5-2 層の類の環と λ 環

原論文が「手短かに述べる」とした、連接層の類の環での射影束と旗束の計算を書き直す。射影束の上の直像を射影空間のコホモロジーから求めて基本類の冪の一次独立を示し、外冪の関係式と合わせて、射影束と旗束の環を代数として、また λ 環として表示する。冪が環を生成することと、層の類の群での完全性とホモトピーは、原論文が証明を書かないので、後代の K 理論の結果を引く条件付きの結果とする。
前提知識: Grothendieck群, λ環, 連接層のコホモロジー, 射影束, 旗多様体, 普遍分解代数

この頁で示すこと

原論文に従い、$\mathcal V$ を非特異な代数的空間の全体の圏とする（主結果 6 だけは特異な空間も含む）。$X\in\mathcal V$ について $K(X)$ は連接層の類の環（Borel–Serre BS58）、$f\colon P(E)\to X$ は階数 $p$ のベクトル束 $E$ の射影束（ファイバーの直線の空間）、$\ell_E\in K(P(E))$ は $L_E=\mathcal O(1)$ の類、$f_!$ は固有射の直像、$\lambda^i$ は外冪の演算である（本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』）。$K(P(E))$ は $f^*$ により $K(X)$ 加群とみる。λ 環としての主張（主結果 5 の 3・4）では、$K$ 環がベクトル束の類で生成され λ 環になっていることを使う。Borel と Serre はこれを準射影的な空間で確かめたので、その部分は $X$ が準射影的なときの主張として述べる。
本頁の主結果は次の六つである。

1. 射影束上の直像（原論文 §3 の注意 4° の (21)、印字 4-24）：$f_!(\ell_E^{\,i})=0$（$-(p-1)\le i<0$）、$f_!(1)=1_X$ である。［条件付き：Borel–Serre の $K(X)$ と固有射の直像 $f_!$、射影空間の連接層のコホモロジー（Serre）と Künneth の公式を引用］
2. 冪の一次独立（原論文 §3 の注意 4°、印字 4-25）：$\ell_E^{\,i}$（$0\le i\le p-1$）は $K(X)$ 上一次独立である。［条件付き：1 と K 理論の射影公式による］
3. λ 関係式（原論文 (22)、印字 4-25）：$K(P(E))$ で $\sum_{i=0}^p(-1)^i\lambda^i(E)\,\ell_E^{\,i}=0$ である。［条件付き：λ 演算の加法性を引用］
4. 射影束の K 環の基底（原論文 §3 の注意 4°、印字 4-25）：$\ell_E^{\,i}$（$0\le i\le p-1$）は $K(P(E))$ の $K(X)$ 基底で、$K(P(E))\cong K(X)[t]/\bigl(\sum_{i=0}^p(-1)^i\lambda^i(E)t^i\bigr)$ である。［条件付き：2・3 と、K 理論での射影束の生成を引用。原論文は筋を一文で述べるだけで証明を書かない。本書は後代の射影束定理を引く］
5. 旗束の K 環の表示（原論文 (23)(24)、印字 4-25）：$K(D_\tau(E))$ は $K(X)$ 代数として $\lambda^i(f_j)$（$1\le j\le k$、$1\le i\le p_j$）で生成され、関係は (24) の $p$ 個で尽きる。$X$ が準射影的なら、λ 環としては $K(X)$ の上で各段の商の類 $f_j$ で生成され、関係は (23) から λ 演算で導かれるもので尽きる。［条件付き：3・4、本書『2-3 旗束の環』の主結果「普遍分解代数の基底」「部分代数の表示」による。λ 環の部分は、準射影的な非特異な $X$ の $K(X)$ が特殊 λ 環であること（Borel–Serre）、λ 環の普遍多項式と普遍 λ 環の存在を引用］
6. 層の類の群の完全性とホモトピー（原論文 §4 の注意、印字 4-31）：代数的空間の全体の圏で、連接層の類の群、開部分への制限、閉部分からの直像、外積について、完全性の公理 (E) とホモトピーの公理 (H) が成り立つ。［条件付き：開部分の連接層の延長と、後代の連接層の類の群の局所化の完全列とホモトピー不変性を引用。原論文は筋を一文で述べるだけで証明を書かない］
   主結果 1〜3 は、引用した K 理論の基本の事実から頁の中で閉じる。主結果 4 の生成と主結果 6 の核の包含・ホモトピーは、原論文が §4〜§6 の議論の K 版で示せると述べるだけなので、本書は後代の結果を引用して閉じ、原論文の筋を確かめたとは扱わない。主結果 5 は、主結果 4 から先の段（普遍分解代数による議論と λ 環の普遍性）を頁の中で閉じるが、主結果 4 を通して同じ後代の結果に依る。本書はその後代の文献の該当箇所も確かめていない。

