1-2 中心単純環と分裂体

$I\ne0$ を両側イデアルとし、$B$ の基底 $(b_j)$ で $I$ の非零元を $\sum a_j\otimes b_j$ と書いたとき、非零の $a_j$ の個数が最小の元 $z$ をとる。ある $j_0$ で $a_{j_0}\ne0$。$A$ は単純なので $\sum_s u_sa_{j_0}v_s=1$ となる $u_s,v_s$ があり、$z$ を $\sum_s(u_s\otimes1)z(v_s\otimes1)$ に取り替えて $a_{j_0}=1$ としてよい。任意の $a\in A$ について $(a\otimes1)z-z(a\otimes1)=\sum(aa_j-a_ja)\otimes b_j$ は $j_0$ 成分が $0$ なので、最小性から $0$。よって各 $a_j$ は中心 $k$ に属し、$z=1\otimes b$（$b\ne0$）。$B$ は単純なので $1\otimes b$ の生成する両側イデアルは $1\otimes B$ を含み、$I=A\otimes B$。

段 1（(ii)⇒(iii)）．上の補題（テンソル積の単純性）で $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ は単純なので、非零の準同型 $A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_k(A)$ は単射。両辺の次元は $(\dim A)^2$ で等しいから同型。
段 2（(iii)⇒(ii)）．両側イデアル $I$ は $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ の作用で安定だが、$\operatorname{End}_k(A)$ で安定な部分空間は $0$ と $A$ だけなので、$A$ は単純。中心の元 $z$ について $z\otimes1$ は $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ の中心に入り、同型で $\operatorname{End}_k(A)$ の中心 $k$ へ移るので $z\in k$（$A\ne0$ なので $k\to A$ は単射）。
段 3（(iii)⇔(i)）．条件 (iii) は線形写像が同型であるという条件なので、体の拡大で保たれ、かつ拡大から降りる。$M_r(\Omega)$ は (iii) をみたす（行列単位で確かめる）ので (i)⇒(iii)。逆に (iii) なら $A_\Omega$ も (iii) をみたし、上で示したことから $\Omega$ 上中心単純。Wedderburn の構造定理で $A_\Omega\cong M_r(D)$、$D$ は $\Omega$ 上有限次元の斜体だが、$\Omega$ が代数閉なので $D=\Omega$。

