0-4 記号と約束
本書の全頁で共通に使う記号と約束、原論文の公理と条件の一覧、本書が足した仮定、原論文の引き方と誤植の読み方をまとめた頁である。各頁が「記号は記号と約束のとおり」と書くときはこの頁を指す。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』と本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』に、読む順序と状態札の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
原論文は同じ文字を複数の意味に使う。圏と超曲面とベクトル空間の $V$、Picard 群と射影束の $P$、部分空間の類とデータ e の $p_X$、一点の $(e)$ とデータ e、構造射の $\lambda_X$ と外冪の $\lambda^i$ である。本書はこれを書き分けた。下の表の「原論文」の欄は原論文の記号を、左の欄は本書が使う記号を示す。
空間と圏
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $k$ | 代数的閉体 | $k$ |
| 代数的空間 | $k$ 上有限型の分離的な被約スキーム（古典的な意味の代数多様体の非交和を許すもの）。今日の Artin Art71 の意味の代数空間ではない。頁では初出で断り、以後「空間」と書く | espace algébrique |
| 点、非特異点 | 閉点、非特異点 | point、point simple |
| $\mathcal V$ | 考える空間の圏（射は $k$ 上の射）。対象は既約とは限らない | $V$（超曲面・ベクトル空間と同じ文字なので書体を変える） |
| $\mathcal V_{\mathrm{qp}}$ | 非特異な準射影多様体の有限個の非交和と同型な空間の圏（『5-1』） | 言葉で |
| $\mathrm{pt}$ | 一点からなる $\mathcal V$ の対象。一つ選んで固定し、$X\times\mathrm{pt}=\mathrm{pt}\times X=X$ と同一視する | $(e)$（データ e と重なるので $\mathrm{pt}$） |
| $\pi_X\colon X\to\mathrm{pt}$ | 構造射 | $\lambda_X$（λ 演算と重なるので $\pi_X$） |
| $u_a\colon\mathrm{pt}\to X$ | 像が点 $a$ の射 | $u_a$ |
| $\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2$ | 積の射影 | $p_1$、$p_2$ |
| $\Delta_X$、$s$ | 対角 $X\to X\times X$ と、因子の入れ替え $X\times Y\to Y\times X$ | 同 |
| $T_xX$、$df_x$ | Zariski の接空間と接写像 | 同 |
| $\operatorname{Sing}Y$ | 被約な $Y$ の特異点集合（閉で、$Y$ が空でなければ次元は $Y$ より真に小さい） | 言葉で |
| $\mathbf A^1$、$\mathbf P^1$ | アフィン直線、射影直線。『3-2』はアフィン直線の座標を $s$ と書く | 下に波線を引いた k |
圏の条件は三段である。文言は各頁の定義のとおりで、ここでは要点を並べる。
- 条件 (V.1)（本書『1-1 データと公理と積の構造』）：$X,Y\in\mathcal V$ なら $X\times Y\in\mathcal V$、一点からなる空間が $\mathcal V$ に属し、$X\in\mathcal V$ に同型な空間はすべて $\mathcal V$ に属する。
- 条件 (V.2)（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』）：$X\in\mathcal V$ 上の任意のベクトル束 $E$ について $P(E)\in\mathcal V$。
- 条件 (V.3)（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』）：$X\in\mathcal V$ の開部分に同型な空間と、$X$ の非特異な閉部分空間に同型な空間はすべて $\mathcal V$ に属し、$X,Y\in\mathcal V$ なら $X\times Y\in\mathcal V$ で、$\mathbf A^1\in\mathcal V$。
原論文の §1 は (V.1)、§2・§3 は (V.1)(V.2)、§4・§5 は (V.3)、§6 は (V.1)(V.3) と、次数付きの場合にさらに (V.2) を課す。§3 はさらに $\mathcal V$ の対象をすべて非特異とする（原論文 §3 の冒頭。本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』）。
理論のデータ
