6-2 正規曲面特異点の局所 Brauer 群
2 次元の完備正規局所環 $A$ の穴あきスペクトル $U$ について、局所 Picard 群 $\mathrm{Pic}(U)$ を連結成分と有限群 $\mathrm{NS}(U)$ に分け、$\mathrm{NS}(U)$ が特異点解消の交叉行列の余核として有限で、標準的な自己双対性をもつことを示す。さらに Kummer 列によって $H^1(U,\mu_n)$、$H^2(U,\mu_n)$ を $\mathrm{Pic}(U)$ と $\mathrm{Br}(U)$ で表す。原論文はここから、標数 0 で $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ が $\mathrm{Pic}^0(U)$ の Tate 加群の双対になると述べるが、証明の一段を自ら確認していないと明言している。本頁はその主張を「期待される形」として示し、証明済みの部分と分ける。原論文 III の §8.4 と Remarques (8.5) に当たる。
前提知識: 局所Picard群, 判別式形式, Kummer完全列, Tate加群, 特異点解消
この頁で示すこと
$A$ を剰余体 $k$ が代数閉な 2 次元の完備正規局所環、$X=\operatorname{Spec}A$、$x$ を閉点、$U=X\smallsetminus\{x\}$ とし、$\ell\ne p$、$n=\ell^\nu$ とする。$M$ は特異点解消の例外曲線 $C_1,\dots,C_r$ の交叉行列である。
本頁の主結果は次の 4 つである。
- 穴あきスペクトルの正則性と大域切断（原論文が書いていない一段）：$U$ は次元 1 の正則スキームで、$\Gamma(U,\mathcal O_U)=A$ であり、$n$ が $A$ で可逆なら $A^\times$ は $n$ 可除である。［完結］
- 連結成分と成分群による分解（原論文 III (8.13)〜(8.15)）：$0\to\mathrm{Pic}^0(U)\to\mathrm{Pic}(U)\to\mathrm{NS}(U)\to0$ は完全である。［条件付き：局所 Picard スキーム $\mathrm{Pic}_U$ の存在（SGA 2）を引用］
- 交叉行列による記述（原論文 III (8.16)）：$\mathrm{NS}(U)$ は位数 $|\det M|$ の有限群で、$M^{-1}$ から来る対称で完全な対 $\mathrm{NS}(U)\times\mathrm{NS}(U)\to\mathbb Q/\mathbb Z$ により標準的に自己双対である。［条件付き：2 の引用に加えて、$M$ の負定値性（Mumford）と $\mathrm{NS}(U)\cong\operatorname{Coker}(M\colon\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r)$（SGA 2）を引用］
- 局所的なKummer列（原論文 III (8.17)〜(8.19)）：$0\to{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to{}_n\mathrm{Pic}(U)\to{}_n\mathrm{NS}(U)\to0$ と $0\to\mathrm{NS}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Br}(U)\to0$ は完全で、$H^1(U,\mu_n)\cong{}_n\mathrm{Pic}(U)$ である。［条件付き：2・3 の引用に加えて、$\mathrm{Pic}^0(U)$ の $\ell$ 可除性を引用］
4 の証明で使う $\mathrm{Br}(U)=\mathrm{Br}'(U)$（II (2.2)）は、$U$ がネーターで次元 1 なので剰余体の分離閉性によらず留保なしに成り立つ。原論文はこの先で、$p=0$ なら $\mathrm{Br}(U)(\ell)\cong\operatorname{Hom}\bigl(T_\ell\mathrm{Pic}^0(U),\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\bigr)$、とくに $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ は可除であると述べる（III (8.20)〜(8.22)）が、原論文自身が証明の一段を確認していないと明言しており、本頁も定理としては述べず、「期待される双対性」の小節で未完結の主張として記録する。
背景と動機
前の頁では、代数閉体上の固有な曲面について、$\mathrm{Br}$ と $\mathrm{NS}$ の双対性を見た。原論文 §8.4 はその局所版を考える。固有な曲面の役割を、正規曲面特異点のまわりの「小さな穴あき近傍」$U$ が果たす。$U$ は次元 1 の正則スキームだが、体上有限型ではなく、その Picard 群は特異点の情報を担う。