背景と動機

原論文 Gro58b の §2 以降の公理系は次数付きで、旗束の環の定理（Théorème 1）もその枠で述べられた。§3 の注意 4° は、次数の無い重要な例として連接層の類の環 $K(X)$ を取り上げ、「手短かに述べよう」として対応する結果を並べる（印字 4-24〜4-25）。この環は、同じ年の Borel と Serre の Riemann–Roch の定理の論文 BS58（原論文の文献 [1]）で導入され、Grothendieck 自身の Chern 類の理論 Gro58 では λ 環の構造が中心に置かれた。§1 の注意 1° が、§1 の公理系に次数を仮定しないのはこの環を含めるためだと述べていたのは、この場面のためである（本書『1-1 データと公理と積の構造』）。
$K(X)$ には次数が無いので、第 2 章の議論はそのままでは使えない。Chow 環では、射影束の直像が次数を $p-1$ 下げることから低い冪の直像が消えた（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果「基本類の冪の一次独立」）。$K(X)$ ではその代わりに、基本類 $\ell_E$ が可逆であることを使い、負の冪の直像が射影空間のコホモロジーの消滅で消えることを使う。射影束公式にあたる関係式は、Chern 類の関係式の代わりに外冪の関係式 (22) になる。
λ 環の一般論、完備 Chern 類、K 群の余次元フィルトレーションと Chow 環の比較は、第 3 巻で扱った（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』『4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環』）。この頁はそれを繰り返さず、原論文の注意 4° と §4 の注意に固有の、射影束と旗束の $K$ 環の計算と、層の類の群での完全性とホモトピーに絞る。§4 の注意の残りの二つ（特異な空間と代数的同値への拡張）は本書『3-2 線形同値の理論』の主結果「特異な空間と代数的同値への拡張」で扱った。

定義と準備

まず記号を置く。$K(X)$ の定義と環の構造は本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定義「連接層の類の群と環」のもので、ここでは射影束と旗束で使う形に絞って繰り返す。

原論文は基本類を $\ell_E=\gamma(L_E)$ と書く（$\gamma$ はベクトル束にその類を対応させる写像）。次に旗束の記号を置く。旗束の構成は本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定義「旗多様体と旗束」にある。

23. の第 1 式は $F_j$ の階数が $p_j$ であること、第 2 式は短完全列 $0\to E_{j-1}\to E_j\to F_j\to0$ を $j$ について足し合わせたことにほかならない。原論文は $f_j$ を「ベクトル束 $F_i$ の類」と印字するが、添字は $j$ である。
    最後に、主結果 6 で使う、特異な空間も含む層の類の群を置く。

1〜3 の関手はどれも完全なので（制限と閉埋め込みの直像は完全で、$k$ は体なので外積は各変数について完全）、類の上で定まる。4 も短完全列について加法的である。完全性の公理 (E) とホモトピーの公理 (H) の文言は本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』と本書『0-4 記号と約束』にある。ここでの (H) は、$x\mapsto x\times1_{\mathbf A^1}$、$K'(X)\to K'(X\times\mathbf A^1)$ が全射であることで、$[\mathcal F]\times[\mathcal O_{\mathbf A^1}]=[\mathrm{pr}_1^*\mathcal F]$ なので平坦な引き戻しの全射性と同じである。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は主に BS58、Ser55、Gro58 で、要点は本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』と『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』にある。該当箇所の番号は本頁では確かめていない。5 と 6 は後代の結果で、所在は本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の注意「K 理論の射影束定理と局所化（後代の結果）」のとおり本書では確かめていない。