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $\Lambda$ | 係数の可換環 | $\Lambda$ |
| $A(X)$ | $X$ に対応する $\Lambda$ 加群。次数付きの理論（『2-1』）では $A(X)=\bigoplus_{i\ge0}A^i(X)$（余次元で次数付け） | $A(X)$ |
| $f^*$ | データ a、引き戻し（反変関手）。弱い公理系では開部分への同型に沿ってだけ与えられる | $f^*$ |
| $f_*$ | データ b、固有射に沿う直像（共変関手）。純次元 $m$ から純次元 $n$ への射では次数 $n-m$。弱い公理系では閉部分への同型に沿ってだけ与えられる | $f_*$ |
| $x\times y$ | データ c、外積 $A(X)\otimes_\Lambda A(Y)\to A(X\times Y)$ | 同 |
| $\varepsilon=\varepsilon_X$ | データ d、既約な $X$ の増大 $A(X)\to\Lambda$。可約な $X$ には与えない | 同 |
| $1_X$ | 単位元。§1 では $\pi_X^*(1_{\mathrm{pt}})$（原論文 (1)）で、$1_{\mathrm{pt}}$ は $\varepsilon(1_{\mathrm{pt}})=1$ で定める。弱い公理系ではデータとして与える | $1_X=\lambda_X^*(1_e)$ |
| $xx'$ | 積 $\Delta_X^*(x\times x')$（原論文 (5)） | 同 |
| $\operatorname{Pic}(X)$、$cl_X(L)$ | 直線束の同型類の群と、その中の $L$ の類 | $P(X)$（射影束と重なるので $\operatorname{Pic}$） |
| $p_X$、$c_1(L)$ | データ e、引き戻しと両立する群準同型 $\operatorname{Pic}(X)\to A^1(X)$ と、直線束の第一類 $c_1(L)=p_X\,cl_X(L)$ | $p_X$。$c^1$ と $c_1$ が混在 |
理論は頁によって次の六つの型で現れる。
| 型 | 内容 | 定める頁 |
|---|---|---|
| §1 の理論 | 条件 (V.1) を満たす圏の上のデータ a〜d と公理 (I.1)〜(I.9) | 1-1、1-2 |
| 次数付きの理論 | 上に余次元の次数、データ e、公理 (I.10)、条件 (V.2) を足したもの。§3 は (I.11) も仮定する | 2-1 |
| 弱い公理系 | 条件 (V.3) を満たす圏の上で、開部分への同型に沿う引き戻し、閉部分への同型に沿う直像、外積、増大、単位元、公理 (I.1)〜(I.7) と単位元の式 (2) | 3-1 |
| §6 の条件 | すべての射に沿う引き戻しをもつ §1 の理論で、圏が (V.1)(V.3) を満たし、公理 (E)(H) が成り立つもの。次数付きの場合はデータ e、(I.10)、(V.2) を足す | 4-2 |
| Chow 理論 | $\mathcal V_{\mathrm{qp}}$ の上の、係数 $\mathbf Z$ の有理同値のサイクル類群と前の講演の引き戻し | 5-1 |
| 層の類の群の弱い理論 | 空間の全体の圏の上の連接層の類の群 $K'(X)$ と、開部分への制限・閉部分からの直像・外積・生成的な階数 | 5-2 |
公理の一覧
公理の名前は原論文の番号のまま使い、頁名・章の説明では「横断的な底変換の公理」「射影束公式」のように言葉に開く。文言は右の欄の頁の定義のとおりである。
| 公理 | 内容（短く） | 定める頁 |
|---|---|---|
| (I.1) | 外積は引き戻しとも直像とも両立する：$(f\times g)^*(x\times y)=f^*x\times g^*y$、$(f\times g)_*(x\times y)=f_*x\times g_*y$ | 1-1 |
| (I.2) | 既約な空間の射について $\varepsilon(f^*y)=\varepsilon(y)$ | 1-1 |
| (I.3) | 既約な空間について $\varepsilon(x\times y)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)$ | 1-1 |
| (I.4) | 外積の結合性と、入れ替えの式 $y\times x=s_*(x\times y)$ | 1-1 |
| (I.5) | $\varepsilon\colon A(\mathrm{pt})\to\Lambda$ は同型 | 1-1 |
| (I.6) | $x\times1_{\mathrm{pt}}=1_{\mathrm{pt}}\times x=x$ | 1-1 |
| (I.7) | 互いに交わらない開部分の和では、制限の組と直像の和が互いに逆の同型。とくに同型に沿う $f^*$ と $f_*$ は互いに逆 | 1-1 |
| (I.8) | 横断的な底変換：固有射 $f\colon X\to S$ が閉部分 $Y$ に横断的なら $j_Y^*f_*=(f_Z)_*j_Z^*$（$Z=f^{-1}(Y)$） | 1-2 |
