4-1 fppf 位相と相対 Picard 群

fppf 位相による相対 Picard 群の解析（relative Picard group via the fppf topology）とは、Grothendieck が講演「Le groupe de Brauer」III Gro68 の §5 で行った、相対 Picard 群 $\mathrm{Pic}(X/Y)$ の元を絶対 Picard 群へ持ち上げる障害を $H^2(Y,\mathbb G_m)$ の元として取り出す議論である。本頁では、相対 Picard 群の元がエタール局所に持ち上がること（III (5.1)）、障害準同型 $\partial$ を含む完全列（III (5.3)）、分離閉体上の固有スキームで $H^2(-,\mathbb G_m)$ が代数閉包への底変換でどう変わるかの記述（III (5.6)〜(5.9)）を示し、分離閉体上の固有曲線で $\mathrm{Br}=0$ となること（III (5.8)の引用）を導く。原論文 III §5 に当たる。
前提知識: fppf位相, エタールコホモロジー, 相対Picard関手, コホモロジー的Brauer群, Lerayスペクトル系列, 狭義Hensel局所環

この頁で示すこと

本頁の記号は本書の記号表に従う。とくに $H^i(X,F)$ は添字が無ければエタールコホモロジーであり、fppf 位相では $H^i(X_{\mathrm{fppf}},F)$ と添字を付ける。$\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$ であり、捩れでない部分まで含めるときは $H^2(X,\mathbb G_m)$ と書く。第1章の余境界 $\delta$ と区別するため、本頁の障害準同型は $\partial$ と書く。射 $f:X\to Y$ に課す条件 (S) と相対 Picard 群 $\mathrm{Pic}(X/Y)$ は「定義と準備」で定める。後半では $k$ を分離閉体、$\bar k$ をその代数閉包、$X$ を $k$ 上固有なスキーム、$P=\mathrm{Pic}_{X/k}$ をその Picard スキームとし、$H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}$ で $X_{\bar k}$ の $H^2$ のうち降下データと両立する元の部分群を表す。
本頁の主結果は次の七つである。

1. エタール局所的な持ち上げ（III (5.1)）：$f$ が (S) を満たせば、$\mathrm{Pic}(X/Y)$ の各元は $Y$ のエタール被覆の上で $\mathrm{Pic}(X)$ の元の像になり、とくに $Y$ が狭義局所なら $\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X/Y)$ は同型である（III (5.2)、系「狭義局所な底」）。［条件付き：比較定理（『エタールと fppf の比較定理』の頁）と引用 3 を引用］
2. 障害準同型を含む完全列（III (5.3)）：(S) の第 2 条件が任意の底変換で保たれるとき、完全列 $0\to\mathrm{Pic}(Y)\to\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X/Y)\xrightarrow{\ \partial\ }H^2(Y,\mathbb G_m)\to H^2(X,\mathbb G_m)^{\mathrm{tr}}\to H^1(Y,\mathcal Pic_{X/Y})$ がある（記号は本文で定める）。［条件付き：比較定理と引用 1・2 を引用］
3. 分離閉体上の降下の完全列（III (5.6)）：完全列 $0\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},P)\to H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}\to H^2(k_{\mathrm{fppf}},P)$ がある。［条件付き：比較定理と引用 2、fppf 被覆の細分を引用。証明は概略］
4. Picardスキームが滑らかな場合（III (5.7)）：$P$ が滑らかなら $H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}$ は同型であり、$H^2(X,\mathcal O_X)=0$ または $H^1(X,\mathcal O_X)=0$ なら $P$ は滑らかである。［条件付き：比較定理と引用 4 を引用］
5. 分離閉体上の曲線（III (5.8)）：分離閉体上の固有な代数曲線 $X$ について $H^2(X,\mathbb G_m)=0$、とくに $\mathrm{Br}(X)=0$ である。［条件付き：引用 7・8 を引用］
6. Picardスキームが滑らかでない場合（III (5.9)、式 (5.16)〜(5.18)）：標数 $p>0$ で $P_{\mathrm{red}}$ が滑らかな部分群スキームなら、$H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}$ は全射であり、$k$ が完全でないとき、それが単射であることと $P$ が滑らかであることは同値である。［条件付き：引用 5 を引用］
7. 降下の写像の全射性（III 式 (5.19)）：$P$ に何も仮定しなくても $H^i(k_{\mathrm{fppf}},P)=0$（$i\ge2$）であり、$H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}$ はつねに全射である。［条件付き：引用 4・6 を引用］
   証明はいずれも、fppf 位相とエタール位相の比較定理（本書『エタールと fppf の比較定理』の頁で証明する）と、「定義と準備」に一覧にした引用に依存する。原論文はもう一つ、$f$ が射影的な場合に $\partial$ の値が Azumaya 代数の Brauer 群 $\mathrm{Br}(Y)$ に入るという主張（III (5.5)）を述べる。本頁はこれを証明しない。その理由は「主結果と証明」の注意「障害はいつAzumaya代数の類になるか」に書く。

