そのような $g$ は $\tilde X_{\tilde\eta}$ 上で可逆な正則関数であり、$f_*\mathcal O=\mathcal O$ が平坦な底変換で保たれることから $\Gamma(\tilde X_{\tilde\eta},\mathcal O)=\operatorname{Frac}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,y}$ なので、$g=u\pi^n$（$u$ は $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,y}$ の単元）と書ける。よって核は $\mathbb Z\cdot\operatorname{div}(\pi)=\mathbb Z\cdot\sum_Ca_CC$ である。Galois 群は成分を置換し、$\Pi_y$ を $\operatorname{Gal}$ 集合として見ると、$C^j_y$ の上の部分は $\kappa(y)$ 上の埋め込み $\kappa(y)^j\to\kappa(y)^{\mathrm s}$ の集合、すなわち $Z^j_y$ の幾何的点の集合に同型である。これが層の完全列の言い換えである。
3：$v=\sum_Ca_CC=m_y\,v'$ と書くと $v'$ の係数の最大公約数は $1$ なので、$v'$ は $\mathbb Z^{(\Pi_y)}$ の直和因子を生成し、$\mathbb Z^{(\Pi_y)}/\mathbb Zv'$ は捩れをもたない。完全列 $0\to\mathbb Zv'/\mathbb Zv\to\mathbb Z^{(\Pi_y)}/\mathbb Zv\to\mathbb Z^{(\Pi_y)}/\mathbb Zv'\to0$ から捩れ部分は $\mathbb Zv'/\mathbb Zv\cong\mathbb Z/m_y\mathbb Z$ である。
4（整除）：$\tilde X_{\tilde\eta}$ の閉点 $Q$ をとり、その閉包を $\operatorname{Spec}R$ とする。 閉点の閉包とノルムの補題 の 1（底 $\tilde Y$ の場合）により $R$ は $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,y}$ 上有限な整域であり、Hensel 性から局所環である。その閉点 $z$ での $\tilde X$ の局所環は正則で分解整域なので、$z$ を通る成分 $C$ の局所方程式 $g_C$ により $\pi=u\prod_Cg_C^{a_C}$ と書ける。$R$ は 1 次元の局所整域で各 $g_C$ は $R$ で $0$ でないから、長さは積について加法的で
$$[\kappa(Q):\tilde K]=\dim_{\kappa(y)^{\mathrm s}}R/\pi R=[\kappa(z):\kappa(y)^{\mathrm s}]\sum_Ca_C\,\operatorname{length}_R(R/g_CR)$$
（$\tilde K$ は $\tilde\eta$ の剰余体）。右辺は $m_y$ の倍数なので、 命題 の 4 の局所版により $m_y\mid\delta_y$。
4（等号）：$\kappa(y)$ が完全なら $\kappa(y)^{\mathrm s}$ は代数閉である。各 $C\in\Pi_y$ について、$C$ の被約化が滑らかで他の成分に乗らない閉点 $x$ をとる（代数閉体上の被約な曲線の滑らかな点は稠密）。$\mathcal O=\mathcal O_{\tilde X,x}$ は 2 次元正則局所環で、$C$ の局所方程式 $g$ について $\mathcal O/g$ は正則なので $g\notin\mathfrak m_x^2$ であり、$\mathfrak m_x=(g,h)$ となる $h$ がとれる。$\mathcal O/h$ は $g$ の像を素元とする離散付値環で、$x$ の近くで $\pi=u\,g^{a_C}$ なので $\pi$ の付値は $a_C$ である。$V(h)$ と閉ファイバーの共通部分は $x$ の近くで $\{x\}$ だから、$V(h)$ は $x$ でファイバーの中で孤立しており、底が Hensel なので $\mathcal O/h$ は $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{Y,y}$ 上有限である。剰余体は $\kappa(x)=\kappa(y)^{\mathrm s}$ なので、$\mathcal O/h$ の階数は分岐指数 $a_C$ に等しい。その生成点は $\tilde X_{\tilde\eta}$ の次数 $a_C$ の閉点である。よって $\delta_y\mid a_C$ がすべての $C$ で成り立ち、$\delta_y\mid m_y$。

1： 命題 の 2 の完全列を使う。$p_y$ は有限なので $H^q(y,p_{y*}\mathbb Z)=\prod_jH^q(\kappa(y)^j,\mathbb Z)$。長完全列
$$H^1(y,p_{y*}\mathbb Z)\to H^1(y,E_y)\to H^2(y,\mathbb Z)\to H^2(y,p_{y*}\mathbb Z)$$
で、体の $H^1(\cdot,\mathbb Z)$ は $0$ なので（本書『次元 1 のスキームと類体論』の補題）左端は $0$ であり、$H^1(y,E_y)\cong\ker(H^2(\kappa(y),\mathbb Z)\to\prod_jH^2(\kappa(y)^j,\mathbb Z))$。同じ補題の同型 $H^2(\cdot,\mathbb Z)\cong H^1(\cdot,\mathbb Q/\mathbb Z)$ で書き換える。成分 $j$ の写像が制限の $a^j_y$ 倍であることは、第 1 の写像の記述による。
2：$\chi$ が核に入るとすると、各 $j$ で $a^j_y\operatorname{res}_j(\chi)=0$。$\kappa(y)^j/\kappa(y)$ は次数 $\nu^j_y$ の分離拡大なので、余制限との合成 $\operatorname{cor}_j\circ\operatorname{res}_j$ は $\nu^j_y$ 倍であり、$a^j_y\nu^j_y\chi=\operatorname{cor}_j(a^j_y\operatorname{res}_j\chi)=0$。よって $\chi$ は各 $a^j_y\nu^j_y$ で、したがってその最大公約数 $d_y$ で消える。
3：$H^1(\kappa(y),\mathbb Q/\mathbb Z)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\hat{\mathbb Z},\mathbb Q/\mathbb Z)=\mathbb Q/\mathbb Z$ であり、指数 $\nu$ の開部分群への制限はこの同一視のもとで $\nu$ 倍に当たる。よって成分 $j$ の写像は $a^j_y\nu^j_y$ 倍で、その核は $\mathbb Z/a^j_y\nu^j_y\mathbb Z$。共通部分をとって $\mathbb Z/d_y\mathbb Z$。

$E$ は閉点に台をもつので $E=\bigoplus_yi_{y*}E_y$ であり、閉埋め込みの順像は完全なので $H^q(Y,E)=\bigoplus_yH^q(y,E_y)$。$H^0(Y,P)=\mathrm{Pic}(X/Y)$、$H^0(Y,B)=\mathrm{Pic}(X_\eta/\eta)$ を $0\to E\to P\to B\to0$ の長完全列に代入すればよい。剰余体が分離閉なら $H^q(y,E_y)=0$（$q\ge1$）。