複素数体上では、$U$ はおおまかに特異点のリンク（3 次元多様体）に当たり、$\mathrm{NS}(U)$ の自己双対性はリンクの絡み形式に対応する。原論文はこうした位相的な描像には触れず、Mumford の交叉行列の負定値性 Mum61 と、SGA 2 の局所 Picard スキームを使って代数的に進める。
原論文自身が、この節の最後の段について「執筆者はその確認をしていない」（III p. 151）と明記し、困難は無いだろうと付け加えている。したがってこの節は、原論文の中でも証明の状態に注意して読むべき箇所である。
定義と準備
設定
上の $A,k,X,x,U,\ell$ に加えて、次を置く。
- $A$ は $k$ を部分体として含む（係数体をもつ）とする。原論文はこの仮定がおそらく本質的でないと付言する。
- $X$ は解けるとする：正則なスキーム $\tilde X$ と固有双有理射 $f\colon\tilde X\to X$ で、$U$ の上で同型なものがある（特異点解消）。
- $C_1,\dots,C_r$ を $f^{-1}(x)_{\mathrm{red}}$ の既約成分（例外曲線）、$M=(C_i\cdot C_j)_{i,j}$ をその交叉行列とする。
主結果はすべて $U$ の上の Picard 群とコホモロジーについての主張である。原論文が書いていない $U$ の基本的な性質を、最初に補題として確かめておく。
- $U$ は次元 1 の正則スキームである。
- $\Gamma(U,\mathcal O_U)=A$ である。
- $n$ が $A$ で可逆なら、$A^\times$ は $n$ 可除である。
- $A$ は正規なので Serre の判定法の条件 $(R_1)$ を満たし、高さ 1 の素イデアルでの局所化は正則（離散付値環）である。$U$ の点は高さ 0 または 1 の素イデアルなので、$U$ は正則である。
- 正規ネーター整域は、高さ 1 の素イデアルでの局所化の共通部分に等しい。$U$ はそれらの素イデアルをすべて含むので、$\Gamma(U,\mathcal O_U)\subset\bigcap_{\mathrm{ht}\,\mathfrak p=1}A_{\mathfrak p}=A$ であり、逆の包含は明らかである。
- $A^\times\to k^\times$ は全射で核は $1+\mathfrak m$ である。$k$ は代数閉なので $k^\times$ は可除である。$1+\mathfrak m$ の元 $u$ について、$T^n-u$ は法 $\mathfrak m$ で単根 $1$ をもつ（$n$ は可逆）ので、$A$ が完備であることから Hensel の補題により $n$ 乗根をもつ。したがって $A^\times$ は $n$ 可除である。
1 と 2 は原論文が書いていない一段であり、4 の証明で実際に使う。3 は基礎体が代数閉であることを使う箇所で、原論文が「幾何的」な場合に限ると宣言したことがここで効く。
$\mathrm{Pic}(U)$ に「連結成分」と「成分群」の構造を与えるには、それを群スキームの点の群として見る必要がある。それを与えるのが次の引用である。
局所 Picard スキーム
次を引用する（SGA 2 XIII SGA2。局所Picard群）。
- (L1) $\mathrm{Pic}(U)$ は、$k$ 上有限型で滑らかな群スキーム $\mathrm{Pic}_U$ の $k$ 有理点の群と標準的に同一視される（III (8.13)）。
$\mathrm{Pic}^0_U$ を単位元成分、$\mathrm{NS}_U=\mathrm{Pic}_U/\mathrm{Pic}^0_U$ とし、$\mathrm{Pic}^0(U)=\mathrm{Pic}^0_U(k)$、$\mathrm{NS}(U)=\mathrm{NS}_U(k)$ と置く。ここでの右肩の 0 は単位元成分の意味であり、最大可除部分群 $M_{\mathrm{div}}$ とは別物である。また、局所 Picard 群は第4章の相対 Picard 関手とは別の対象である。
主結果と証明
局所 Picard 群の分解
(L1) を認めれば、群スキームの完全列の $k$ 点をとることで、$\mathrm{Pic}(U)$ の分解が得られる。
(L1) のもとで $0\to\mathrm{Pic}^0(U)\to\mathrm{Pic}(U)\to\mathrm{NS}(U)\to0$ は完全である。
群スキームの完全列 $1\to\mathrm{Pic}^0_U\to\mathrm{Pic}_U\to\mathrm{NS}_U\to1$ の $k$ 点をとる。左側の完全性は明らかである。$\mathrm{NS}_U(k)$ は $\mathrm{Pic}_U$ の連結成分の集合であり、$k$ は代数閉なので、$k$ 上有限型なスキームの各連結成分は $k$ 点をもつ。したがって右端は全射である。
この分解で、$\mathrm{Pic}(U)$ のうち離散的な部分を $\mathrm{NS}(U)$ が担う。それが有限群であることと、その上の対は、特異点解消の交叉行列から読める。
$\mathrm{NS}(U)$ の有限性と自己双対性
さらに次を引用する。
- (L2) 交叉行列 $M$ は負定値である（Mumford Mum61）。
