2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数

左と中央の完全性は定義による。右端の全射性：切断 $u\in\Gamma(U,\mathcal O_U^\times)$ に対し $U'=\operatorname{Spec}_U\mathcal O_U[t]/(t^n-u)$ をとると、$t^n-u$ の微分 $nt^{n-1}$ は $U'$ 上可逆（$n$ と $t$ が可逆）なので $U'\to U$ はエタール全射であり、$U'$ の上で $u$ は $n$ 乗になる。

段 1（短完全列）．上の補題（Kummer 列の完全性）から得られる長完全列の一部
$$H^1(X,\mathbb G_m)\xrightarrow{n}H^1(X,\mathbb G_m)\to H^2(X,\mu_n)\to H^2(X,\mathbb G_m)\xrightarrow{n}H^2(X,\mathbb G_m)$$
で $H^1(X,\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(X)$ だから、左の余核 $\mathrm{Pic}(X)/n$ と右の核 ${}_nH^2(X,\mathbb G_m)$ で短完全列ができる。${}_nH^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れ元だけからなるので ${}_n\mathrm{Br}'(X)$ に等しい。一般の $i$ でも同じで、$0\to H^{i-1}(X,\mathbb G_m)/n\to H^i(X,\mu_n)\to{}_nH^i(X,\mathbb G_m)\to0$。
段 2（極限）．$\nu$ について、層の射 $(\text{包含},\ \mathrm{id},\ x\mapsto x^\ell)$ は Kummer 列の射
$$[\mu_{\ell^\nu}\to\mathbb G_m\xrightarrow{\ell^\nu}\mathbb G_m]\longrightarrow[\mu_{\ell^{\nu+1}}\to\mathbb G_m\xrightarrow{\ell^{\nu+1}}\mathbb G_m]$$
を与える（右の四角：$x\mapsto x^{\ell^\nu}\mapsto x^{\ell^{\nu+1}}$）。これが短完全列の間に誘導する写像は、左では $\mathrm{Pic}/\ell^\nu\xrightarrow{\ell}\mathrm{Pic}/\ell^{\nu+1}$（右端の $\mathbb G_m$ の縦の射が $\ell$ 乗だから）、右では包含 ${}_{\ell^\nu}\mathrm{Br}'\subset{}_{\ell^{\nu+1}}\mathrm{Br}'$（中央の縦の射が恒等だから）である。帰納極限は完全なので、
$$\varinjlim(\mathrm{Pic}/\ell^\nu,\ \times\ell)=\mathrm{Pic}\otimes\varinjlim(\mathbb Z/\ell^\nu,\ \times\ell)=\mathrm{Pic}\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell,\qquad\varinjlim{}_{\ell^\nu}\mathrm{Br}'=\mathrm{Br}'(\ell)$$
から 2 番目の列を得る。3 番目も同じ。

$M$ の Pontryagin 双対 $M^\vee=\operatorname{Hom}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は副有限な $\mathbb Z_\ell$ 加群で、$M^\vee/\ell M^\vee=({}_\ell M)^\vee$ は有限。副有限（コンパクト）加群に対する中山の補題により $M^\vee$ は有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群で、$M^\vee\cong\mathbb Z_\ell^r\oplus F^\vee$。双対をとり直して主張の分解を得る。$T_\ell(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)=\mathbb Z_\ell$、$T_\ell F=0$ から $r=\operatorname{rank}T_\ell M$。

前半は Pontryagin 双対が完全で、有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群の階数が加法的であることによる。後半：$x\in N$ が $\ell^m x=0$ なら、$x\otimes y=x\otimes\ell^m y'=\ell^mx\otimes y'=0$（$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ は可除）。

段 1（余有限型）．$X$ は準コンパクト準分離なので、$H^i(X,\mu_{\ell^\infty})$ は層 $\mu_{\ell^\infty}$ のコホモロジーであり、層の完全列 $0\to\mu_\ell\to\mu_{\ell^\infty}\xrightarrow{\ell}\mu_{\ell^\infty}\to0$ の長完全列が使える。$H^i(X,\mu_\ell)$ が有限とすると、${}_\ell H^i(X,\mu_{\ell^\infty})$ は $H^i(X,\mu_\ell)$ の商なので有限であり、$H^i(X,\mu_{\ell^\infty})$ は余有限型。上の定理（Kummer の短完全列）の 3 番目の列により $H^i(X,\mathbb G_m)(\ell)$ はその商なので、上の補題（余階数の加法性）により余有限型である。
段 2（同型）．$H^{i-1}(X,\mathbb G_m)$ が捩れなら、その $\ell$ 準素でない部分は $\ell$ 倍で全単射なので $\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ で消え、$\ell$ 準素部分は上の補題（余階数の加法性）で消える。したがって上の定理（Kummer の短完全列）の 3 番目の列の左端は $0$ で、$H^i(X,\mu_{\ell^\infty})\cong H^i(X,\mathbb G_m)(\ell)$。

