0-1 本書の読み方

本書を読むのに要る分野（可換環論とホモロジー代数、スキーム論、層とコホモロジー、Galois コホモロジー、中心単純環、代数曲線と代数曲面、$\ell$ 進の道具、Hodge 理論の初歩）を一覧にし、頁ごとに要る前提の対応表と、読む順序の案をまとめる。各概念の要点と教科書の案内は本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』から『0-5 曲線・曲面・ℓ 進の道具・Hodge 理論』までの四頁に、全頁に共通する記号と約束は本書『0-6 記号と約束』に分けて置く。

本書の使い方

本書は、Grothendieck の連続講演「Le groupe de Brauer」I・II・III（『Dix exposés sur la cohomologie des schémas』、1968 年所収）を道案内にして、スキームの Brauer 群の理論を主題ごとに解説する。原論文は、当時の読者が EGA と SGA 4 を手元に置いていることを前提に書かれており、多くの段を「よく知られている」「直ちに分かる」で済ませる。本書の各頁はその段を補うが、補うときにも、エタールコホモロジーの基本定理や代数曲面の交叉理論などは引用として使う。第 0 章は、その引用される側の知識を整理したものである。本頁は全体の地図と読む順序を、本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』『0-3 スキーム論と層コホモロジー』『0-4 Galois コホモロジーと中心単純環』『0-5 曲線・曲面・ℓ 進の道具・Hodge 理論』は分野ごとの各概念の要点を、本書『0-6 記号と約束』は全頁に共通する記号と約束をまとめる。
使い方は三通りを想定している。

1. 最初に通して読む：次の「本書を読むのに要る分野」で全体の地図をつかみ、本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』から『0-5 曲線・曲面・ℓ 進の道具・Hodge 理論』までの各概念の要点は見出しだけ拾う。
2. 頁を読んでいて分からない語に出会ったら引く：各概念の要点は分野ごとに頁を分けて並べ、各項目に「使う頁」を付けた。
3. どこから読むかを決める：本頁の「頁ごとの前提の対応表」と「読む順序の案」を見る。
   各概念の要点の各項目は「定義の要点」「本書での使いどころ」「案内」の順に書く。案内の教科書は [[ラベル]] の形で引く。書誌は本書の参考文献一覧にまとめてある。用語解説記事が未作成のものも、リンクの形で示してある。
   すべての概念を先に学んでから本文に入る必要はない。とくに第 1 章と第 2 章は、可換環論・スキーム論・層コホモロジーの基本と、体の Galois コホモロジーの初歩があれば読み始められる。$\ell$ 進の道具、曲面の交叉理論、Hodge 理論は、第 2 章の後半と第 6・7 章に入る前に補えばよい。

本書を読むのに要る分野

分野ごとに、本書で要る水準の目安を示す。「◎」は本書の多くの頁で証明の中で使うもの、「○」は一部の頁で使うもの、「△」は背景や動機として触れるだけのものである。

分野ごとの各概念の要点は、可換環論とホモロジー代数を本書『0-2 可換環論とホモロジー代数』、スキーム論と層とコホモロジーを本書『0-3 スキーム論と層コホモロジー』、Galois コホモロジーと非可換代数を本書『0-4 Galois コホモロジーと中心単純環』、代数曲線・代数曲面と $\ell$ 進の道具と Hodge 理論の初歩を本書『0-5 曲線・曲面・ℓ 進の道具・Hodge 理論』に置く。

頁ごとの前提の対応表

行は本書の頁、列は前提の分野である。「◎」はその頁の証明の中心で使うもの、「○」は一部の段や引用で使うもの、空欄はほとんど使わないものを表す。「頁の前提」の列には、その頁の前に読んでおくとよい本書の頁を挙げた。

表から読み取れることを三つ挙げておく。

• 層とコホモロジーはほぼ全頁で中心にある：エタールコホモロジーの定義と、茎が狭義 Hensel 化で計算できること、Leray のスペクトル系列の低次の完全列の三つは、最初に身につけておく価値がある。
• 中心単純環が本質的に要るのは第 1 章と『次元 1 以下の体』だけである：第 2 章以後は、Brauer 群をほぼ $H^2(X,\mathbb G_m)$ として扱う。
• 曲線・曲面と $\ell$ 進の道具は、第 2 章の後半から一気に必要になる：『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』の $B_2-\rho$ が、Picard 数・Betti 数・Tate 加群がそろって現れる最初の場所である。