| (I.9) | 射影公式：固有な $f$ について $f_*(f^*(y)\,x)=y\,f_*(x)$ | 1-2 |
| (I.10) | 横断的な切断の零点：直線束 $L$ の切断が零切断に横断的で零点の集合 $Y$ が $\mathcal V$ に属するなら $[Y]=c_1(L)$ | 2-1 |
| (I.11) | 射影束公式：$\xi_E^{\,i}$（$0\le i\le p-1$）は $A(P(E))$ の $A(X)$ 加群としての基底 | 2-1（成立は 4-2、5-1） |
| 式 (2) | 弱い公理系で公理として置く単位元の式：$1_X\times1_Y=1_{X\times Y}$、開部分への同型 $f$ について $f^*(1_Y)=1_X$、既約な $X$ について $\varepsilon(1_X)=1$ | 3-1（§1 では『1-1』の主結果） |
| (E) | 完全性：閉部分 $Y\in\mathcal V$ と $U=X-Y$ について $A(Y)\xrightarrow{i_*}A(X)\xrightarrow{j^*}A(U)\to0$ は完全 | 3-1 |
| (H) | ホモトピー：$h_X\colon A(X)\to A(X\times\mathbf A^1)$、$x\mapsto x\times1_{\mathbf A^1}$ は全射 | 3-1 |
| (Z) | 既約で非特異な $X$（次元 $n\ge1$）の $\varepsilon(x)=0$ なる元は、次元 $n-2$ 以下の閉集合を除いた開部分の上で、閉で非特異な超曲面からの直像になる | 3-1 |
| (HD) | 既約で非特異な $X$ の非特異な超曲面 $Y$ の定める因子が $0$ に線形同値なら $i_*(1_Y)=0$ | 3-1 |
原論文は (Z) を次元を限らずに述べる。本書は (Z) を $n\ge1$ に限る。$n=0$ では超曲面が空になり、空集合は圏に属さないからで、$n=0$ の場合は結論が要らない（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』）。
本書が足した仮定
原論文が暗黙に使う仮定のうち、公理からも圏の条件からも出ないものを、本書は足した仮定として明示する。足した仮定の下での判定は、主結果の札と頁の注意の両方に書く。足した仮定は次の四つである。
| 仮定 | 使う所 | 回収 |
|---|---|---|
| 開部分 $V'$ とその逆像 $E'$ が $\mathcal V$ に属する | 『1-2』の主結果「開部分への制限と直像」（原論文 §1 の系 2） | §4 以降の条件 (V.3) の下では自動的に満たされる |
| $X$ が既約であるか、$X$ の連結成分がすべて $\mathcal V$ に属する | 『2-1』の主結果「基本類の冪の一次独立」（原論文 Proposition 4） | (V.3) の下では自動的に満たされる。射影束公式の証明で使うのはその状況である（『4-2』） |
| (BC)：開部分への制限と閉部分からの直像の入れ替え | 『3-1』の主結果「完全性と補助公理からホモトピーへ」（原論文 Proposition 5）の証明の 3 か所 | 線形同値の理論では (BC) がサイクルの水準で成り立つので、原論文の Théorème 2 は足した仮定に依らない（『3-2』） |
| 原論文 §6 の系 1 の「局所自明」を Zariski 位相で読む | 『4-2』の主結果「局所自明なファイバー空間」 | ベクトル束、その射影束・旗束、一般線形群の主束は Zariski 局所自明なので、本書で使う場合はすべて満たす |
(BC) の文言は次のとおりで、本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の定義「本書が足した仮定 (BC)：開部分への制限と閉部分からの直像の入れ替え」と同じである。
(BC)：$i\colon Y\to X$ が閉部分への同型、$j\colon U\to X$ が開部分への同型で $Y\in\mathcal V$ なら、$j^*i_*=(i_{Y\cap U})_*\,j_{Y\cap U}^*$ である。ここで $Y\cap U$ は $i^{-1}(j(U))$ で、$i_{Y\cap U}\colon Y\cap U\to U$、$j_{Y\cap U}\colon Y\cap U\to Y$ は包含である。
(BC) は原論文の公理ではない。§1 の公理系では、非特異な空間について横断的な底変換の公理 (I.8) がこの入れ替えを与えるが（『1-2』）、§4 の弱い公理系には開の射と閉の射を結ぶ公理が一つも無い。本書は (BC) を §4・§5 の公理系に加える仮定として置き、Proposition 5 の札を「足した仮定 (BC) の下」とした。$Y\cap U$ が空の場合は (E) から出るので、(BC) の中身は $Y\cap U$ が空でない場合の等式である。本書は (BC) が公理から独立であることを示す例までは作っていない。次元の帰納法の補題（原論文 Lemme 2）、§5 の結果、§6（すべての射の引き戻しを置く）は (BC) を使わない。