背景と動機

第2章で見たとおり、Brauer 群は $H^2(-,\mathbb G_m)$ の中に住む。他方、相対 Picard 関手 $\mathcal Pic_{X/Y}$ は、$Y$ 上のスキーム $Y'$ に $\mathrm{Pic}(X\times_YY')/\mathrm{Pic}(Y')$ を対応させる関手を層化して得られ、FGA 以来、忠実平坦な位相で層化するのが自然とされてきた。層化をすると、$Y$ 全体の上では「局所的には直線束の類だが、大域的には直線束から来ない」元が現れる。§5 の出発点は、この「来ない」ことの障害が $H^2(Y,\mathbb G_m)$ に値をもつこと、すなわち相対 Picard 群と Brauer 群が一本の完全列でつながることである。
この完全列を得るには Leray スペクトル系列を fppf 位相で使う必要がある。一方、Brauer 群はエタール位相で定義される。二つの位相をつなぐのが、滑らかな可換群スキームについてエタールコホモロジーと fppf コホモロジーが一致するという比較定理であり、原論文は §5 ではこれを引用し、証明を付録 §11 に回す（本書の『エタールと fppf の比較定理』の頁）。
§5 の後半は、分離閉体 $k$ 上の固有スキームを扱う。$k$ が完全でないとき、代数閉包 $\bar k/k$ は純非分離拡大であり、$\operatorname{Spec}\bar k\to\operatorname{Spec}k$ はエタールでない。したがって Galois 降下は使えず、$H^2(X,\mathbb G_m)$ と $H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)$ の関係はエタール位相だけでは見えない。fppf 位相では純非分離拡大も被覆になるので、降下の言葉で比較ができる。そこに現れる障害が $\mathrm{Pic}_{X/k}$ の fppf コホモロジーであり、それが消えるかどうかは $\mathrm{Pic}_{X/k}$ が滑らかかどうかで決まる。つまり、Picard スキームの非被約性が Brauer 群に跡を残すというのが §5 後半の内容である。

定義と準備

fppf 位相

スキーム $X$ の fppf 景 $X_{\mathrm{fppf}}$ とは、$X$ 上局所有限表示なスキームを対象とし、平坦かつ局所有限表示な射の全射族を被覆とする景である（fppf位相）。エタール射は平坦かつ局所有限表示なので、エタール景 $X_{\mathrm{et}}$ は $X_{\mathrm{fppf}}$ の充満部分圏であり、景の射
$$ \varepsilon:X_{\mathrm{fppf}}\to X_{\mathrm{et}} $$
がある。$\varepsilon_*$ はエタールな対象への制限である。原論文は fppf 景を $X_{\mathrm{pl}}$ と書き、この射を $p$ と書く。
$X$ 上の可換群スキーム $G$ は、$T\mapsto\operatorname{Hom}_X(T,G)$ によって $X_{\mathrm{fppf}}$ 上の層を定め、それを $X_{\mathrm{et}}$ に制限したものがエタール層としての $G$ である。
こうして同じ $G$ が二つの位相でコホモロジーをもつ。両者を比べる標準写像について、$G$ に何も仮定せずに言えることを先に見ておく。

