0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

本書で引用として使うサイクルと交叉の基本（サイクルと基本サイクル、直像・直積・制限・閉包、固有な交わりと重複度、有理同値と線形同値、1958 年の Chow 環の構成、因子と直線束、局所化の完全列とホモトピーの後代の形）、可換環論の道具（Krull の主イデアル定理、正規ネーター整域の高さ 1 の素イデアル）、連接層の類の環（Borel–Serre の $K(X)$、固有射の直像、射影空間のコホモロジーと Künneth の公式、λ 環）、対称式の基本定理と有限群の固定体についての Artin の定理を集めた頁である。各項目は要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。Chow 環・押し出し・射影公式・K 群・λ 環の詳しい扱いは参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』『4-1 λ 環と完備 Chern 類』にあり、本頁は定義を短く繰り返したうえで、原論文に固有の事実を足す。案内に挙げる文献の該当箇所は、本書では確かめていない。代数多様体・横断性・射影束・旗束の前提は本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』にある。
前提知識: 代数的サイクル, 有理同値, Chow群, Cartier因子, 正規環, Grothendieck群, λ環, 対称多項式, Galois理論

サイクルと固有な交わり

原論文は §2 で Chow 環を公理の例として挙げ、§4 で線形同値によるサイクル類群が完全性とホモトピーの公理を満たすことを示す（Théorème 2）。どちらもサイクルの初等的な操作と、固有な交わりの交叉積を使う。

サイクルとその操作

サイクルとその操作

$X$ を代数的空間とする。$X$ の既約閉部分多様体 $W$ の形式的な整数係数の有限和 $z=\sum n_W[W]$ を $X$ 上のサイクルといい、$n_W\ne0$ となる $W$ の和を台という。余次元 $i$ の $W$ だけからなるサイクルの群を $Z^i(X)$ と書く。閉部分スキーム $Y$ の基本サイクルは $[Y]=\sum\ell(\mathcal O_{Y,W})[W]$（$W$ は $Y$ の既約成分、$\ell$ は長さ）で、$Y$ が被約なら成分の和である。サイクルには次の操作がある。
(1) 開部分への制限：開部分 $U\subset X$ について $z|_U=\sum n_W[W\cap U]$（$W\cap U=\emptyset$ の項は落とす）。
(2) 閉包：$U$ 上のサイクル $\sum n_{W'}[W']$ に、$X$ での閉包の和 $\sum n_{W'}[\overline{W'}]$ を対応させる。閉包の制限はもとのサイクルなので、制限 $Z^i(X)\to Z^i(U)$ は全射である。$z|_U=0$ となるのは台が $X-U$ に含まれるときに限る。
(3) 閉部分からの直像：閉部分 $Y\subset X$ 上のサイクルは、そのまま $X$ 上のサイクルとみなせる。固有射 $f$ については、$\dim f(W)=\dim W$ なら $f_*[W]=\deg(W/f(W))[f(W)]$、そうでなければ $0$ と定める。
(4) 直積：$[W]\times[W']=[W\times W']$（$W\times W'$ は既約。本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理（既約性と次元の基本））を双線形に延ばす。
これらは互いに両立する。たとえば閉部分 $Y$ 上のサイクルの直像を開部分 $U$ に制限したものは、$Y\cap U$ への制限の直像に等しい。

最後の両立は、本書が §4・§5 の公理系に足した仮定 (BC)（開部分への制限と閉部分からの直像の入れ替え）が、サイクルの水準では成り立つことの中身である（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 1）。

  • 使いどころ：線形同値の理論のデータ（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 1）、台の押し込み（同 主結果 3）、(E) の完全性の検証（同 主結果 4）。
  • 案内：代数的サイクル、Wei46、Ful98 第 1 章。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』。