(a) エタール部分代数の存在．$x\in A$ で $k[x]$ が次元 $r$ のエタール代数になるもの（「正則元」）を見つければよい。

• $k$ が無限体の場合：同型 $\varphi\colon A_\Omega\cong M_r(\Omega)$ を固定し、$A$ の基底 $a_1,\dots,a_N$（$N=r^2$）と不定元 $t_1,\dots,t_N$ について、$\varphi(\sum t_ia_i)$ の特性多項式の判別式を $D(t)\in\Omega[t_1,\dots,t_N]$ とする。$\varphi$ は全単射なので、$\sum t_ia_i$（$t\in\Omega^N$）の像には対角成分が相異なる対角行列があり、$D\ne0$ である。一方、$\Omega$ 係数の多項式 $f$ が $k^N$ 上で恒等的に $0$ なら $f=0$ である（$f$ の係数の張る $k$ ベクトル空間の基底 $\omega_j$ で $f=\sum_j\omega_jf_j$、$f_j\in k[t]$ と書くと、$t\in k^N$ で $f_j(t)\in k$ なので $f_j(t)=0$ となり、$k$ が無限体だから $f_j=0$）。したがって $D(t)\ne0$ となる $t\in k^N$ があり、$x=\sum t_ia_i$ とおく。$\varphi(x)$ は相異なる $r$ 個の固有値をもつので $\Omega[\varphi(x)]\cong\Omega^r$。$k[x]\otimes_k\Omega\to A_\Omega$ は単射で像は $\Omega[x]$ なので、$\dim_kk[x]=r$ で、$k[x]\otimes\Omega$ は被約、すなわち $k[x]$ はエタールである。
• $k$ が有限体の場合：Wedderburn の定理（有限斜体は可換）により $A\cong M_r(k)$ である。次数 $r$ の拡大 $k_r/k$ をとり、$k_r$ を $k$ 上の $r$ 次元ベクトル空間とみて左乗法で $k_r\subset\operatorname{End}_k(k_r)\cong M_r(k)$ と埋め込めばよい（$k_r$ は有限体なのでエタール）。
  (b) 分裂．$L\subset A$ を次元 $r$ の可換エタール部分代数とする。$L\otimes_k\Omega\cong\Omega^r$ の原始冪等元 $f_1,\dots,f_r$ は $A_\Omega\cong M_r(\Omega)$ の中で互いに直交し和が $1$ の非零冪等元だから、どれも階数 $1$ であり、基底を取り替えれば $L_\Omega$ は対角行列の代数になる。
  まず自由性を示す。$L=\prod_iL_i$（$L_i$ は体）と分け、対応する冪等元を $e_i$ とする。$e_i\otimes1$ は $f_j$ のうち $[L_i:k]$ 個の和なので、$A_\Omega e_i$ はその個数の列に台をもつ行列の空間で、$\dim_k(Ae_i)=r[L_i:k]$。よって $\dim_{L_i}(Ae_i)=r$ であり、$A=\bigoplus_iAe_i$ は右 $L$ 加群として階数 $r$ の自由加群である。
  次に同型を示す。$V$ を右 $L$ 加群としての $A$ とし、
  $$v\colon A\otimes_kL\to\operatorname{End}_L(V),\qquad a\otimes l\mapsto(y\mapsto ayl)$$
  とおく（$L$ は可換なので $L$ 線形で、$L$ 代数の準同型になる）。$L=\prod L_i$ に沿って両辺を分けると、各成分は $A\otimes_kL_i\to\operatorname{End}_{L_i}(Ae_i)$ で、両辺とも $L_i$ 上次元 $r^2$。始域は $L_i$ 上の中心単純環（上の定理（中心単純環の三つの特徴づけ）の (i) は底変換で保たれる）だから単純で、非零写像は単射、したがって同型。よって $v$ は同型で、$A\otimes_kL\cong M_r(L)$。
  (c) 分離的な分裂体．(b) から、$L$ の各成分体 $L_i$ は $A$ を分裂させる有限分離拡大である（$A\otimes L_i$ は $A\otimes L\cong M_r(L)$ の成分）。ただしこれだけでは次数は $r$ 以下としか言えない。次数を $r$ の約数にとるには次のようにする。Wedderburn の定理で $A\cong M_m(D)$（$D$ は中心 $k$ の斜体、次数 $d$、$r=md$）と書く。(a)(b) を $D$ に当てると、$D$ の次元 $d$ のエタール部分代数 $L'$ は斜体の可換部分代数なので整域、したがって体であり、$[L':k]=d$ の分離拡大が $D$ を、したがって $A$ を分裂させる。$d\mid r$ である。$k$ が分離閉なら $L'=k$、$d=1$ で $A\cong M_r(k)$。
  (d) 分裂体の実現．二重中心化定理（引用 Bou58：中心単純環 $C$ の忠実な有限次元加群 $W$ について、$B=\operatorname{End}_C(W)$ は $C^{\mathrm{op}}$ と同値な中心単純環で、$\dim_kC\cdot\dim_kB=(\dim_kW)^2$）を使う。
  十分性：$B\supset L$ が右 $L$ 加群として階数 $s$ の自由加群なら $\dim_kB=s^2$ で、(b) の「同型」の議論（$L$ は体）がそのまま通り $B\otimes_kL\cong M_s(L)$。$A\otimes L$ と $B\otimes L$ は $\mathrm{Br}(L)$ で同じ類 $0$ をもち、次元が $r^2$ なので、$A\otimes L\cong M_r(L)$。
  必要性：$A^{\mathrm{op}}\otimes L\cong(A\otimes L)^{\mathrm{op}}\cong M_r(L)$（転置）なので、$A^{\mathrm{op}}\otimes L$ の単純加群 $W=L^r$ がある。$W$ は $A^{\mathrm{op}}$ の忠実な加群で $\dim_kW=rs$ であり、$L$ の作用は $A^{\mathrm{op}}$ の作用と可換である。$B=\operatorname{End}_{A^{\mathrm{op}}}(W)$ とおくと $L\subset B$ で、二重中心化定理により $B$ は $A$ と同値な中心単純環で $\dim_kB=(rs)^2/r^2=s^2$。$L$ は体なので $B$ は右 $L$ ベクトル空間として次元 $s$ である。$A$ が斜体 $D$ なら、$D$ と同値な $B$ は $M_m(D)=D\otimes M_m(k)$ の形である。
  最後に $r\mid[L:k]$ を示す。$A$ が斜体なら、$A\otimes L\cong M_r(L)$ の単純加群 $L^r$ は $k$ 上 $r[L:k]$ 次元で、$A\to A\otimes L$ により $A$ 上のベクトル空間になるので、$r^2$ が $r[L:k]$ を割る。