横断性と部分空間の類
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $f$ が $x$ で $Y'$ に横断的 | $x$ は $X$ の非特異点、$f(x)$ は $Y$ と $Y'$ の非特異点、$T_{f(x)}Y=T_{f(x)}Y'+df_x(T_xX)$。$f^{-1}(Y')$ の全点でそうなら $f$ は $Y'$ に横断的（逆像が空なら条件は無い） | transversal |
| $Y$ と $Y'$ が横断的に交わる | 対角 $\Delta_X$ が $Y\times Y'$ に横断的 | 同 |
| 横断的な切断 | 直線束の切断 $s\colon X\to L$ が零切断の像 $s_0(X)$ に横断的 | 同（原論文は括弧書き） |
| $X\times_SY$、$\varphi$、$\psi$ | $f\times g$ が $\Delta_S$ に横断的なときの $(f\times g)^{-1}(\Delta_S)$（被約）と、その二つの射影。相対外積は $x\times_Sy=\varphi^*(x)\,\psi^*(y)$ | 同 |
| $[Z]$、$[Z]_X$ | 閉部分 $Z\in\mathcal V$ の類 $i_*(1_Z)$。$[X]_X=1_X$ | $p_X(Z)$（データ e と同じ文字なので $[Z]$） |
射影束と Chern 類
本書の規約
原論文の規約は第 3 巻・第 5 巻の本書の規約と同じなので、読み替えは要らない。
- 階数 $p\ge1$ のベクトル束 $E$ に対し、$P(E)$ は $E$ のファイバーの直線の空間、$f\colon P(E)\to X$ は射影である（原論文の印字 4-11）。今日の記法で $\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(E^\vee)$、EGA の記法では $\mathbb P(E^\vee)$ に当たる。
- $f^*E$ の中の標準的な部分直線束 $\mathcal O(-1)$（点 $d\in P(E)$ でのファイバーが直線 $d$ そのもの）の双対を $L_E=\mathcal O(1)$ とし、基本類を $\xi_E:=c_1(L_E)=p_{P(E)}\,cl_{P(E)}(L_E)\in A^1(P(E))$ とする（原論文 (14)）。ベクトル空間 $V$（一点の上の束）では $\xi_V\in A^1(P(V))$ と書く。原論文は $\mathcal O(-1)$ を $\check L_E$ と書く。
- Chern 類 $c_i(E)\in A^i(X)$ を $\sum_{i=0}^pf^*c_i(E)\,\xi_E^{\,p-i}=0$、$c_0(E)=1$、$c_i(E)=0$（$i>p$）で定め、全 Chern 類を $c(E)=\sum_ic_i(E)$ とする（原論文 (18)(18 bis)）。$f^*$ による像は、混乱のおそれが無いとき $f^*$ を略して書く。
- 射影束の環は $A(P(E))\cong A(X)[t]/(t^p+c_1(E)t^{p-1}+\dots+c_p(E))$、$\xi_E\leftrightarrow t$ である（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「射影束の環の表示」）。
検算と分裂の因子の符号
階数 1 なら $P(L)=X$、$\mathcal O(-1)=L$、$L_L=L^\vee$ で、$\xi_L=c_1(L^\vee)=-c_1(L)$ だから、関係式 $\xi_L+c_1(L)=0$ は正規化 $c(L)=1+c_1(L)$ を符号なしで与える。階数 1 の商をもつ旗 $0=E_0\subset E_1\subset\dots\subset E_p=E$ では $\prod_i(\xi_E+c_1(E_i/E_{i-1}))=0$、したがって $c(E)=\prod_i(1+c_1(E_i/E_{i-1}))$ である（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「旗で分裂する束の関係式」）。
完全旗束 $D(E)$ の上の分裂の因子の類 $\xi_1,\dots,\xi_p$ は、完全な旗の各段の商の第一類 $\xi_k=c_1(W_k/W_{k-1})$ で、$W_1$ は $P(E)$ の部分直線束 $\mathcal O(-1)$ の引き戻しである。したがって $P(E)$ の上では
$$\xi_1=c_1(\mathcal O(-1))=-\xi_E$$
である。原論文の Lemme 1 の証明の関係 $\xi_1^p-c_1\xi_1^{p-1}+\dots+(-1)^pc_p=0$（印字 4-21）は、$\xi_1=-\xi_E$ を代入すると $(-1)^p\sum_ic_i\xi_E^{\,p-i}=0$ になり、(18) と一致する。原論文は符号に触れないが、矛盾はない（本書『2-3 旗束の環』の注意「分裂の因子の符号」）。主束の環の計算は分裂の因子の類の符号によらない（本書『4-3 アフィン束と主束』）。