段 1（(1) の証明）．上の定理（余有限性）により、定理（Kummer の短完全列）の 2 番目の列の真ん中の項は余有限型で、補題（余階数の加法性）により左右の項も余有限型である。余階数の加法性から $\operatorname{corank}\mathrm{Br}'(X)(\ell)=b_\ell-\rho_\ell$。
段 2（(2) の左の項）．(K2)(K3) により $0\to\mathrm{Pic}^0(X)\to\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{NS}(X)\to0$ で、$\mathrm{Pic}^0(X)$ は $\ell$ 可除。$\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ は右完全で、$\ell$ 可除な群 $D$ について $D\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell=0$（$d\otimes y=\ell^m d'\otimes y=d'\otimes\ell^m y$ で、$y$ は $\ell^m y=0$ となる $m$ をもつ）。よって
$$\mathrm{Pic}(X)\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\cong\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^{\rho}$$
（有限生成群 $\mathrm{NS}(X)\cong\mathbb Z^\rho\oplus(\text{有限})$ の有限部分は補題（余階数の加法性）の後半で消える）。すなわち $\rho_\ell=\rho$。
段 3（(2) の真ん中の項）．(K1) で $H^2(X,\mu_\ell)$ は有限である。$k$ は代数閉なので $\mu_{\ell^\nu}\cong\mathbb Z/\ell^\nu$ と（$\nu$ について両立するように）同一視できる。(K1) により $H^i(X,\mathbb Z_\ell)$ は有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群であり、標準的な完全列
$$0\to H^2(X,\mathbb Z_\ell)\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\to H^2(X,\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)\to H^3(X,\mathbb Z_\ell)_{\mathrm{tors}}\to0$$
がある（引用。有限係数のコホモロジーの射影系が Mittag-Leffler 条件をみたすことによる）。左の項の余階数は $B_2$、右の項は有限なので、補題（余階数の加法性）により $b_\ell=B_2$。
段 4（(2) の結論）．(1) により $\operatorname{corank}\mathrm{Br}'(X)(\ell)=B_2-\rho$。補題（余有限型の群の構造）で分解の形を得る。余階数は負でないので $\rho\le B_2$。

段 1（曲線）．$X$ の連結成分 $X_i$ は、$H^0(X_i,\mathcal O)$ が $k$ の有限分離拡大、すなわち $k$ 自身なので幾何的に連結であり、滑らかなので幾何的に整である。$X$ は正則で次元 $1$ なので、本書『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』の定理（捩れ性と単射性）・定理（Azumaya 代数による実現）により $\mathrm{Br}(X)=H^2(X,\mathbb G_m)\hookrightarrow\bigoplus_i\mathrm{Br}(K_i)$（$K_i$ は $X_i$ の関数体）。$k$ が代数閉なら、Tsen の定理（本書『3-1 次元 1 以下の体』）により $\mathrm{Br}(K_i)=0$ で、$\mathrm{Br}(X)=0$。一般の分離閉体 $k$ では、$\bar k/k$ は純非分離で、$\bar K_i=K_i\otimes_k\bar k$ は代数閉体上の曲線の関数体なので $\mathrm{Br}(\bar K_i)=0$。$\bar K_i$ は $K_i$ の次数 $p^s$ の有限純非分離拡大の合併で、制限と余制限の合成は次数倍なので、$\mathrm{Br}(K_i)\to\mathrm{Br}(\bar K_i)$ の核の元はある $p^s$ で消える。よって $\mathrm{Br}(X)$ は $p$ の冪の位数の元だけからなる。
$k$ が代数閉のときは、Kummer 列からも $\ell$ 部分が見える：(K4) により $\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)$ は全射（次数 $1$ の因子がある）なので、定理（Kummer の短完全列）から ${}_n\mathrm{Br}'(X)=0$（$n$ は $p$ と素）。
段 2（曲面）．$d=2$ として (K5) から $B_0=B_4=1$、$B_1=B_3$、$c_2=2-2B_1+B_2$。(K6) により $B_1=2\dim\mathrm{Pic}^0_{X/k,\mathrm{red}}$ は $\ell$ によらないので、$B_2=c_2-2+2B_1$ も $\ell$ によらない。$\rho_\ell$ は、分離閉体の上でも $\mathrm{Pic}(X)$ が有限生成な群の $\ell$ 可除な群による拡大であること（(K2)(K3) の分離閉体上の形。引用）から $\ell$ によらない階数に等しい。$B_2$ はエタールコホモロジーが純非分離な底変換で変わらないので $b_\ell$ に等しい。本書『2-2 Brauer 類の実現』の定理（類の実現）により $\mathrm{Br}(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$ なので、余階数 $B_2-\rho$ は $\ell$ によらない。