1. 固有射の直像と射影公式（本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「固有射の直像と射影公式（層の類）」）：固有射 $f$ について $f_![\mathcal F]=\sum_q(-1)^q[R^qf_*\mathcal F]$ は well-defined な群準同型で、非特異な空間の間では $f_!(f^*x\cdot y)=x\cdot f_!(y)$ が成り立つ。
2. 射影空間のコホモロジーと Künneth の公式（同じ頁の定理「射影空間の連接層のコホモロジー」）：$-r\le i\le-1$ なら $H^q(\mathbf P^r,\mathcal O(i))=0$（すべての $q$）、$H^q(\mathbf P^r,\mathcal O)$ は $q=0$ で $k$、それ以外で $0$、$H^r(\mathbf P^r,\mathcal O(-r-1))\cong k$。$U\times\mathbf P^r$ の上で $R^q\mathrm{pr}_{1*}(\mathrm{pr}_2^*\mathcal O(i))\cong\mathcal O_U\otimes_kH^q(\mathbf P^r,\mathcal O(i))$。
3. 射影束と旗束（本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理「射影束の基本」「旗束の基本」）：$P(E)$ は Zariski 局所的に $U\times P(V)$ で、$L_E$ は $\mathrm{pr}_2^*L_V$ に移る。$D(E)$ は $P(E)$ の上の $D(E')$（$E'=f^*E/\mathcal O(-1)$）に同型で、$D_\tau(E)$ の上で $D(E)$ は $D(F_1),\dots,D(F_k)$ のファイバー積に同型である。$X$ が非特異（準射影的）なら $P(E)$、$D_\tau(E)$、$D(E)$ も非特異（準射影的）である。
4. λ 環（本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定義「λ 環と外冪の演算」）：ベクトル束の短完全列 $0\to F'\to F\to F''\to0$ について $\lambda_t(F)=\lambda_t(F')\lambda_t(F'')$（加法性）、$\bigwedge^i(F\otimes L)\cong\bigwedge^iF\otimes L^{\otimes i}$（$L$ は直線束）。準射影的な非特異な $X$ では、$K(X)$ はベクトル束の類で生成され、外冪の演算で特殊 λ 環になる。特殊 λ 環では $\lambda^m(x+y)$、$\lambda^m(xy)$、$\lambda^m(\lambda^nx)$、$\lambda^m(-x)$ は $\lambda^i(x)$、$\lambda^i(y)$ の整数係数の普遍多項式で書ける。特殊 λ 環 $R_0$ の上で、生成元と関係から普遍の特殊 λ 環が作れる。
5. K 理論での射影束の生成（後代の射影束定理。SGA 6 SGA6 の Berthelot の講演、Quillen Qui73 の高次 K 理論）：非特異な $X$ 上の $E$ について、$\ell_E^{\,i}$（$0\le i\le p-1$）は $K(P(E))$ を $K(X)$ 加群として生成する。
6. 層の類の群の局所化とホモトピー（後代の結果。開部分の連接層を閉包へ延ばす議論は EGA I EGA1、局所化の完全列とホモトピー不変性は Quillen の高次 K 理論の次数 0 の部分）：(a) 開部分 $U\subset X$ の上の連接層は $X$ の上の連接層に延びる。(b) $Y\subset X$ が閉、$U=X-Y$ なら、$\ker(j^*\colon K'(X)\to K'(U))$ は $i_*K'(Y)$ に含まれる。(c) 平坦な引き戻し $K'(X)\to K'(X\times\mathbf A^1)$ は全射である（実は同型である）。
   引用する事実 4 の最後の二文が、第 3 巻の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』で扱った λ 環の一般論から本頁が使う部分である。引用する事実 5・6 は原論文が主張するだけの段で、ここを後代の結果で埋めるので、それに依る主結果 4〜6 は外部入力による［条件付き］になる。