高い次数での同型には $G$ の滑らかさが要る。次の定理は本書の『エタールと fppf の比較定理』の頁で証明する（そこで述べる引用に依存する）。

一方、滑らかでない群では $\mathbb G_m$ の $p$ 乗写像がエタール位相で全射でなくなる。次の事実が、§5 後半の非消滅の源である。

$p$ が可逆でないとき $T'\to T$ はエタールでない。これがエタール位相との違いである。

相対 Picard 群

比較定理の使い道は、相対 Picard 群を fppf 位相の Leray スペクトル系列で扱うことにある。まずその相対 Picard 群を、fppf 位相での層化として定める。

本頁では、次の条件をまとめて (S) と呼ぶ。

• $f$ は準コンパクトかつ準分離である。
• 任意の平坦な $Y'\to Y$ について $\mathcal O_{Y'}\to f'_*\mathcal O_{X\times_YY'}$ は同型である（$f'$ は底変換）。原論文はこれを式 (5.3) として置き、平坦な底変換で保たれることを注意する。後半の議論では、より強く任意の底変換で保たれることを仮定する。
• $f$ は $Y$ 上 fppf 局所的に切断をもつ（たとえば $f$ が忠実平坦かつ有限表示）。

引用する事実

次の事実は本頁では証明せず、引用として使う。出典は主に SGA4、SGA3、FGA、Mil80 で、該当箇所は本頁では確認していない。

1. 高次順像の茎（SGA 4 VIII の型）：$f$ が準コンパクト準分離なら、エタール層 $F$ について $(R^qf_*F)_{\bar y}\cong H^q(X\times_YY_{\bar y},F)$ である。ここで $Y_{\bar y}$ は $\bar y$ における狭義局所化である。
2. 極限との交換（SGA 4 VII の型）：準コンパクト準分離なスキームのアフィンな射影系について、コホモロジーは帰納極限と交換する。
3. 狭義局所なスキームの非輪状性：$Y$ が狭義局所なら、任意のエタール層 $F$ について $H^i(Y,F)=0$（$i\ge1$）。また $Y$ のエタール被覆の一つの成分は $Y$ と同型な連結成分をもつ（剰余体が分離閉で、$\mathcal O_Y$ が Hensel であることによる）。
4. Picard スキーム（FGA）：$X$ が体 $k$ 上固有なら、$\mathrm{Pic}_{X/k}$ は $k$ 上局所有限型な群スキームで表現され、原点での接空間は $H^1(X,\mathcal O_X)$、変形の障害は $H^2(X,\mathcal O_X)$ に住む。
5. 無限小群の分類（SGA 3 の型）：分離閉体 $k$（標数 $p>0$）上の有限無限小可換群スキームで単純なものは $\alpha_p$ または $\mu_p$ に同型である。
6. 滑らかな商（SGA 3 の型）：標数 $p>0$ の体 $k$ 上局所有限型な可換群スキーム $P$ には、有限無限小な部分群スキーム $N$ で $P/N$ が滑らかになるものがある。
7. 代数閉体上の曲線：代数閉体上の代数曲線 $C$ について $\mathrm{Br}(C)=0$（III (1.2)。本書『次元 1 以下の体』の頁）。
8. 次元 1 での $\mathrm{Br}=H^2$：ネーターで次元 1 以下のスキーム $V$ では $\mathrm{Br}(V)=H^2(V,\mathbb G_m)$（II (2.2) として引かれる形）。剰余体の条件は要らない。

主結果と証明

原論文は §5 の前半で結論を短く並べ、証明の多くを「いつものように」「直ちに」で済ませる。本頁では依存の順に並べ直し、省かれた段を補う。とくに原論文は、エタール位相での層化の式（原論文の式 (5.7)）を狭義局所な底の場合（III (5.2)）より前に印字するが、論理的には後者が先に要るので、本頁はその順に述べる。