固有な交わりと重複度

固有な交わりと交叉重複度

$X$ を純次元 $n$ の非特異な代数的空間、$V$、$W$ を $X$ の既約閉部分多様体とする。
(1) 次元の不等式：$V\cap W$ の各既約成分 $Z$ について $\dim Z\ge\dim V+\dim W-n$ である。等号がすべての成分で成り立つとき、$V$ と $W$ は固有に交わるという。
(2) 交叉積：固有に交わる $V$、$W$ について、各成分 $Z$ に正の整数の交叉重複度 $i(Z;V,W)$ が定まり、$V\cdot W=\sum_Zi(Z;V,W)[Z]$ とおく。これはサイクルに双線形に延び、可換かつ結合的である。$Z$ の生成点で $V$ と $W$ が横断的に交われば $i(Z;V,W)=1$ である。
(3) 局所性：開部分 $U\subset X$ について $(V\cdot W)|_U=(V\cap U)\cdot(W\cap U)$ である。重複度は $Z$ の生成点の近傍だけで決まる。
(4) 直積との両立：$X\times Y$ の上で $(z\times w)\cdot(z'\times Y)=(z\cdot z')\times w$（$z$ と $z'$ が $X$ で固有に交わるとき）。
(5) 因子との交わり：$W$ が余次元 1 の局所主部分（Cartier 因子）の台に含まれなければ、$W$ と因子は固有に交わり、重複度は $W$ の局所環での局所方程式の位数から決まる。

重複度は Weil Wei46 が幾何的に、Samuel Sam55 が局所環の重複度で定め、Serre は Tor の長さの交代和で表した（Ser65 第 V 章。Serre の Tor の公式と、長さだけでは重複度を誤る例は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』にある）。本書は (1)〜(5) を証明せず引用する。

  • 使いどころ：線形同値の定義の $Z(t)$（下の定義（線形同値））、線形同値の理論の直積と制限の well-defined 性（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 1・3）、有理同値と線形同値の一致（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果 2）。
  • 案内：交叉重複度、Wei46、Sam55、Cho56、Ser65、Ful98 第 7〜8 章。
反例：非特異性を外すと次元の不等式は破れる

上の定理（固有な交わりと交叉重複度）の (1) から、$X$ が非特異であるという仮定を外す。$X=\{xy=zw\}\subset\mathbf A^4$ は原点に特異点をもつ $3$ 次元の多様体で、平面 $V=\{x=z=0\}$ と $W=\{y=w=0\}$ はどちらも $X$ に含まれる $2$ 次元の既約閉部分である。$V\cap W$ は原点だけで次元 $0$ だが、不等式の右辺は $2+2-3=1$ である。したがって特異点のある空間では固有な交わりの交叉積をそのままは定義できず、原論文が線形同値の理論をまず非特異な空間で展開し、特異な空間への拡張を Serre の交叉理論に委ねる理由の一つになる（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 5）。

有理同値と線形同値

原論文は同じ関係を二つの名で呼ぶ。冒頭と §2（PDF 2、16）では有理同値、§4（PDF 30〜31、印字 4-29〜4-30）ではアフィン直線上の族による線形同値である。本書は定義を分けて置き、同じ関係であることを本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』で示す。

有理同値と Chow 群

$X$ を代数的空間とする。$X\times\mathbf P^1$ の余次元 $i$ の既約閉部分 $\mathcal W$ で射影 $\mathcal W\to\mathbf P^1$ が支配的なものについて、ファイバー $0$ と $\infty$ の上の基本サイクルの差 $[\mathcal W(0)]-[\mathcal W(\infty)]$ を $X$ 上のサイクルとみたものが生成する部分群を $\operatorname{Rat}^i(X)\subset Z^i(X)$ とし、差がここに入る二つのサイクルを有理同値であるという。同じ部分群は、余次元 $i-1$ の既約閉部分 $W$ の上の零でない有理関数 $r$ の因子 $\operatorname{div}(r)$ で生成される。$CH^i(X)=Z^i(X)/\operatorname{Rat}^i(X)$ を余次元 $i$ の Chow 群という。

有理同値の二つの定義の比較、Chow 群の固有押し出しと平坦引き戻しは参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』にある。