主結果と証明

射影束の上の直像と一次独立

Chow 環の (17) は、直像が次数を下げることから出た。$K(X)$ には次数が無いので、代わりに直像そのものを射影空間のコホモロジーで計算する。局所的には $P(E)$ は $U\times\mathbf P^{p-1}$ で、$\ell_E$ の冪は $\mathcal O(i)$ の類なので、Serre の計算がそのまま使える。

原論文は第 1 式の範囲を「$-(p-1)\le i\le0$」と印字する（印字 4-24）。これでは $i=0$ で第 1 式の $f_!(1)=0$ と第 2 式の $f_!(1)=1_X$ が矛盾するので、上限は $i<0$ の誤植である。下限の $-(p-1)$ が最良であることは、下の反例で確かめる。
直像が分かれば、一次独立は Chow 環の Proposition 4 と同じ論法で出る。違いは、掛ける冪が正でなく負になることである。

原論文はこの論法を「Proposition 1 と同じく」と書くが、一次独立の論法は Proposition 4（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果「基本類の冪の一次独立」）のものである。Chow 環では最高次の冪 $\xi_E^{\,p-1}$ に揃えるために正の冪を掛けたが、ここでは $\ell_E^{\,0}=1$ に揃えるために負の冪を掛ける。

λ 関係式と射影束の K 環

一次独立の次は、冪がどこで止まるかである。Chow 環では Chern 類の関係式がその役を担った。$K(X)$ では、標準的な部分直線束が $f^*E$ の中にあるという一つの事実を外冪で書き直すと、関係式が出る。

一次独立と (22) で、$K(P(E))$ の中の $\ell_E$ の多項式の部分は完全に分かった。残るのは、それが $K(P(E))$ 全体であること、すなわち生成である。ここで原論文は、§4〜§6 の結果を使えば冪が生成系をなすことが証明できる、と一文で述べるだけである（印字 4-25）。

原論文は、この表示によって $K(P(E))$ の環の構造が λ 環 $K(X)$ と $E$ の類から決まると結ぶ（印字 4-25。原論文はここで $K(P(E))$ を $A(P(E))$ と印字する）。Chow 環の表示 $A(P(E))\cong A(X)[t]/(t^p+c_1(E)t^{p-1}+\dots+c_p(E))$（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「射影束の環の表示」）と並べると、Chern 類の関係式の役を外冪の関係式が果たしている。

射影束の $K$ 環が分かれば、旗束は射影束の反復なので、第 2 章の旗束の議論（本書『2-3 旗束の環』）をそのまま $K$ に移せる。係数環を $A=K(X)$、Chern 類の役を $c_i=\lambda^i(E)$ にとればよい。

旗束の K 環

原論文は旗束の場合を、Théorème 1 と同じく普遍分解代数の補題（Lemme 1）で進めると述べ、λ 環としての表示と代数としての表示を並べる（印字 4-25）。本書は二つを分けて述べる。

原論文の関係式 (24) の和は、印字では左辺も右辺も $1\le i$ から始まる（印字 4-25）。印字のままでは右辺の積の最低次の項は $t^k$ なので、$k\ge2$ で $t$ の係数を比べると $\lambda^1(E)=0$ となる。$X$ が連結なら階数の写像 $K(X)\to\mathbf Z$ は $\lambda^1(E)=[E]$ を $p\ge1$ に送るので、これは成り立たない。(18 bis) の $c=\sum_{i\ge0}c_i$ と同じく和は $i\ge0$ からと読む（本書『2-3 旗束の環』の注意「印字の読み（和の下限と指数の下限）」の同じ誤植の 5 か所目）。

