$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
本書で引用として使うスキーム論の概念（平坦射、エタール射、滑らかな射、固有射、射影化とブローアップ、群スキーム、忠実平坦降下、極限の議論、形式的関数定理、特異点解消）と、層とコホモロジーの概念（位相空間の層コホモロジー、Grothendieck 位相、エタールコホモロジー、Čech コホモロジー、局所コホモロジー、Kummer 列、fppf 位相）の要点を集めた頁である。各項目は定義の要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。可換環論の前提は本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』にある。
スキーム論
平坦射・有限表示・fppf
平坦射と fppf 被覆
射 $f\colon X\to Y$ が平坦であるとは、各点で局所環の間の準同型が平坦であることをいう。平坦かつ局所有限表示で全射な射の族を被覆とする位相が fppf 位相（本頁の「fppf 位相と比較定理」）である。
- 使いどころ：『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『Severi–Brauer スキーム』、第 4 章。
- 案内：Har77 III.9、Liu02 第 4 章、Poo17 第 3・4 章。
エタール射
エタール射
平坦・不分岐・局所有限表示な射。同値に、相対次元 0 の滑らかな射。体上のエタール代数は有限分離拡大体の有限個の積である。エタール射は「代数的な局所同相」の役を果たし、エタール位相の開集合になる。
- 使いどころ：全頁。Azumaya 代数と Severi–Brauer スキームはエタール局所に自明なものとして定義される（『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『Severi–Brauer スキーム』）。
- 案内：Mil80 第 I 章、Fu15、Stacks「Étale Morphisms of Schemes」。
滑らかな射
滑らかな射
平坦・局所有限表示で、幾何的ファイバーが正則な射。各点の近傍で、アフィン空間へのエタール射を経由する。Hensel 局所環の上の滑らかなスキームでは、剰余体の点が持ち上がる。
- 使いどころ：滑らかな群スキームについての比較定理（『エタールと fppf の比較定理』）、体上滑らかな場合の純性（『Brauer 群の純性』）、不分岐コホモロジーの標準設定（『不分岐コホモロジー』）。
- 案内：滑らかな射、Har77 III.10、Liu02 第 4・6 章。
固有射
固有射
分離的・有限型・普遍閉な射。付値判定法（離散付値環の分数体の点が離散付値環全体へ一意に延びる）が使える。
- 使いどころ：有限性定理と固有底変換定理を使う場面（『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』、第 7 章）。有理写像が余次元 1 の点で定義されること（『Brauer 群の双有理不変性』）。『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の曲面は Hensel 離散付値環上固有である。
- 案内：固有射、Har77 II.4。
射影化とブローアップ
射影化とブローアップ
局所自由加群 $E$ に対し $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$（本書は Grothendieck の規約をとる）。閉部分スキーム $Y\subset X$（イデアル層 $\mathcal I$）のブローアップは $\mathrm{Bl}_YX=\operatorname{Proj}\bigoplus_n\mathcal I^n$ であり、$Y$ の逆像は Cartier 因子（例外因子）になる。正則な $X$ の正則な中心（余次元 $c$）のブローアップでは、例外因子は中心の上の $\mathbb P^{c-1}$ 束である。
- 使いどころ：Severi–Brauer スキーム（『Severi–Brauer スキーム』）、双有理不変性の第一の証明（『Brauer 群の双有理不変性』）、特異点解消（『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』、『不分岐コホモロジー』）。
- 案内：ブローアップ、双有理写像、Har77 II.7、V.3、V.5、Liu02 第 8 章。
群スキームと Picard スキーム
群スキームと Picard スキーム
$\mathbb G_m$、$\mu_n$、$\mathrm{GL}_r$、$\mathrm{PGL}_r$、標数 $p$ の $\alpha_p$ など。$Y$ 上の可換群スキームは fppf 層を定める。体上固有なスキーム $X$ の Picard 関手は、局所有限型の群スキーム $\mathrm{Pic}_{X/k}$ で表現される。
- 使いどころ：$\mathrm{PGL}_r=\operatorname{Aut}(M_r)=\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})$（『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『Severi–Brauer スキーム』）、相対 Picard 群と障害（『fppf 位相と相対 Picard 群』）、比較定理（『エタールと fppf の比較定理』）、局所 Picard スキーム（『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』）。
- 案内：群スキーム、Picardスキーム、相対Picard関手、Weil制限、FGAex の Kleiman の部、Poo17 第 5 章。
忠実平坦降下
忠実平坦降下
忠実平坦かつ準コンパクトな射 $Y'\to Y$ に沿って、準連接層・アフィン射とその間の射は「降下データ」から一意に復元される。
- 使いどころ：Azumaya 代数と $\mathrm{PGL}_r$ トーサーの対応（『Azumaya 代数と PGL トーサー』）、Severi–Brauer スキームの分類（『Severi–Brauer スキーム』）、fppf 位相で群スキームが層になること（第 4 章）。
- 案内：忠実平坦降下、FGAex の Vistoli の部、Poo17 第 4 章。
極限の議論
極限の議論
有限表示の対象と射は、アフィンなスキームの射影系の極限と交換する。たとえば $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ の上で成り立つ有限表示の同型は、あるエタール近傍の上で既に成り立つ。