$A$ を $f$（resp. $g$）で左 $B$ 加群、右乗法で右 $A$ 加群とみると、$B\otimes_kA^{\mathrm{op}}$ 加群 $A_f$、$A_g$ が得られる。$B\otimes A^{\mathrm{op}}$ は上の補題（テンソル積の単純性）で単純だから、その有限次元加群は同じ単純加群の直和で、次元で同型類が決まる。$\dim A_f=\dim A_g$ なので同型 $\phi\colon A_f\to A_g$ がある。右 $A$ 線形性から $\phi(y)=\phi(1)y$ で、$a=\phi(1)$ は可逆（$\phi$ が全単射）。左 $B$ 線形性から $a f(b)=g(b)a$。$B=A$、$f=\mathrm{id}$、$g=u$（自己同型）とすれば $u(y)=aya^{-1}$。

段 1（積の差はコチェイン）．二つの持ち上げ $\ast,\ast'$ の差は $A\otimes A\to JA$ を経由し、$\mathfrak mJ=0$ から $A_0\otimes A_0\to A_0\otimes_kJ$ を経由する写像 $c$ で書ける：$x\ast'y=x\ast y+c(x_0,y_0)$。ここで $JA\cong A_0\otimes_kJ$ は $A_0$ 両側加群で、$JA$ の元どうしの積は $0$、$JA$ と $A$ の積は $A_0$ の作用で計算される。
段 2（結合律と $\partial$）．$\ast$ の結合子 $a_\ast(x,y,z)=(x\ast y)\ast z-x\ast(y\ast z)$ は $JA$ に値をもち（$\bar A$ は結合的）、$A_0^{\otimes3}\to A_0\otimes J$ を経由する。展開すると
$$(x\ast' y)\ast' z=(x\ast y)\ast z+c(x_0,y_0)z_0+c(x_0y_0,z_0),\qquad x\ast'(y\ast' z)=x\ast(y\ast z)+x_0c(y_0,z_0)+c(x_0,y_0z_0)$$
なので $a_{\ast'}=a_\ast-\partial c$ である。ただし
$$(\partial c)(x_0,y_0,z_0)=x_0c(y_0,z_0)-c(x_0y_0,z_0)+c(x_0,y_0z_0)-c(x_0,y_0)z_0.$$
とくに $\ast$ が結合的なら、$\ast'$ が結合的であることは $\partial c=0$ と同値である。
段 3（存在の障害、(a)）．任意の双線形な積 $\ast$ について、恒等式
$$x\ast a_\ast(y,z,w)-a_\ast(x\ast y,z,w)+a_\ast(x,y\ast z,w)-a_\ast(x,y,z\ast w)+a_\ast(x,y,z)\ast w=0$$
が成り立つ（左辺を積の形に展開すると、10 個の項が二つずつ打ち消し合う）。$a_\ast$ は $JA$ に値をもつので、これは $\partial a_\ast=0$ を意味する。したがって類 $[a_\ast]\in H^3(A_0,A_0\otimes J)$ が定まり、段 2 の計算から $\ast$ の取り方によらない。$[a_\ast]=0$ なら $\partial c=a_\ast$ となる $c$ をとれば $\ast'=\ast+c$ は結合的である。すなわち、$H^3(A_0,A_0\otimes J)=0$ なら $\bar A$ の結合的な持ち上げが存在する。
段 4（同型類と自己同型、(b)(c)）．加群の自己同型 $1+h$（$h\colon A_0\to A_0\otimes J$）で結合的な積を移すと、$c$ は $c+\partial h$ に変わる。したがって、加群の持ち上げを固定したとき、$\bar A$ を持ち上げる結合的な積の同型類は、空でなければ $H^2(A_0,A_0\otimes_kJ)$ の主等質集合になる。同様に、$\bar A$ 上で恒等となる $A$ の代数自己同型 $1+D$ は導分 $D\colon A_0\to A_0\otimes J$ と一対一に対応し、内部自己同型 $x\mapsto(1+j)x(1+j)^{-1}$ は内部導分 $x\mapsto jx-xj$ に対応する。よって「$\bar A$ 上で恒等な自己同型」を内部自己同型で割った群は $H^1(A_0,A_0\otimes J)$ に同型である。
段 5（単位元、(d)）．$\bar A$ の単位元の持ち上げを $e$ とし、$\varepsilon=L_e-\mathrm{id}$（$L_e$ は左乗法）とおくと、$\varepsilon$ は $A$ を $JA$ に、$JA$ を $0$ に写すので $\varepsilon^2=0$。結合性から $L_{e\ast e}=(1+\varepsilon)^2=1+2\varepsilon$ なので、$u=2e-e\ast e$ について $L_u=1$。右乗法についても同様で、$u$ は両側の単位元である。