(a) 補題．階数 $r$ の $E$ について、$\mathcal End(E)\sim\mathcal O$ であることと、$\mathrm{Pic}(X)\otimes\mathbb Q/\mathbb Z$ の中で $\det(E)\otimes\frac1r=0$ であることは同値である。実際、後者は、ある $k\ge1$ と $M$ で $k(\det E-rM)=0$ となることと同値である（$\mathrm{Pic}\otimes\mathbb Q/\mathbb Z=\varinjlim_m\mathrm{Pic}/m$）。$\Leftarrow$：$E'=E\otimes M^{-1}$ は $\mathcal End(E')=\mathcal End(E)$ をみたし、$T=\det E'$ は $kT=0$ をみたす。$E_1=\mathcal O^k$、$E_2=E'^{\oplus k}$ とすると $\det E_1=0$、$\det E_2=kT=0$ で、$\mathcal End(E')\otimes\mathcal End(E_1)\cong\mathcal End(E_2)$。$\Rightarrow$：$\mathcal End(E\otimes E_1)\cong\mathcal End(E_2)$ なら (K7) により $E_2\cong E\otimes E_1\otimes M$。行列式をとって $0=r_1\det E+r\det E_1+rr_1M=r_1(\det E+rM)$。
(b) 群であること．$A\otimes A^{\mathrm{op}}\cong\mathcal End(A)$ で、(K7) により $\det A$ は $2$ で消えるので、(a) により $\mathcal End(A)\sim\mathcal O$。よって $[A^{\mathrm{op}}]$ が $[A]$ の逆元である。
(c) 左の射．$N=\{[\mathcal End(E)]\}\subset\mathrm{SBr}(X)$ は部分群である（$\mathcal End(E)^{\mathrm{op}}\cong\mathcal End(E^\vee)$）。$\psi([\mathcal End(E)])=\det(E)\otimes\frac1{\operatorname{rk}E}$ と定める。$\mathcal End(E)\cong\mathcal End(E')$ なら (K7) により $E'\cong E\otimes M$ で $\det E'=\det E+rM$ なので値は変わらず、$\det E_i=0$ の $E_i$ とのテンソルでも値は変わらないので、$\psi$ は $N$ の上で well-defined な準同型である。(a) により単射で、$L\otimes\frac an=\psi([\mathcal End(L^{\otimes a}\oplus\mathcal O^{n-1})])$（$a\ge0$）なので全射である。よって $N\cong\mathrm{Pic}(X)\otimes\mathbb Q/\mathbb Z$。
(d) 完全性．$\mathrm{SBr}(X)\to\mathrm{Br}(X)$ は全射で、$[A]$ が $\mathrm{Br}(X)$ で $0$ となるのは $A\otimes\mathcal End(F)\cong\mathcal End(F')$ のとき、すなわち $[A]=[\mathcal End(F')]-[\mathcal End(F)]\in N$ のときである。
(e) 特性準同型．$X$ を準コンパクト準分離とする。次数 $n$ の Azumaya 代数 $A$ に (K8) の $\tau(A)\in H^2(X_{\mathrm{fppf}},\mu_n)$ を対応させ、$\mu_n\subset\varinjlim_m\mu_m$ で送る。テンソル積との両立と、$\det E\cong\mathcal O$ の $\mathcal End(E)$ のトーサーが $\mathrm{SL}_n$ に持ち上がる（$\tau=0$）ことから、これは $\mathrm{SBr}(X)$ 上の準同型を定める。$\mathrm{SBr}(X)$ は捩れ群（$\mathrm{Pic}\otimes\mathbb Q/\mathbb Z$ と、$X$ が準コンパクトなので捩れ群の $\mathrm{Br}(X)$ の拡大）なので、(d) の列の $\ell$ 準素部分も完全であり、$\ell$ 準素部分に制限すると、(K8) により値は $H^2(X,\mu_{\ell^\infty})$ に入る。これを $\chi\colon\mathrm{SBr}(X)(\ell)\to H^2(X,\mu_{\ell^\infty})$ とする。(K8) により、左の四角は $\psi$ と定理（Kummer の短完全列）の左の射 $L\otimes\frac1n\mapsto\partial_K(L)$ で（規約で決まる符号を除き）可換であり、右の四角は $\delta\colon\mathrm{Br}(X)(\ell)\to\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ で可換である。左の縦の射は同型で、$\delta$ は単射なので、蛇の補題により $\delta$ が同型であることと $\chi$ が同型であることは同値である。