- (L3) $\mathrm{NS}(U)$ は $M$ の定める準同型 $\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r$ の余核と標準的に同型である（SGA 2 XIII）。
この二つを認めると、$\mathrm{NS}(U)$ は整数行列の余核として手で扱える対象になる。
(L1)〜(L3) のもとで
- $\mathrm{NS}(U)$ は位数 $|\det M|$ の有限アーベル群である。
- $x,y\in\mathbb Z^r$ に対し $b(\bar x,\bar y)=\langle M^{-1}x,y\rangle\bmod\mathbb Z$ と置くと、これは $\mathrm{NS}(U)\times\mathrm{NS}(U)\to\mathbb Q/\mathbb Z$ の対称で完全な対を定める。とくに $\mathrm{NS}(U)$ は標準的に自己双対である（III (8.16)）。
- (L2) により $\det M\ne0$ なので $M$ は単射で、余核の位数は Smith 標準形により $|\det M|$ である。
- 代表元によらないこと：$x$ を $x+Mz$ に替えると値は $\langle z,y\rangle\in\mathbb Z$ だけ変わる。$y$ を $y+Mw$ に替えると $\langle M^{-1}x,Mw\rangle$ だけ変わり、$M$ が対称なので $\langle MM^{-1}x,w\rangle=\langle x,w\rangle\in\mathbb Z$ である。対称性は $M^{-1}$ が対称であることによる。完全性：$b(\bar x,\cdot)=0$ は、すべての $y$ について $\langle M^{-1}x,y\rangle\in\mathbb Z$、すなわち $M^{-1}x\in\mathbb Z^r$、すなわち $\bar x=0$ を意味する。有限群なので、左核が 0 なら対は完全である。
この $b$ は、格子 $(\mathbb Z^r,M)$ の 判別式形式 にほかならない（符号の規約を除く）。原論文は、この自己双対性が解消 $\tilde X$ の選び方によらないことも「容易に確かめられる」と述べるが、本頁ではこの点に立ち入らない。$\mathrm{NS}(U)$ という群そのものは $\mathrm{Pic}_U$ から $U$ だけで決まるので、解消に依存しうるのは対 $b$ の構成の側だけである。
$\mathrm{Pic}(U)$ の構造が分かったので、Kummer 列を通して $\mu_n$ 係数のコホモロジーを $\mathrm{Pic}(U)$ と $\mathrm{Br}(U)$ で表す。
Kummer 列による記述
さらに次を引用する。
- (L4) $\mathrm{Pic}^0(U)$ は $\ell$ 可除である（代数閉体上の連結可換代数群の構造による。原論文は Chevalley のセミナーを引く）。
前の頁の完全列の定理と同じ Kummer 列の計算を、$U$ の上で行う。前の頁の仮定 (H1) の役割を、ここでは分解の命題と (L4) が果たす。
(L1)〜(L4) のもとで、$n=\ell^\nu$ について
- $0\to{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to{}_n\mathrm{Pic}(U)\to{}_n\mathrm{NS}(U)\to0$ は完全である（III (8.17)）。
- $\mathrm{Pic}(U)/n\cong\mathrm{NS}(U)/n$ であり、$0\to\mathrm{NS}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Br}(U)\to0$ は完全である（III (8.18)）。
- $H^1(U,\mu_n)\cong{}_n\mathrm{Pic}(U)$ である（III (8.19)）。
- 分解の命題の列に $n$ 倍写像の蛇の補題を当てると $0\to{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to{}_n\mathrm{Pic}(U)\to{}_n\mathrm{NS}(U)\to\mathrm{Pic}^0(U)/n$ が完全で、(L4) により右端は 0 である。
- 同じ列から $\mathrm{Pic}^0(U)/n\to\mathrm{Pic}(U)/n\to\mathrm{NS}(U)/n\to0$ が完全で、左端は 0。$U$ 上の Kummer 列から $0\to\mathrm{Pic}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to{}_nH^2(U,\mathbb G_m)\to0$ を得る。$U$ は次元 1 の正則スキーム（補題の 1）で、$A$ の穴あきスペクトルとして準アフィンなので豊富な可逆層をもち、$\mathrm{Br}(U)=\mathrm{Br}'(U)$ である（第2章。II (2.2)。$U$ はネーターで次元 $1$ なので、$U$ の剰余体が分離閉かどうかによらず留保なしに成り立つ）。よって右端は ${}_n\mathrm{Br}(U)$ である。