層の類の群での完全性とホモトピー

§4 の注意の最後で、原論文は完全性とホモトピーの公理が層の類の群でも成り立つと述べ（Borel–Serre BS58、原論文の文献 [1] を参照させる。本書はその該当箇所を確かめていない）、証明はやはり Proposition 5 を本質的に使い、完全性の公理に帰着し、それは連接層の延長の性質から出る、と一文で添える（印字 4-31）。

段 2 と段 3 の要の部分は引用なので、この定理は原論文の一文を後代の結果で置き換えたものである。原論文の筋との関係を記録しておく。

第 3 章の線形同値の理論と並べると、この定理は §4 の公理系を満たすもう一つの理論を与える。ただし層の類の群には次数が無いので、第 4 章の射影束公式の議論（とくに一次独立の半分、本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』）はそのままでは当てはまらず、上の定理（射影束の K 環の基底）では一次独立を直像の計算で別に示した。

例と反例

最初の例は、一点の上の射影束、すなわち射影空間で上の定理を読む。Chow 環の $\mathbf Z[\xi]/(\xi^p)$ との類似が見える。

次の例は、完全旗束の表示（上の定理の 1）と射影束の表示（上の定理（射影束の K 環の基底））が、$D(E)=P(E)$ となる階数 2 で一致することを確かめる。

最後の反例は、上の定理（射影束上の直像）の範囲が最良であることを示す。範囲は一次独立の証明でちょうど使い切られていた。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていないので、該当箇所の番号は書かない。本書の参考文献表に無い文献は名前だけを挙げる）。

• K 理論の射影束定理（SGA 6 の Berthelot の講演、1971 年刊）：局所自由層の類の群について、$K(P(E))$ が $K(X)$ 上 $\mathcal O(-i)$（$0\le i\le p-1$）の類を基底とする自由加群であることが、非特異とは限らないかなり一般のスキームで示され、γ フィルトレーションとの関係も整えられた。本頁の主結果「射影束の K 環の基底」の生成の段の後代の所在の候補である。
• 高次 K 理論（Quillen、1973 年）：連接層の圏から作る高次の K 群について、射影束定理、閉部分と開部分の局所化の長完全列、ベクトル束の全空間に対するホモトピー不変性が示された。原論文 §4 の注意の層の類の群での (E)(H) は、その次数 $0$ の部分にあたる。
• Riemann–Roch の定理（Grothendieck の定理を Borel と Serre BS58 が 1958 年に紹介した）：Chern 指標 $\operatorname{ch}\colon K(X)\to CH(X)\otimes\mathbf Q$ は、固有射の直像と Todd 類の補正を挟んで両立し、非特異な準射影多様体では有理係数の同型 $K(X)\otimes\mathbf Q\cong CH(X)\otimes\mathbf Q$ を与えることが知られている（Fulton Ful98 第 15 章）。本頁の $K(P(E))$ と本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の $CH(P(E))$ の表示は、この同型で結ばれる。K 群の余次元フィルトレーションと Chow 環の整数係数での比較は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-2 K 群のフィルトレーションと Chow 環』にある。
• λ 環と γ 演算（Grothendieck Gro58、1958 年）：λ 環の構造から γ 演算と γ フィルトレーションが作られ、Chern 類を $K$ 環の中で定める道が開かれた。完備 Chern 類としての整理は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』にある。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Sur quelques propriétés fondamentales en théorie des intersections Gro58b の §3 の注意 4°（印字 4-24〜4-25）と §4 の注意の最後の段（印字 4-31）である。

原論文はこの段を「手短かに述べよう」として概略だけを書く（印字 4-24）。印字の読みは次のとおりである。(21) の第 1 行の範囲は $-(p-1)\le i<0$（印字は $\le0$）、一次独立の論法は Proposition 4 のもの（印字は「Proposition 1」）、環の構造を決めるのは $K(P(E))$（印字は $A(P(E))$）、$f_j$ は $F_j$ の類（印字は $F_i$）、(24) の和は $i\ge0$ から（印字は $1$ から）。