0-6 記号と約束

本書の全頁で共通に使う記号と約束の要点をまとめた頁である。各頁でも必要な箇所で繰り返す。前提となる概念の要点は本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』から『0-5 曲線・曲面・ℓ 進の道具・Hodge 理論』までに、読む順序は本書『0-1 本書の読み方』にある。

一般の約束

素数と標数

• 素数 $\ell$：$\ell$ はつねに素数を表し、とくに断らない限り、考えているスキームの上で可逆な素数（すべての剰余標数と異なる素数）とする。体 $k$ の標数を $p\ge0$ と書き、$p=0$ のときは「$\ell\ne p$」を「任意の $\ell$」と読む。

群の書き方と捩れの記号

• 群の書き方：Brauer 群とコホモロジー群は加法的に書く：$[A]+[B]=[A\otimes B]$、$-[A]=[A^{\mathrm{op}}]$。$\mathbb G_m$ の切断の群だけは乗法的に書く。
• 捩れの記号：アーベル群 $M$ について、${}_nM=\ker(n\colon M\to M)$、$M_{\mathrm{tors}}$ は捩れ部分群、$M(\ell)=\bigcup_\nu{}_{\ell^\nu}M$ は $\ell$ 準素部分、$M_{\mathrm{div}}$ は最大可除部分群である。$T_\ell M=\varprojlim_\nu{}_{\ell^\nu}M$（遷移は $\ell$ 倍）、$V_\ell M=T_\ell M\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Q_\ell$。$\ell$ 準素で ${}_\ell M$ が有限なとき、$M$ は余有限型であるといい、$M\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^r\oplus(\text{有限})$ の $r$ を余階数 $\operatorname{corank}M$ と呼ぶ。

原論文の番号と用語

• 原論文の番号：原論文の番号は、講演の番号を前に付けて「I (1.4)」「II (2.1)」「III (6.1)」のように書く。頁は『Dix exposés』（1968）の印字頁で書く。
• 用語：本書では「純性」「ブローアップ」「fppf 位相」「Severi–Brauer」「Tate 捻り」「余次元フィルトレーション」を使う。原論文の préschéma も本書ではスキームと呼ぶ。

コホモロジーの書き分け

位相の指定

• 添字の無い $H^i(X,F)$ はエタールコホモロジー $H^i(X_{\mathrm{et}},F)$ である。位相空間を扱う『位相空間の Brauer 群』だけは通常の層コホモロジーを表す。
• 他の位相では必ず添字を付ける：$H^i(X_{\mathrm{fppf}},F)$、$H^i(X_{\mathrm{Zar}},F)$。
• 体 $k$ については $H^i(k,M)=H^i(\operatorname{Spec}k_{\mathrm{et}},M)$（Galois コホモロジー）。

非可換係数・局所コホモロジー・フィルトレーション

• 非可換な群層 $G$ については、$H^1(X,G)$ は $G$ トーサーの同型類の点付き集合である。
• $H^i_Y(X,F)$、$\mathcal H^i_Y(F)$ は閉集合 $Y$ に台をもつ局所コホモロジー、$H^i_{\mathrm{nr}}$ は不分岐コホモロジー、$N^pH^i(X)$ は余次元フィルトレーション（余次元 $\ge p$ の閉集合の外で消える類）である。

係数

乗法群と Tate 捻り

• $\mathbb G_m$ は乗法群、$\mu_n=\ker(n\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m)$、$\mu_{\ell^\infty}=\varinjlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$。
• $\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$（遷移は $\ell$ 乗）、$\mathbb Z_\ell(j)=\mathbb Z_\ell(1)^{\otimes j}$、$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)=\mu_{\ell^\infty}$。原論文の $\mathbb Z_l[1]$ は本書の $\mathbb Z_\ell(1)$ である。
• $H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))=\varprojlim_\nu H^i(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j})$（有限段の群の射影極限）。