前半：障害の完全列

出発点は、$f$ の fppf 位相での Leray スペクトル系列の低次の部分である。そこに現れる順像を (S) のもとで同定し、比較定理で $H^1$ と $H^2$ を読み替えると、相対 Picard 群と $H^2(Y,\mathbb G_m)$ をつなぐ列が得られる。

(S) の第 3 条件（fppf 局所的な切断）は、原論文が $\mathcal Pic_{X/Y}$ を FGA の定義（忠実平坦な位相での層化）と一致させるために置くもので、上の証明の段では直接は使っていない。原論文は (S) のもとでの等式 $\mathcal Pic_{X/Y}=R^1f_*\mathbb G_m$ に「一粒の塩をもって」という但し書きを付ける（III 印字 p. 126）。本頁の定義では、これは両辺を $Y$ 上平坦かつ局所有限表示な対象の上で比べるという意味である。
補題の完全列は、相対的な類が絶対的な直線束から来るための障害を $H^2(Y,\mathbb G_m)$ の元として与える。この障害が fppf 局所にではなくエタール局所に消えることが、次の定理である。

底が狭義局所なら、エタール局所的な持ち上げは大域的な持ち上げになる。

系は、狭義局所化の上では相対 Picard 群と絶対 Picard 群が一致することを言う。これを茎ごとに読めば、fppf 位相で層化した $\mathcal Pic_{X/Y}$ をエタール位相に制限したものが何であるかが分かる。

原論文はこの主張を III (5.1) の言い換えと位置づけ、証明を書かない。上の概略では、系を狭義局所化 $Y_{\bar y}$（$Y$ 上局所有限表示とは限らない）に当てるところで、相対 Picard 群の定義を極限で延ばす操作を引用 2 に任せている。
この命題により、fppf 位相で得た補題の完全列を、エタール位相の Leray スペクトル系列から読み直すことができる。その利点は、列が右へ延びて $H^2(X,\mathbb G_m)$ との関係まで見えることである。

$H^2(X,\mathbb G_m)^{\mathrm{tr}}$ は、原論文が「遷移的な元」と呼ぶものを核として書き直したものである。$\partial\xi=0$ であることと $\xi$ が $\mathrm{Pic}(X)$ から来ることが同値なので、$\partial$ は相対的な直線束の類を絶対的な直線束へ持ち上げる障害である。$\partial$ の像は $H^2(Y,\mathbb G_m)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ の核であり、「$X$ に引き戻すと消える Brauer 類」を相対 Picard 群が記述する、と読むこともできる。
残る問いは、この障害が Azumaya 代数の類として実現されるか、すなわち $\partial$ の値が $\mathrm{Br}(Y)$ に入るかである。原論文はこれに一つの主張を与えるが、本頁はそれを定理としては扱わない。

後半：分離閉体上の固有スキーム

以下、$k$ を分離閉体、$\bar k$ をその代数閉包（$\bar k/k$ は純非分離拡大）、$X$ を $k$ 上固有なスキーム、$P=\mathrm{Pic}_{X/k}$ とする。
$$ H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}:=\ker\Big(H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)\rightrightarrows H^2(X\otimes_k(\bar k\otimes_k\bar k),\mathbb G_m)\Big) $$
と置く。二つの射は $\bar k\otimes_k\bar k$ の二つの因子への埋め込みから来る。これは、降下の意味で「$k$ 上に定義されていてよい」元の部分群である。
前半と同じ Leray スペクトル系列を、今度は底を体 $k$ にして使う。底の fppf コホモロジーの係数として Picard スキーム $P$ が現れ、それが $H^2(X,\mathbb G_m)$ と上の部分群との差を測る。