読む順序の案

最短の道筋

本書の中心の流れは次の四頁である。
『Azumaya 代数と PGL トーサー』→『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』→『2-2 Brauer 類の実現』→『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』→『Brauer 群の純性』
『Azumaya 代数と PGL トーサー』で Azumaya 代数の類を $H^2(X,\mathbb G_m)$ に送る写像を作り、『2-1 Br′ の捩れ性と単射性』で正則スキームでの基本性質（捩れ性と生成点への単射性）を示し、『2-3 Kummer 列と Brauer 群の余階数』で Kummer 列によって $\ell$ 部分を計算し、『Brauer 群の純性』で Brauer 群が余次元 2 以上の閉集合を除いても変わらないことを示す。体の中心単純環に慣れていれば、『位相空間の Brauer 群』と『中心単純環と分裂体』は飛ばして『Azumaya 代数と PGL トーサー』から読める。『中心単純環と分裂体』の定理（分離的な分裂体の存在、Skolem–Noether の定理）は『Azumaya 代数と PGL トーサー』の中で引用の形で使われるので、必要になったときに戻ればよい。
この四頁の後は、関心に応じて次の道のどれかへ進む。

各頁の冒頭の「この頁で示すこと」に主結果と原論文の番号の対応がまとめてあるので、まずそこだけを全頁通して読むのも一つの方法である。

背景が薄い読者のための準備の順

本書の前提を一から身につけるときは、次の順を勧める。括弧内は主な参照先である。

1. 可換環論：局所化、平坦性、完備化、次元論、正則局所環、離散付値環（AM69 の全体、次に Mat86 の §7・§8・§19・§20）。
2. ホモロジー代数：導来関手、Ext と Tor、帰納極限と射影極限、スペクトル系列（Wei94 第 2・3・5 章）。
3. スキーム論：スキーム、射の性質、準連接層とそのコホモロジー、平坦射と滑らかな射、因子と Picard 群、ブローアップ（Har77 第 II・III 章、または Liu02 第 2〜8 章）。
4. Galois コホモロジーと中心単純環：射有限群のコホモロジー、Hilbert の定理 90、体の Brauer 群、コホモロジー次元（GS17 第 1〜4 章、SerGC 第 I・II 章）。ここまでで本書の第 1 章と『次元 1 以下の体』が読める。
5. エタールコホモロジー：エタール射、Grothendieck 位相、エタール層とその茎、Čech コホモロジーとトーサー、fppf 位相との比較、基本定理の主張（Mil80 第 I〜III 章、SGA 4½ 所収の「Arcata」、Poo17 第 6 章）。ここまでで第 2 章と第 4 章が読める。
6. 代数曲面：交叉理論、Hodge 指数定理、Picard スキームと Néron–Severi 群、曲線束（Har77 第 V 章、Liu02 第 9 章、FGAex の Kleiman の部）。
7. $\ell$ 進の道具：Tate 加群、$\ell$ 進コホモロジー、サイクル類、Weil 予想の主張（Mil80 の後半、Fu15、Har77 付録 C）。ここまでで第 3・5・6 章が読める。
8. 類体論：局所体の Brauer 群と大域体の相互律（SerLF、CF67 第 VI・VII 章）。『次元 1 のスキームと類体論』と『曲線束と Tate–Shafarevich 群』の前に。
9. Hodge 理論：Hodge 分解、Lefschetz の $(1,1)$ 定理、Hodge 予想の主張（Voi02、GH78 第 0・1 章）。『Weil・Tate・Hodge 予想との関係』の前に。
   Brauer 群そのものについての現代的な通読用の教科書としては CTS21 があり、本書の各頁の「その後の発展」の多くはそこで扱われている。本書と並行して読むと、原論文の主張が今日どこまで一般化されたかが分かる。