0-2 可換環論とホモロジー代数

本書で引用として使う可換環論とホモロジー代数の概念（平坦性、Hensel 局所環、正則局所環、excellent 環、導来関手、極限、スペクトル系列、Hochschild コホモロジー）の要点を集めた頁である。各項目は定義の要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと、用語解説記事・教科書の案内を書く。全体の地図と読む順序は本書『0-1 本書の読み方』にある。

可換環論

平坦性と忠実平坦性

• 使いどころ：fppf 位相の被覆（『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『fppf 位相と相対 Picard 群』、『エタールと fppf の比較定理』）、降下（『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『Severi–Brauer スキーム』）、Amitsur 複体の完全性（『エタールと fppf の比較定理』）。
• 案内：AM69 第 2・3 章、Mat86 第 3 章（§7）、Har77 III.9。

完備化と Hensel 局所環

• 使いどころ：Hensel 局所環の Brauer 群は剰余体の Brauer 群に等しい（『Azumaya 代数と PGL トーサー』）。エタール層の茎と高次順像の茎の計算（『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、『次元 1 のスキームと類体論』、『fppf 位相と相対 Picard 群』、『エタールと fppf の比較定理』、『Brauer 群の純性』）。Hensel 離散付値環の上の計算（『次元 1 のスキームと類体論』、『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』、『曲線束と Tate–Shafarevich 群』）。
• 案内：Hensel局所環、狭義Hensel局所環、Mil80 第 I 章 §4、AM69 第 10 章（完備化）、Stacks「More on Algebra」の Hensel 環の節。

正則局所環・一意分解性・離散付値環・正規環

• 使いどころ：正則スキームでは $H^2(X,\mathbb G_m)$ が捩れ群になり、Brauer 群が関数体の Brauer 群に埋め込まれる（『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』）。純性（『Brauer 群の純性』）、双有理不変性（『Brauer 群の双有理不変性』）、正規曲面特異点（『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』）。
• 案内：正則スキーム、Noether環、AM69 第 9・11 章、Mat86 第 8 章（§19・§20）。

japonais な環と excellent 環

• 使いどころ：『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』・『曲線束と Tate–Shafarevich 群』で、近似定理を使うための仮定として現れる。『Brauer 群の純性』の標数 0 の場合にも現れる。
• 案内：Mat86 第 11 章（§32）。本書の範囲では、定義を知っていれば足りる。

ホモロジー代数

長完全列と導来関手

• 使いどころ：全頁。とくに Kummer 列の長完全列（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』）と、局所コホモロジーの長完全列（『Brauer 群の純性』、『余次元フィルトレーションと niveau』）。
• 案内：完全列、導来関手、Ext関手、Wei94 第 2・3 章。

帰納極限と射影極限

• 使いどころ：$\mu_{\ell^\infty}=\varinjlim\mu_{\ell^\nu}$ と $\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim\mu_{\ell^\nu}$ の扱い（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』、『Tate 加群と Néron–Severi 群の双対性』）、形式的な分裂の代数化（『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』）。
• 案内：Mittag-Leffler条件、Wei94 第 3 章（§3.5）。

スペクトル系列

• 使いどころ：1 は『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、『次元 1 のスキームと類体論』、『曲線束と Tate–Shafarevich 群』、『fppf 位相と相対 Picard 群』の骨格である。2 は『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、3 は『Brauer 群の純性』、4 は『余次元フィルトレーションと niveau』。
• 案内：スペクトル系列、Lerayスペクトル系列、Wei94 第 5 章、第 6 章（Lyndon–Hochschild–Serre のスペクトル系列）。

Hochschild コホモロジー

• 使いどころ：『中心単純環と分裂体』の無限小の議論だけ。
• 案内：Wei94 第 9 章。