Brauer 群

Br と Br′

• $\mathrm{Br}(X)$ は Azumaya 代数の類の群である。$A\sim B$ は、局所自由加群 $E,E'$ で $A\otimes\operatorname{End}(E)\cong B\otimes\operatorname{End}(E')$ となるものがあることをいう。
• $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$（コホモロジー的 Brauer 群）：原論文 II は $H^2(X,\mathbb G_m)$ 全体を $\mathrm{Br}'(X)$ と呼ぶが、本書は今日の多くの文献に合わせて捩れ部分群を $\mathrm{Br}'(X)$ と書く。両者の差は捩れでない部分だけなので、${}_n\mathrm{Br}'(X)$、$\mathrm{Br}'(X)(\ell)$、$T_\ell\mathrm{Br}'(X)$ はどちらの定義でも同じである。$X$ が正則なら $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れ群で、両者は一致する（『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』）。捩れでない部分に触れるときは $H^2(X,\mathbb G_m)$ と書く。
• 余境界 $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ により単射 $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}'(X)$ が得られる（『Azumaya 代数と PGL トーサー』）。これが全射かどうか（$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題）は本書を通じた主題の一つである。

原論文の記号との対応

• $\operatorname{Az}_r(X)$ は階数 $r^2$ の Azumaya 代数の同型類の集合（原論文の $P_r(X)$）、$\mathrm{PGL}_r$ は射影一般線形群（原論文の $GP(r)$、$GPL(r)$）、$A^{\mathrm{op}}$ は反対代数（原論文の $A^\circ$）、$P^\vee$ は Severi–Brauer スキーム $P$ の双対である。

スキームと不変量

点・局所環・底変換

• $\kappa(x)$ は点 $x$ の剰余体、$\mathcal O_{X,x}^{\mathrm h}$ と $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ は Hensel 化と狭義 Hensel 化、$\bar x$ は幾何的点、$X^{(1)}$ は余次元 1 の点の集合、$K=K(X)$ は整スキームの関数体である。
• $X_{\bar k}$ は体 $k$ 上のスキームの $\bar k$ への底変換で、$\bar k$ が代数閉包か分離閉包かは頁ごとに明示する。
• $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$（Grothendieck の規約）、$\mathbb P^{r-1}_X=\mathbb P(\mathcal O_X^r)$。

Picard 群・Néron–Severi 群・因子の層

• $\mathrm{Pic}(X)=H^1(X,\mathbb G_m)$、$\mathrm{Pic}_{X/k}$ と $\mathrm{Pic}^0_{X/k}$ は Picard スキームとその単位元成分、$\mathrm{NS}(X)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}^0(X)$、$\rho=\operatorname{rank}\mathrm{NS}(X)$、$B_i=\operatorname{rank}_{\mathbb Z_\ell}H^i(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)$。
• $\mathcal R_X^\times$ は可逆な有理関数の層、$\mathcal Div_X$ は Cartier 因子の層、$\mathcal Z^1_X$ は Weil 因子の層（『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』、『次元 1 のスキームと類体論』）、$Ш$ は Tate–Shafarevich 群（『曲線束と Tate–Shafarevich 群』）。

頁の読み方の約束

頁の構成と引用

• 各頁は、おおむね「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。引く文献は本書共通の参考文献一覧にあり、本文中では [[ラベル]] で示す。
• 証明のうち、他の文献の結果に頼る段は「引用」と明記し、頁の「定義と準備」に一覧で示す。原論文が省いた段を本書で補ったときは、そのことを明記する。

原論文との違いと未解決の段

• 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、正しい形（補うべき仮定）と、印字のままでは成り立たないことを示す反例を並べて書く。
• 本書で証明を閉じられなかった段は、仮定として明示したうえで先へ進む。
• 「その後の発展」の節は原論文の主張と分けて書き、何年の時点での知見かを明記する。予想は予想として、証明済みの定理と区別する。