$A_0\otimes_kA_0^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_k(A_0)$（上の定理（中心単純環の三つの特徴づけ））は行列環で半単純だから、その上の加群はすべて射影的で、$H^n(A_0,M)=\operatorname{Ext}^n(A_0,M)=0$（$n\ge1$）。

段 1（帰納の枠組み）．$\Lambda\supset\mathfrak m\supset\mathfrak m^2\supset\cdots\supset\mathfrak m^N=0$ に沿って $\Lambda/\mathfrak m^{i+1}\to\Lambda/\mathfrak m^i$ を順にたどる。各段は上の命題（平方零拡大の上の持ち上げ）の設定（$J=\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$）に当たり、上の補題（Hochschild コホモロジーの消滅）により $H^n(A_0,A_0\otimes J)=0$（$n\ge1$）である。
段 2（存在と単位元）．存在は $H^3=0$ と命題の (a) から、単位元は命題の (d) から従う。
段 3（一意性）．$A,A'$ を二つの持ち上げとし、$\bmod\mathfrak m^i$ での同型を自由加群の写像 $A\otimes\Lambda/\mathfrak m^{i+1}\to A'\otimes\Lambda/\mathfrak m^{i+1}$ に持ち上げると、冪零イデアルを法として全射なので全射で、同じ階数の自由加群の間なので同型である。これで $A'$ の積を移せば、同じ代数を持ち上げる二つの積になり、$H^2=0$ と命題の (b) から同型になる。
段 4（自己同型）．自己同型 $u$ について、帰納法で $u\bmod\mathfrak m^i$ が内部 $x\mapsto axa^{-1}$ であるとし、$a$ を $A$ の可逆元に持ち上げて $u'=a^{-1}ua$ を考えると、$u'$ は $\bmod\mathfrak m^i$ で恒等なので、$H^1=0$ と命題の (c) から $\bmod\mathfrak m^{i+1}$ で内部になる。初段 $i=1$ は上の定理（Skolem–Noether）である。
段 5（行列環の場合）．$A_0=M_r(k)$ の場合、$M_r(\Lambda)$ は一つの持ち上げなので、一意性から $A\cong M_r(\Lambda)$。