1-3 Azumaya 代数と PGL トーサー

$A\otimes k$ の階数 $1$ の冪等元 $e_0$ をとる。$e_0$ の持ち上げ $a\in A$ は左乗法の特性多項式の根なので、$R[a]$ は $R$ 上有限な可換代数である。$R[a]\otimes k$ は Artin 可換環で、その像 $k[e_0]\cong k\times k$ への全射に沿って冪等元は持ち上がる（Artin 可換環は局所環の積）。これを (F1) で $R[a]$ の冪等元 $e$ に持ち上げると、$e$ は $A$ の冪等元で剰余は $e_0$ である。$P=Ae$ は $A$ の直和因子なので $R$ 上射影的、したがって自由で、$P\otimes k=M_r(k)e_0$ は $r$ 次元だから $P\cong R^r$。左乗法 $\lambda\colon A\to\operatorname{End}_R(P)$ は、閉ファイバーで $M_r(k)\to\operatorname{End}_k(k^r)$ の同型になる。両辺は階数 $r^2$ の自由加群なので、中山の補題で $\lambda$ は全射、階数の比較で同型。

段 1（局所環上の自己同型は内部）．$R$ を局所環、$u$ を $M_r(R)$ の自己同型、$e_{ij}$ を行列単位とする。$f=u(e_{11})$ は冪等元で、閉ファイバーでは $u_0$（Skolem–Noether の定理（本書『1-2 中心単純環と分裂体』）により内部 $b(\cdot)b^{-1}$）による $e_{11}$ の像だから階数 $1$。よって $fR^r$ は階数 $1$ の射影加群で、$R$ は局所だから $fR^r=Rq$ と書ける。$a\colon R^r\to R^r$ を $a(\varepsilon_i)=u(e_{i1})q$（$\varepsilon_i$ は標準基底）で定めると、
$$u(e_{jl})\,a(\varepsilon_i)=u(e_{jl}e_{i1})q=\delta_{li}\,u(e_{j1})q=a(e_{jl}\varepsilon_i)$$
なので $u(m)a=am$（$m\in M_r(R)$）。閉ファイバーでは $q_0=\lambda be_1$（$\lambda\ne0$）と書け、$a_0(\varepsilon_i)=\lambda b\varepsilon_i$ だから $a_0$ は可逆、よって $a$ は可逆で $u(m)=ama^{-1}$。$am=ma$（全 $m$）なら $a$ はスカラーなので、$a$ は $R^\times$ 倍を除いて一意。以上から $\operatorname{Aut}(M_r(\mathcal O_X))=\mathrm{GL}_r/\mathbb G_m$ が Zariski 位相でも既に成り立ち、上の定義（群スキーム $\mathrm{PGL}_r$）によりこれが $\mathrm{PGL}_r$ である。
段 2（トーサーとの辞書）．$\operatorname{Az}_r(X)\cong H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ は次の辞書による：$A$ に対し $\mathcal Isom(M_r,A)$ は（後の定理（Azumaya 代数の特徴づけ）の (iii) により）エタール局所に切断をもつ $\mathrm{PGL}_r$ トーサーであり、逆にトーサー $T$ から $M_r$ を $T$ で捩って代数を作る。捩った対象が実際にスキーム上の代数として存在することは、アフィンな対象の降下が有効であること（F4）による。fppf 位相でも同じ辞書が成り立ち、fppf トーサーから作った代数は同じ定理の (iv) により Azumaya 代数なので、(iii) によりエタール局所に自明である。よって両者のトーサーの類は一致する。