次数
原論文 §2 は $A(X)=\bigoplus_{i\ge0}A^i(X)$ を余次元で次数付ける（Chow 環の次数）。第 3 巻『Chern 類の公理的理論』と同じで、第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』のコホモロジーの次数 $H^{2i}$ の半分である。原論文 §2 の注意 1° は、コホモロジー理論を含めるには直像の次数と第一類の値を倍にすべきだったと述べる（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』）。本書も余次元で次数を付ける。§1 の公理系は次数を仮定しない。連接層の類の群も同じ枠に入れるためである（本書『1-1 データと公理と積の構造』）。
旗束と普遍分解代数
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $\tau=(p_1,\dots,p_k)$ | 旗の型（正整数、和 $p$） | 同 |
| $D_\tau(E)$、$D(E)$ | 型 $\tau$ の旗束と、完全旗束 $D_{(1,\dots,1)}(E)$。型 $(1,p-1)$ の旗束は $P(E)$ | 同 |
| $E_1\subset\dots\subset E_k$、$F_j=E_j/E_{j-1}$ | 旗束の上の標準旗と、各段の商（階数 $p_j$） | 同 |
| $c_i^{(j)}$ | $c_i(F_j)$（原論文 (19)） | 同 |
| $W_1\subset\dots\subset W_p$、$\xi_k$ | 完全旗束の上の完全な旗と、分裂の因子の類 $c_1(W_k/W_{k-1})$ | 同 |
| $\sigma_i$ | 基本対称式 | 同 |
| $C=A[\xi_1,\dots,\xi_p]/(\sigma_i(\xi)-c_i)$、$B$、$M_\tau$ | 普遍分解代数、変数の群ごとの基本対称式が生成する部分代数、指数に上限をつけた単項式の集合 | Lemme 1 の $C$、$B$ |
| $\mathrm{GL}_p$、$B_G$、$T$、$U$ | 一般線形群、Borel 群（上三角行列）、極大トーラス（対角行列）、単冪根基（対角成分が $1$ の上三角行列）。普遍分解代数の $B$ と重なるので、Borel 群は $B_G$ と書く | $B$、$T$ |
| $P$ | $E$ の枠の束 $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X^p,E)$（一般線形群の主束） | 同 |
同じ文字を頁によって別の意味に使うものがある。『2-3』は対称式の基本定理を述べる所で、置換の群の積 $S_{p_1}\times\dots\times S_{p_k}$ を $G$ と書く（線形群の $G$ とは別）。『4-3』は $U$ を単冪根基に使い、他の頁では $U$ は開部分を表す。
完全性・ホモトピー・線形同値
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $h_X\colon A(X)\to A(X\times\mathbf A^1)$ | $x\mapsto x\times1_{\mathbf A^1}$。弱い公理系では引き戻しが開部分への同型にしか無いので、これは外積であって引き戻しではない。(H) は $h_X$ の全射性。§1 の理論では $h_X=\mathrm{pr}_1^*$ | $p_X^*$（部分空間の類の $p_X$ と重なるので $h_X$） |
| 族の成分、$W(t)$ | $X\times\mathbf A^1$ の既約閉部分で $\mathbf A^1$ に支配的に射影するものと、その $X\times\{t\}$ との交わりを $X$ 上のサイクルとみたもの | 同 |
| 族 $Z$、$Z(t)$ | 各成分が族の成分であるサイクル $Z=\sum n_W[W]$ と、$Z(t)=\sum n_WW(t)$ | 同 |
| $0$ に線形同値 | $Z(0)-Z(1)$ の形のサイクル。その全体を $\operatorname{Lin}(X)$、線形同値のサイクル類群を $\mathcal Z(X)/\operatorname{Lin}(X)$ と書く（『3-2』）。因子については主因子であることと同じ | équivalence linéaire |
| 有理同値 | 射影直線上の族のファイバーの差による同値。非特異な空間の上では線形同値と同じ関係（『5-1』の主結果「有理同値と線形同値の一致」） | équivalence rationnelle |
| 超曲面 | 各既約成分の余次元が 1 の閉部分空間 | hypersurface |
| $L^\times$ | 直線束から零切断を除いた空間 | 同 |