- 使いどころ：『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、『エタールと fppf の比較定理』で、狭義 Hensel 局所環での結果をエタール近傍に広げる段。
- 案内：EGA IV の §8（本書の頁でも引用として示す）、Stacks「Limits of Schemes」。
形式的関数定理と存在定理
形式的関数定理と存在定理
完備局所環上固有な $X$ について、$X$ 上の連接層は、閉ファイバーの無限小近傍の上の連接層の両立する系と同じものである（Grothendieck の存在定理）。
- 使いどころ：『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』（Artin の定理）だけ。
- 案内：形式的関数定理、Har77 III.11、EGA III。
特異点解消
特異点解消
標数 0 では任意の多様体に特異点解消がある（Hironaka）。次元 2 では任意の標数で、excellent な 2 次元スキームに解消がある（Abhyankar、Lipman）。
- 使いどころ：『正規曲面特異点の局所 Brauer 群』の設定、『不分岐コホモロジー』のコンパクト化の存在、『余次元フィルトレーションと niveau』の niveau の議論。本書では「解消がある」ことを仮定として明示して使う。
- 案内：特異点解消。
層とコホモロジー
位相空間の層コホモロジー
位相空間の層コホモロジー
パラコンパクト空間では、連続関数の層は細層であり、正の次数のコホモロジーをもたない。指数列 $0\to\mathbb Z\to\mathcal O\to\mathcal O^\times\to0$ から $H^i(X,\mathcal O^\times)\cong H^{i+1}(X,\mathbb Z)$（$i\ge1$）が出る。
- 使いどころ：『位相空間の Brauer 群』だけ。『位相空間の Brauer 群』ではさらに、Eilenberg–MacLane 空間と Bott の計算を引用する。
- 案内：Hat02 第 3・4 章、Har77 III.1–III.4。
Grothendieck 位相と景
Grothendieck 位相と景
圏と、各対象の「被覆」の族を指定したものを景という。前層が層であるとは、各被覆について貼り合わせの条件をみたすことをいう。本書では Zariski 景 $X_{\mathrm{Zar}}$、エタール景 $X_{\mathrm{et}}$、fppf 景 $X_{\mathrm{fppf}}$ を使う。$X$ 上のスキームが表す関手は fppf 層である（Grothendieck の降下定理）。
エタールコホモロジー
エタールコホモロジー
エタール景の層の圏での大域切断の関手の導来関手 $H^i(X_{\mathrm{et}},F)$。層が $0$ であることは、幾何的点での茎がすべて $0$ であることと同値であり、茎は狭義 Hensel 化の上の値である。狭義 Hensel 局所環のスペクトルでは正の次数のコホモロジーが消える。本書が引用する基本定理は、固有底変換定理、滑らか底変換定理、有限性定理、Poincaré 双対性、コホモロジー的純性（Gabber の絶対純性を含む）、Lefschetz の跡公式、複素数体上の比較定理（エタールコホモロジーと特異コホモロジーの一致）である。
Čech コホモロジーと非可換 $H^1$
Čech コホモロジーと非可換 $H^1$
被覆 $U\to X$ の Čech 複体 $G(U)\rightrightarrows G(U\times_XU)\cdots$ のコホモロジー。非可換な群層 $G$ でも $H^1(X,G)$ は点付き集合として定義でき、$G$ トーサーの同型類と一致する。中心拡大 $1\to A\to E\to G\to1$ からは余境界 $\delta\colon H^1(X,G)\to H^2(X,A)$ が定まる。
- 使いどころ：Azumaya 代数の類を $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ で送ることが本書全体の出発点である（『位相空間の Brauer 群』、『Azumaya 代数と PGL トーサー』、『Severi–Brauer スキーム』）。比較定理の証明（『エタールと fppf の比較定理』）。
- 案内：トーサー、Čechコホモロジー、Mil80 第 III 章（§2・§4）、SerGC 第 I 章 §5。
局所コホモロジー
局所コホモロジー
閉集合 $Y\subset X$ に台をもつ切断の関手の導来関手 $H^i_Y(X,F)$ と、その層版 $\mathcal H^i_Y(F)$。長完全列 $\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(X\smallsetminus Y,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$ と、切除（$Y$ の近傍だけで決まること）が基本である。
- 使いどころ：Brauer 群の純性は $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)=0$ という形で述べられる（『Brauer 群の純性』）。余次元フィルトレーションのスペクトル系列の初項（『余次元フィルトレーションと niveau』）。
- 案内：局所コホモロジー、Brauer群の純性、Wei94（環の局所コホモロジーを扱う箇所）、SGA 2。
Kummer 列
Kummer 列
$n$ が $X$ 上可逆なら、エタール層の完全列 $1\to\mu_n\to\mathbb G_m\xrightarrow{\,n\,}\mathbb G_m\to1$ がある。$n$ が可逆でなくても、fppf 層としては完全である。長完全列から $0\to\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Br}'(X)\to0$ が出る。これが Brauer 群の $\ell$ 部分を捩れ係数のコホモロジーで計算する唯一の入口である。
- 使いどころ：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』以後のほとんどの頁。
- 案内：Kummer完全列、Mil80 第 II・III 章。
fppf 位相と比較定理
fppf コホモロジーと比較定理
fppf 景でのコホモロジー $H^i(X_{\mathrm{fppf}},F)$。滑らかな可換群スキーム $G$ については $H^i(X_{\mathrm{et}},G)\cong H^i(X_{\mathrm{fppf}},G)$ である（本書『エタールと fppf の比較定理』で証明する）。したがって $\mathbb G_m$ 係数ではどちらで計算してもよく、$\mu_p$ のような滑らかでない群で違いが現れる。
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