$R=\mathcal O_{X,x}$ とし、$A_x$ を階数 $r^2$ の自由 $R$ 代数とする。$1,\xi_0,\dots,\xi_0^{r-1}$ は独立なので、$M=\sum_{i< r}R\xi^i$ は階数 $r$ の自由な直和因子である。要点は $\xi^r\in M$ を示すことである。
段 1（ネーター化）．構造定数、$\xi$ の座標、$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(A)$ の逆行列の成分、$1,\dots,\xi^{r-1}$ の独立性を与える小行列式の逆元で生成される $R$ の部分環を、$\mathfrak m$ との交わりで局所化したネーター局所環 $\Lambda$ の上で示せば、底変換で $R$ の場合が従う。$\Lambda$ 上でも仮定は保たれる（剰余体上の $\xi$ の値の生成する代数は、独立性から次元 $\ge r$、次数 $r$ の中心単純環の元なので Cayley–Hamilton から次元 $\le r$、底変換がエタールなのでエタール）。
段 2（Artin 化）．$R$ がネーターなら Krull の交叉定理で $\bigcap_n\mathfrak m^n(A/M)=0$ なので、各 $R/\mathfrak m^n$ 上で示せばよい。
段 3（Artin 局所環の場合）．$A\otimes\kappa$ は有限分離拡大 $\kappa'=\kappa(\alpha)$ で分裂する（本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（極大エタール部分代数と分裂）の (c)）。$\alpha$ の最小多項式のモニックな持ち上げ $g$ で $R'=R[t]/(g)$ とおくと、$R'$ は $R$ 上有限自由で剰余体 $\kappa'$ の局所 Artin 環であり、本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（局所 Artin 環上の持ち上げ）により $A\otimes R'\cong M_r(R')$。行列 $\xi\otimes1$ は次数 $r$ の特性多項式の根なので $\xi^r\in M\otimes R'$。$R\to R'$ は忠実平坦なので $\xi^r\in M$。
段 4（近傍への延長）．$\xi^r=\sum_{i< r}a_i\xi^i$ から $P(t)=t^r-\sum a_it^i$ をとると、$R[t]/(P)\to R[\xi]=M$ は同じ階数の自由加群の全射なので同型で、$P$ の剰余は $\xi_0$ の最小多項式だから判別式は単元である。これらの等式と可逆性は $x$ の近傍へ延び、そこで $\mathcal O[\xi]\cong\mathcal O[t]/(P)$ は階数 $r$ の有限エタール部分代数になる。

段 1（(i)⇔(ii)）．$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\mathcal End(A)$ は同じ階数の局所自由加群の射なので、同型であることは各点のファイバーで確かめればよい（中山の補題）。ファイバーでは本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（中心単純環の特徴づけ）の (ii)⇔(iii) である。(i) のファイバーは $0$ でないので階数は正である。
段 2（(iii)⇒(iv)）．有限エタール全射は fppf 被覆である。
段 3（(iv)⇒(ii)）．局所自由性（有限表示かつ平坦）と写像の同型性は忠実平坦な底変換から降りる（F4）。$M_r$ は (ii) をみたす。
段 4（(i)⇒(iii)：極大エタール部分代数）．点 $x$ のアフィン近傍 $U=\operatorname{Spec}R$ で $A$ の階数は一定 $r^2$ としてよい。本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（極大エタール部分代数と分裂）の (a) で $A(x)$ の正則元 $\xi_0$ をとり、$U$ 上の切断 $\xi$ に持ち上げると、上の補題（正則元の延長）により $U$ を縮めて $L=\mathcal O_U[\xi]$ は極大エタール部分代数になる。$U'=\operatorname{Spec}L\to U$ は有限エタールで、階数 $r\ge1$ なので全射である。
段 5（$A$ を $L$ 上の自己準同型環として表す）．$A$ を右 $L$ 加群とみる。$L_x$ は $R$ 上有限なので半局所環であり、ファイバー $A(x)$ の $L(x)$ 上の基底（本書『1-2 中心単純環と分裂体』の定理（極大エタール部分代数と分裂）の (b)）を持ち上げると、中山の補題により $A_x$ は右 $L_x$ 加群として階数 $r$ の自由加群になる。準同型 $v\colon A\otimes_{\mathcal O}L\to\mathcal End_L(A)$、$a\otimes l\mapsto(y\mapsto ayl)$ は階数 $r^2$ の自由 $L_x$ 加群の間の写像で、各剰余体への底変換が同じ定理の (b) により同型なので、行列式は $L_x$ の単元で、$v$ は同型である。これを近傍へ延ばすと、$U$ を縮めて $A_{U'}\cong\mathcal End_{\mathcal O_{U'}}(E')$（$E'$ は $A$ を $U'$ 上の階数 $r$ の局所自由加群とみたもの）となる。
段 6（$E'$ を自由にする）．$x$ の上の $U'$ の点は有限個 $x'_1,\dots,x'_s$ であり、それらの外の元の積閉集合 $S$ で局所化した $L_S$ は半局所環なので、階数一定の射影加群 $E'_S$ は自由である。この自由性は、ある $h\in S$ について $D(h)\subset U'$ の上で既に成り立つ。$Z=U'\smallsetminus D(h)$ の像は、有限射が閉写像であることから $U$ の閉集合で、$x$ を含まない。$U_1=U\smallsetminus(Z\text{ の像})$ とおくと、その逆像 $U'_1$ は $D(h)$ に含まれ、$U'_1\to U_1$ は有限エタール全射で、$A_{U'_1}\cong M_r(\mathcal O_{U'_1})$ となる。