| $\langle S\rangle_U$、$M^{(S)}$ | 局所的な生成の条件の部分加群（『4-2』）と、$S$ で添字付けた $M$ の直和 | 同 |
| $[P_i]$ | 射影空間の $i$ 次元の線形部分空間の類（『4-1』） | $p_P(P_i)$ |
Chow 環と K 理論
| 記号 | 意味 | 原論文 |
|---|---|---|
| $CH(X)=\bigoplus_iCH^i(X)$ | 有理同値によるサイクル類の群を余次元で次数付けたもの（『5-1』） | $A(X)$、$C(X)$ |
| $K(X)$ | 非特異な $X$ の連接層の類の環（Borel–Serre BS58）。後代の $K_0(X)$ | $K(X)$ |
| $K'(X)$ | 任意の空間の連接層の類の群（『5-2』の主結果「層の類の群の完全性とホモトピー」）。非特異なら $K(X)$ の加法群 | 言葉で |
| $f_!$ | 固有射の直像 $\sum_q(-1)^q[R^qf_*]$ | 同 |
| $\ell_E$ | $L_E$ の類 $\in K(P(E))$。可逆で $\ell_E^{\,i}=[\mathcal O(i)]$ | $\ell_E=\gamma(L_E)$ |
| $\lambda^i$、$\lambda_t$、$\lambda_{-1}$ | 外冪の演算、生成級数 $\sum_i\lambda^it^i$、$\sum_i(-1)^i\lambda^i$。λ 環の一般論は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』 | 同 |
| $f_j$、$x_m$ | 旗束の各段の商 $F_j$ の類と、完全旗束の各段の商の直線束の類 | 印字は $F_i$ |
空集合の扱い
原論文は空集合を圏に入れない。本書も空集合を使わない道で証明する。とくに『2-1』の $\xi_V^{\,p}=0$ は、原論文が余次元 $p$ の線形部分空間（空集合）の類として読む所を、射影公式と一点の環の次数から示した。『2-2』の分裂の関係式も、部分射影束の列を空集合まで下げずに射影公式で閉じた。
空集合が $\mathcal V$ に属すると仮定すれば、その環は自動的に $0$ になる。$\emptyset$ は互いに交わらない二つの開部分 $\emptyset$ と $\emptyset$ の和なので、公理 (I.7) により、二つの制限（どちらも恒等写像）を並べた対角写像 $A(\emptyset)\to A(\emptyset)\oplus A(\emptyset)$ は同型であり、$A(\emptyset)=0$ となる（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の注意「原論文の最高次の冪の扱いと空集合」）。第 3 巻『Chern 類の公理的理論』は、空集合が圏に属するという条件と、空集合の値が零であるという条件を二つに分けて置いた（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『2-1 公理 A 1〜A 4 と補題 2』）。本書の原論文の公理系では、非交和の公理 (I.7) により前者から後者が出る。
原論文の引き方
- 「原論文」は Grothendieck Gro58b、すなわち Séminaire C. Chevalley 第 2 年（1958 年）「Anneaux de Chow et applications」の exposé 4 を指す。頁は印字頁 4-01〜4-36 で引き、「印字 4-17」のように書く。Numdam で公開されている PDF の頁番号 $n$ は印字 4-$(n-1)$ に当たる。
- 節は「§n」、式は原論文の番号「(18 bis)」、番号付きの主張は原論文の番号と語のまま「Proposition 4」「Théorème 1」「Lemme 3」、系は「§6 の系 1」「Théorème 1 の系 1」、注意は「§3 の注意 3°」のように引く。原論文 §6 の最後の注意は記号の付かない一段落なので、本書『4-3 アフィン束と主束』はその中の主張を書かれた順に (a)〜(e) と呼ぶ（記号は本書のもの）。
- 原論文の文献表 [1]〜[5] の番号は、本書の参考文献のラベルと併記することがある。[1] は Borel–Serre BS58、[4] は第 3 巻の原論文 Gro58 である。加法性について原論文は「[4] の定理 1」に委ねるとだけ書き、本書はその委譲と、本書が公理から示したことを分けて書く（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』）。
- 「前の講演」は同じセミナーの exposé 3（Chevalley Che58II）で、非特異準射影多様体の Chow 環の構成を与える。本書はその本文を開いておらず、引用として扱う（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』）。「次の講演」は exposé 5（Grothendieck Gro58c）である。