- Kummer 列の低次の部分から $0\to\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times/n\to H^1(U,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Pic}(U)\to0$ が完全である。補題の 2 と 3 により $\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times/n=A^\times/n=0$ である。
原論文は 3 を「Kummer の完全列により同型」と一言で済ませ、$\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times$ の $n$ 可除性の理由を書かない。本頁の補題の 2・3 がその中身である。
1 と 3 を合わせると、$H^1(U,\mu_n)$ は ${}_n\mathrm{Pic}^0(U)$ の ${}_n\mathrm{NS}(U)$ による拡大であり、2 により $H^2(U,\mu_n)$ は $\mathrm{NS}(U)/n$ の ${}_n\mathrm{Br}(U)$ による拡大である。$\mathrm{NS}(U)$ は有限なので $|{}_n\mathrm{NS}(U)|=|\mathrm{NS}(U)/n|$ である。
以上が、本頁で証明の閉じる範囲である。原論文はここから局所双対定理を使ってもう一歩進むが、その段の扱いは次の三つの小節で分けて述べる。
期待される双対性
原論文は続けて、$p=0$ を仮定し、次のように論じる。
- 杯積 $H^1(U,\mu_n)\times H^2(U,\mu_n)\to H^3(U,\mu_n^{\otimes2})\cong\mathbb Z/n$ は、局所双対定理（SGA 5 I）により完全な対である。
- この対で $\mathrm{NS}(U)/n$ と ${}_n\mathrm{Pic}^0(U)$ が互いに零化し、商の上に誘導される対 $\mathrm{NS}(U)/n\times{}_n\mathrm{NS}(U)\to\mathbb Z/n$ が $\mathrm{NS}(U)$ の自己双対性から来るものと一致する。
- そうであれば、残りの部分として ${}_n\mathrm{Br}(U)\times{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to\mathbb Z/n$ が完全な対になり、$\nu$ について極限をとって $\mathrm{Br}(U)(\ell)\cong\operatorname{Hom}(T_\ell\mathrm{Pic}^0(U),\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)$、とくに $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ は可除になる。
本頁の立場
二番目の点（零化と両立性）を原論文の著者は確認しておらず、本頁も確認していない。確認には局所双対の対の明示的な形（跡写像の正規化を含む）が要る。また $H^3(U,\mu_n^{\otimes2})\cong\mathbb Z/n$ の同型は、$k$ が代数閉なので捻りを自明化して書いたものである。したがって本頁は、上の結論を定理としては述べない。
数え上げによる整合性
局所双対が完全な対を与えるなら $|H^1(U,\mu_n)|=|H^2(U,\mu_n)|$ でなければならない。前の定理の最後の注意から、これは $|{}_n\mathrm{Br}(U)|=|{}_n\mathrm{Pic}^0(U)|$ と同値であり、期待される双対性と矛盾しない。これは証明ではなく、期待される形が位数の上で整合することの確認にとどまる。
Remarques (8.5) の内容
原論文はこの節の終わりに、(i) 上の確認をしていないこと、(ii) $p=0$ は局所双対定理を使うためだけの仮定であること、(iii) 次元 2 の正則スキーム上のコホモロジー的純性の証明が当時の技術的な障害であったこと、(iv) $k$ が代数閉でない場合（有限体など）の分析が残ること、を述べている。
例と反例
以下の例は、交叉行列による記述を最も基本的な特異点で計算したものと、補題の仮定を外したときに何が破れるかを示す反例である。
$k=\mathbb C$、$A=\mathbb C[\![u,v,w]\!]/(uv-w^m)$（$m\ge2$）とする。最小解消の例外曲線は $m-1$ 本の $(-2)$ 曲線の鎖であり、$M$ は $A_{m-1}$ 型の Cartan 行列 $C$ の $-1$ 倍である。$\det C=m$ なので $\mathrm{NS}(U)$ は位数 $m$ である。$C$ は三重対角なので余核は第1基底ベクトル $e_1$ の像で生成され、$\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/m$ となる。$C^{-1}$ の成分は $(C^{-1})_{ij}=\min(i,j)\,(m-\max(i,j))/m$ なので