原論文は (4) を「容易な極限移行」とだけ書く。上の概略は、分離閉体の fppf 被覆が純非分離拡大で細分できるという一点に帰着させたものであり、層化の大域切断と帰納極限の交換は引用 2 に任せている。
この列の両端が消えれば、$H^2(X,\mathbb G_m)$ は降下データと両立する元の群そのものになる。両端が消える最も簡単な場合が、$P$ が滑らかな場合である。

滑らかさの十分条件のうち $H^2(X,\mathcal O_X)=0$ は、次元 1 では自動的に満たされる。これが曲線の場合を与える。

$X_{\bar k}$ に引用 8 を当てる段に留保はない。$X_{\bar k}$ はネーターで次元 $1$ の曲線であり、引用 8 は剰余体の条件なしに適用できる（原論文は III (1.2) を $X_{\bar k}$ に当てることも、そのために単射性が要ることも書かず、「(1.2) を使えば」とだけ書く）。
$P$ が滑らかでない場合には、命題の列の両端が残る。標数 $p>0$ で、$P$ を滑らかな部分と無限小の商に分けて、その残りがどれだけかを見る。

原論文はこの計算を「容易な分解（dévissage）」の一言で済ませ（III 印字 p. 132）、$\alpha_p$ と $\mu_p$ への分解も、$H^1$ が $0$ でないことの論証も書かない。また原論文は、$P^0$ が $k$ 上固有なら（たとえば $X$ が幾何的に正規なら）$P_{\mathrm{red}}$ が滑らかな部分群スキームになると述べるが、紙面に証明は無く、本書は確かめていない。非完全体の上では被約な群スキームが滑らかとは限らないので、本頁ではこれを仮定として置いた。
前の命題は $P_{\mathrm{red}}$ の滑らかさを仮定した。全射性だけなら、この仮定なしに同じ結論が得られる。

原論文は $N$ の存在を使えと括弧で指示するだけで、この長完全列を書かない。また原論文の印字では、結論の右辺が $\mathrm{Br}(X_{\bar k})^{\mathrm{inv}}$ と書かれているが、定義に合わせて $H^2(X_{\bar k},\mathbb G_m)^{\mathrm{inv}}$ と読む。

例と反例

以下の例は、前半の障害準同型が実際に $0$ でない値をとる場合と、後半で群の滑らかさを外したときに何が起きるかを示す。まず前半の例である。

次の二つは後半に関わる。まず、比較定理の滑らかさの仮定が外せないことを、最も小さい群で見る。

この $\mu_p$ の計算が、Picard スキームが被約でない場合にそのまま効く。

曲線ではこの現象は起きない。次元 1 では $H^2(X,\mathcal O_X)=0$ なので Picard スキームはつねに滑らかであり、系「分離閉体上の曲線」の証明がその事実を使っている。

その後の発展

以下は原論文（1966 年の講演、1968 年刊）より後の展開であり、本頁では出典を確認していない。

• 相対 Picard 関手を fppf 位相での層化として定義し、原論文の完全列（補題と定理「障害準同型を含む完全列」）を基本的な道具として述べる扱いは、その後の Picard スキームの解説（たとえば 2005 年に刊行された FGA の解説書の Kleiman の章）で標準になったとされる。表現可能性は、M. Artin により代数空間としての表現可能性へ一般化されたとされる（1969 年ごろ）。
• 障害 $\partial\xi$ は、$\xi$ を直線束へ持ち上げる仕方の全体がなす $\mathbb G_m$ ジェルブの類として解釈される。この見方は J. Giraud の非可換コホモロジー（1971 年刊）に由来するとされ、原論文が類の一致を Giraud に帰したこととつながると読めるが、原論文の紙面はそう書いていない。
• $\mathrm{Br}$ と $H^2(-,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$ の比較については、本書『2-2 Brauer 類の実現』の頁の「その後の発展」を見よ。

原論文との対応表

原論文の §5 では、式番号と言明の番号が同じ数字を使う（式 (5.1)〜(5.4) と定理 (5.1)・系 (5.2)(5.3) など）。上の表では種別を添えて区別した。また原論文は式番号 (5.12) を二度印字している。