$A$ が局所自由なら、全射 $U'\to U$ の点 $x'$ で $A(x)\otimes\kappa(x')\cong M_r(\kappa(x'))$ となるので、$A(x)$ は中心単純であり (i) が従う。$X$ が被約なら、同じ式からファイバーの次元は $r^2$ で一定であり、被約なスキーム上の有限表示加群でファイバーの次元が局所定数なものは局所自由なので、(iii)′ から (i) が従う。被約でない $X$ では、この段が成り立たない（例と反例の節の反例（原論文の (iii) bis））。

本書『1-1 位相空間の Brauer 群』の定理（余境界の単射性）と同じ議論が、エタール位相の層で成り立つ。中心拡大 $1\to\mathbb G_m\to\mathrm{GL}_r\to\mathrm{PGL}_r\to1$ はエタール層の完全列である（右端の全射性は上の定義（群スキーム $\mathrm{PGL}_r$）により Zariski 局所に既に成り立つ）。非可換コホモロジーの余境界 $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ があり（Giraud。引用。階数が一定でない代数にも $\delta$ が定まる）、$\delta(A)=0$ は $A\cong\mathcal End(E)$（$E$ は階数 $r$ の局所自由加群）と同値である。テンソル積との両立、同値類上での well-definedness、単射性は本書『1-1 位相空間の Brauer 群』の同定理の証明の (a)(b) の議論がそのまま通る。$r\delta(A)=0$ も、行列式と $r$ 乗写像による中心拡大の射（同証明の (c)）で示せる。この議論は $r$ が $X$ 上可逆であることを使わない。$X$ が準コンパクトなら $A$ の階数は有限個の値しかとらないので、$\mathrm{Br}(X)$ は捩れ群である。

段 1（単射性）．$A,A'\in\operatorname{Az}_r(R)$ の閉ファイバーが同型とする。代数の同型のスキーム $I=\mathcal Isom_{\text{alg}}(A,A')$ は、$A,A'$ が自由なので $\mathcal Hom_R(A,A')\times\mathcal Hom_R(A',A)$ の中の方程式で定まる $R$ 上アフィンな有限表示スキームであり、$A,A'$ がともにエタール局所に $M_r$ に同型であること（上の定理（Azumaya 代数の特徴づけ））と上の定理（Skolem–Noether の局所版）により、$\mathrm{PGL}_r$ トーサーである。したがって $I$ は $R$ 上滑らかで、仮定から $I(k)\ne\emptyset$。(F2) により $I(R)\ne\emptyset$、すなわち $A\cong A'$。
段 2（全射性）．$s=r^2$ とし、$\mathbb Z$ 上の $s$ 次元の代数の構造定数と単位元のうち、結合律と単位元の条件（閉条件）と、$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(A)$ の行列式の可逆性（開条件）をみたすもののなすアフィンスキームを $\Sigma$ とする。上の定理（Azumaya 代数の特徴づけ）により、$\Sigma(T)$ は $\mathcal O_T^s$ 上の Azumaya 代数の構造の集合である。$\mathrm{GL}_s$ は $\Sigma$ に作用し、$M_r$ の構造の軌道写像 $\pi\colon\mathrm{GL}_s\to\Sigma$ は、同じ定理によりエタール層の全射で、固定化群は上の定理（Skolem–Noether の局所版）により $\mathrm{PGL}_r$ である。よって $\pi$ は $\Sigma$ 上の $\mathrm{PGL}_r$ トーサーであり、滑らかな全射である。$\mathrm{GL}_s$ は滑らかなので、(F4) により $\Sigma$ も滑らかである。$k$ 上の Azumaya 代数 $A_0$ は基底の選択で $\Sigma(k)$ の点を与え、(F2) で $\Sigma(R)$ の点に持ち上がる。
段 3（$\mathrm{Br}$ の同型）．$\mathrm{Br}(R)\to\mathrm{Br}(k)$ の全射性は段 2 から明らか。単射性：$[A_0]=0$ なら $A_0\cong M_r(k)$（体上では類 $0$ の中心単純環は行列環：Wedderburn の分解の一意性）で、上の補題（分裂した閉ファイバー）により $A\cong M_r(R)$。

自明な極大エタール部分代数 $L\cong\mathcal O^r$ があれば、$\operatorname{Spec}L\to X$ の切断は $L$ の冪等元 $e$ で $Le\cong\mathcal O$ となるものに対応し、$Ae$ は（幾何的ファイバーで行列単位に共役なので）階数 $r$ の局所自由加群で、左乗法 $A\to\mathcal End(Ae)$ は階数の等しい Azumaya 代数の射として同型である。よって $A$ は Zariski 局所に $M_r$ に同型である。逆は対角行列の部分代数をとればよい。