$$
b(\bar e_1,\bar e_1)=-(C^{-1})_{11}=-\frac{m-1}{m}\equiv\frac1m\pmod{\mathbb Z}
$$
である。$m=2$ では $\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/2$ で $b(\bar e_1,\bar e_1)=1/2$ となる。
有理特異点では $\mathrm{Pic}^0_U$ が自明であり、局所類群が有限であることが Lipman Lip69 によって示されている（引用）。したがってこの例では $\mathrm{Pic}(U)=\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/m$ で、前の定理から $H^1(U,\mu_n)\cong{}_n(\mathbb Z/m)$ である。期待される双対性が成り立つなら $\mathrm{Br}(U)(\ell)=0$ となる。
次は特異点が無い場合で、定理の主張が空になることを確かめる。
$A$ が正則（$A=k[\![u,v]\!]$ など）なら、$A$ は一意分解整域なので $\mathrm{Pic}(U)=\operatorname{Cl}(A)=0$ である（局所Picard群 の記事の「正則な場合」）。解消は要らず（$r=0$）、$\mathrm{NS}(U)=0$ と整合する。
最後は、剰余体が代数閉であるという仮定が補題の 3、したがって定理（局所的なKummer列）の 3 に要ることを示す反例である。
$k=\mathbb R$、$A=\mathbb R[\![u,v]\!]$、$n=2$ とすると、$-1\in A^\times$ は $A$ の中で平方根をもたない（剰余体 $\mathbb R$ で $-1$ が平方でないため）。したがって $A^\times/2\ne0$ であり、Kummer 列から $H^1(U,\mu_2)\to{}_2\mathrm{Pic}(U)$ は同型にならない（$\mathrm{Pic}(U)=0$ なのに $H^1(U,\mu_2)\ne0$）。破れているのは「剰余体が代数閉」という仮定だけで、完備性・正規性・次元は保たれている。
その後の発展
以下は原論文より後の展開である（2026年9月の時点での記述）。全体像は CTS21 を見よ。
- 有理特異点：Lipman Lip69 は 2 次元の有理特異点を詳しく調べ、局所類群が有限であること、したがって上の $A_{m-1}$ の例のように $\mathrm{Pic}(U)=\mathrm{NS}(U)$ となることを示した。
- コホモロジー的純性：Remarques (8.5) が障害として挙げた正則スキーム上のコホモロジー的純性は、のちに Gabber の絶対純性定理として一般の正則スキームについて確立された（証明の公表として Fujiwara Fuj02）。これにより、原論文が $p=0$ と局所双対に頼った部分の前提のうち、純性の側は整った。
- $\mathrm{Br}$ と $\mathrm{Br}'$：本頁では $U$ の次元が 1 なので第2章の結果（II (2.2)。留保なし）で足りるが、より一般に、豊富な可逆層をもつ準コンパクト準分離スキームで $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ となることが Gabber によって示され、de Jong が別証明を与えた。
- 本頁の「期待される双対性」の一般的な形とその証明の状況については、本書では立ち入らない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Le groupe de Brauer III Gro68 である。
| 原論文 | 内容 | 本頁 |
|---|---|---|
| III §8.4 冒頭（p. 148） | 設定（完備正規局所環、解消、係数体） | 定義と準備 |
| III (8.13)〜(8.15)（p. 148） | 局所 Picard スキームと $\mathrm{NS}(U)$ | 連結成分と成分群による分解 |
| III (8.16)（p. 149） | 交叉行列の余核、有限性、自己双対性 | 交叉行列による記述 |
| III (8.17)〜(8.19)（pp. 149–150） | $n$ 捩れと Kummer 列 | 局所的なKummer列、穴あきスペクトルの補題 |
| III (8.20)〜(8.22)（pp. 150–151） | 局所双対による双対性、$\mathrm{Br}(U)(\ell)$ の可除性 | 期待される双対性（定理としては述べない） |
| III Remarques (8.5)（p. 151） | 著者の未確認の自認、$p=0$ の役割、純性の障害、非代数閉の場合 | 期待される双対性の末尾 |
参考文献
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