- 原論文自身の確信度（命題、注意、予想、「plausible」、「手短かに述べる」概略、「容易に」「明らかに」「難なく」の省略）は、各頁の本文で添える。本書の状態札とは別のものである。
状態札の意味
- 状態札は ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結：何が足りないか］ の三つである。
- ［完結］は、公理だけから形式的に出るもの、初等的な代数（対称式の基本定理、有限群の固定体についての Artin の定理、自由加群の基底と直和因子）、本書の他の頁で［完結］とした主張だけで閉じるものである。
- ［条件付き］は、第 0 章で証明なしに述べる標準的な定理（Jacobi の判定法、代数多様体の基本、射影空間と射影束の基本、サイクルと固有な交わり、Krull の可換環論、線形代数群の構造、Serre の射影空間のコホモロジーの計算など）や外部入力を引いた段が一つでもあるものである。条件は依存する主結果に伝わる。原論文に証明が無くても、本書が外部入力を使った証明を与えたものは［条件付き］である。
- ［未完結］は、原論文にも本書にも、外部入力を使った証明も無いものである。
- 第 1〜4 章の札は、原論文の公理を仮定とする命題としての判定である。公理を満たす理論が実在することは第 3 章の『3-2』と第 5 章で別に判定する。例と反例は、それぞれの頁の本文に書いた条件（「射影束公式 (I.11) を満たし係数環が 0 でないどの理論でも」「§6 の条件を満たし係数環が 0 でないどの理論でも」）の形で述べる。
- 本書が足した仮定に依る主結果は、札に「足した仮定：…」または「足した仮定 (BC) の下」と書く。
- 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した主張を主結果とし、原論文の形がどの反例で破れるかを札の後に添え、原論文の印字と反例をその頁の注意と反例のボックスに書く。したがって札に［偽］は現れない。
- 第 0 章の頁は引用の頁なので札を付けない。札の読み方と全体の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
原論文の誤植と条件の脱落の読み方
本書は、原論文の印字の不備を二つに分ける。一つは誤植で、文字・添字・番号・矢印・和の範囲の誤りである。印字のままでは式が矛盾するか写像が定義されないものも、同じ頁の他の式や証明が正しい形を与えるときは誤植とし、訂正した形で読んで、頁の注意に「印字は…、…と読む」と書く。もう一つは条件の脱落で、主張に要る条件が書き落とされているものである。本書の条件の脱落は二つある。『1-1』の増大の式は、可約な空間では左辺が定義されないので既約な空間についての式と読む。印字の式が偽になるのではない。『2-2』の Chern 類の特徴づけは、条件 $c'_0=1$ と、階数を超える $i$ で $c'_i=0$ を落としており、印字のままでは偽である。本書は条件を添えた訂正形を主結果とし、落とした形が破れる反例を注意と反例のボックスに書いた。どちらも独立の主結果としては数えない。
| 箇所 | 原論文の印字 | 本書の読み | 頁 |
|---|---|---|---|
| 印字 4-03、(2) の第 3 式 | $\varepsilon(1_X)=1$ をすべての $X$ について書く | 既約な $X$ についての式（条件の脱落） | 1-1 |
| 印字 4-04、(3) の証明 | $p_1=\mathrm{id}_X\lambda_Y$ | $\mathrm{id}_X\times\lambda_Y$ | 1-1 |
| 印字 4-05、(I.8) | 本文の包含 $i_Y,i_Z$ と、式の $j_Y,j_Z$ | $j_Y,j_Z$ に揃える | 1-2 |
| 印字 4-06、(8) の前の設定 | $g'=fg$ | $g'=g\circ v$ | 1-2 |
| 印字 4-07、Proposition 2 の導出 | 代入の指示の「$f'$ par $g$」、結びの「formule (1)」 | 代入後に $f'=f$、$g'=g$ となる割り当て、(8) | 1-2 |
| 印字 4-07、系 1 の後の記号 | $Z$ の類の右辺 $i_*(1_Y)$ | $i_*(1_Z)$ | 1-2 |
| 印字 4-14、Proposition 4 の証明 | 最後の係数 $a_{p-1}$ | $x_{p-1}$ | 2-1 |
| 印字 4-15、§2 の Chow 環での検証 | (I.1) を前の講演で確かめたと書いた直後に「(I.1)〜(I.6) は自明」 | (I.1) の引き戻しの式は引用、(I.1) の直像の式と (I.2)〜(I.7) をサイクルの水準で確かめる | 5-1 |
| 印字 4-17〜4-18、性質 i〜iii による特徴づけ | 条件 $c'_0=1$ と $c'_i=0$（$i>$ 階数）が無い | 条件を添えた訂正形（条件の脱落。印字のままでは反例がある） | 2-2 |
| 印字 4-18、性質 ii | $c^1(E)$ | $c_1(E)$ | 2-2 |
| 印字 4-19、4-20、4-22、(20)・Lemme 1 (ii)・(ii) の証明の (*)・同じ証明の $C'$ の関係式 | 和の下限が 1 | $i\ge0$ から（$c_0=1$）。印字のままでは低い次数の成分で $c_1=0$ または $1=0$ を強いる | 2-3 |
| 印字 4-25、(24) | 和の下限が 1 | $i\ge0$ から。上の 4 か所と合わせて原論文全体で 5 か所 | 5-2 |
| 印字 4-19、(20) の直後と Théorème 1 | $A(P(X))$、型 $(p_1,\dots,p_j)$ | $A(D_\tau(E))$、$(p_1,\dots,p_k)$ | 2-3 |
| 印字 4-23、Théorème 1 の系 1 の証明と Théorème 1 の証明 | 指数の範囲 $1\le\alpha_i\le p-i$（3 か所）、$B'=A(D_\tau(E))$ | $0\le\alpha_i\le p-i$、$B$ | 2-3 |
| 印字 4-24、(21) の第 1 行 | 範囲 $-(p-1)\le i\le0$ | $-(p-1)\le i<0$。印字のままでは $i=0$ で第 2 行の $f_!(1)=1_X$ と矛盾 | 5-2 |
| 印字 4-25、§3 の注意 4° | 一次独立の論法の「Proposition 1」、環の構造の $A(P(E))$、「ベクトル束 $F_i$ の類」 | Proposition 4 の論法、$K(P(E))$、$F_j$ | 5-2 |
| 印字 4-26、(E) | 矢印 $i^*$、$j_*$ | $i_*$、$j^*$。印字のままでは弱い公理系で写像が定義されない | 3-1、3-2 |
| 印字 4-27、(HD) | 「$V$ irréductible」 | $X$ | 3-1 |
| 印字 4-28、Lemme 2 の証明とその系 | 完全性の根拠の「(H)」、「Lemme 1 から」 | (E)（(H) は証明中の主張なので循環する）、Lemme 2 | 3-1 |
| 印字 4-29、Lemme 3 の証明 | 冒頭と末尾の「Lemme 2」 | Lemme 3（2 か所） | 3-1 |
| 印字 4-31、Proposition 7 の仮定 | $v_i(S_i)$ | $v_i^*(S_i)$ | 4-1 |
| 印字 4-33、Théorème 3 の証明 | 制限の射 $f_1,f',f$ の列挙の順、「(I.9) pour i」 | $f_1\colon\bar Y_1\to Y_1$、$f'\colon\bar U'\to U'$。閉埋め込み $\bar Y_1\to\bar U'$ についての射影公式の略記 | 4-2 |
綴りの誤りのような、数学の読みに関わらない軽微な印字は挙げない。
誤植ではなく、紙面の語の読み方を本書が決めたものもある。原論文の「espace algébrique」は上の「空間と圏」の意味で読み、射影空間の線形部分空間を指す「sous-variété affine」「hyperplan affine」は当時の用語として記録する（今日の「アフィン」とは意味が違う。本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』）。原論文 §6 の系 1 の「局所自明」は Zariski 位相で読み、これを足した仮定に数える（上の「本書が足した仮定」）。§6 の最後の注意 (e) の「$P/T$ は $P/B_G$ の上のアフィン束」は正しい主張で、本書はその一言で確かめられていない $P\to P/B_G$ の Zariski 局所自明性を補って閉じた（本書『4-3 アフィン束と主束』）。
頁の読み方の約束
- 第 1 章以後の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』」、別の巻への参照は「参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『n-m 名前』」の形で書く。
- 第 3 巻『Chern 類の公理的理論』の射影束・旗束・一意性・双対・外冪・テンソル積の公式は、同じ射影束の規約と同じ余次元の次数で書かれているので、読み替えなしに引く。第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』の公式を引くときは、次数 $H^{2i}$ を $A^i$ と読み替える。
- 後代の名称（Chow 群の局所化列、$\mathbf A^1$ ホモトピー不変性、分裂原理、普遍分解代数、代数的コボルディズム、精密化した Gysin 写像、$K_0$、$K'$ の局所化など）は説明と「その後の発展」で使い、原論文自身の表記として帰属させない。「その後の発展」は時点を明記し、本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。
- 「例」「反例」を使い、反例ではどの条件を外したかを最初に書く。
参考文献
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