線形同値

$X$ を非特異な代数的空間とする。$X\times\mathbf A^1$ 上のサイクル $Z$ で、各成分の $\mathbf A^1$ への射影が稠密なものを考える。各成分は各 $t\in\mathbf A^1$ について $X\times\{t\}$ と固有に交わる（上の定理（固有な交わりと交叉重複度）の (5)）ので、交叉 $Z\cdot(X\times\{t\})$ を $X$ 上のサイクルとみたものを $Z(t)$ と書く。$Z(0)-Z(1)$ の形のサイクルを $0$ に線形同値であるといい（このようなサイクルの和はまたこの形である）、差が $0$ に線形同値な二つのサイクルを線形同値であるという。線形同値類の群を、原論文 §4 は $A(X)$ とする。

線形同値と有理同値が同じ関係であることの証明（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果 2）は、上の定理（固有な交わりと交叉重複度）と、射影直線の座標の取り替えを使う。射影直線の相異なる三点は一次分数変換で任意の相異なる三点に移るので、$0$ を $0$ に、$\infty$ を $1$ に、第三の点 $c$ を $\infty$ に移し、$c$ の上のファイバーを除けば、$\mathbf P^1$ 上の族は $\mathbf A^1$ 上の族になる。

  • 使いどころ：線形同値の理論（本書『3-2 線形同値の理論』の全体）、因子の生成的な主性の結論の読み（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の主結果 2）、Chow 環での射影束公式（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果 3）。
  • 案内：有理同値、Cho56、Che58II、Ful98 第 1 章。

因子と直線束

因子と直線束の対応

$X$ を非特異な代数的空間とする。
(1) $X$ の局所環は一意分解整域なので、余次元 1 のサイクル（Weil 因子）は局所主（Cartier 因子）であり、両者は一対一に対応する。
(2) 直線束 $L$ と、どの成分の上でも零でない有理切断 $s$ について、$\operatorname{div}(s)$ の類は $s$ によらず、$cl_X(L)\mapsto[\operatorname{div}(s)]$ は群の同型 $\operatorname{Pic}(X)\cong CH^1(X)$ を与える。$s$ が正則な切断なら $\operatorname{div}(s)$ は零点の因子で、$s$ が零切断に横断的なら零点集合 $Y$ は非特異で重複度 1 で現れ、$\operatorname{div}(s)=[Y]$ である。
(3) 有理関数 $g$ の主因子 $\operatorname{div}(g)=(g)_0-(g)_\infty$ は $0$ に有理同値であり、アフィン直線上のある族 $Z$ の $Z(0)-Z(1)$ として書ける。

  1. の一意分解性は、一般の正則局所環については Auslander と Buchsbaum の定理 AusBuc59（1959 年）である。本書は非特異多様体の局所環について引用として使う。(3) の族は本書『3-2 線形同値の理論』で補助公理 (HD) の成立として具体的に作る。
  • 使いどころ：Chow 環のデータ e と公理 (I.10) の確認（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果 1）、補助公理 (Z)(HD) の成立（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 2）。
  • 案内：Cartier因子、Weil因子、ZS58、Ful98 §2.1。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』の定理（因子と線束の対応）。

Chow 環の構成と局所化の列

1958 年の Chow 環

非特異準射影多様体の Chow 環

$X$ を非特異な準射影多様体とする。
(1) Chow の移動補題 Cho56：任意のサイクル $z$ と $w$ について、$z$ に有理同値なサイクル $z'$ で、その各成分が $w$ の各成分と固有に交わるものがあり、$z'\cdot w$ の有理同値類は $z'$ の選び方によらない。
(2) これにより交叉積 $CH^i(X)\times CH^j(X)\to CH^{i+j}(X)$ が定まり、$CH^*(X)=\bigoplus_iCH^i(X)$ は $[X]$ を単位元とする可換な次数付き環になる。$X$ が既約なら $CH^0(X)=\mathbf Z[X]$ である（余次元 $0$ のサイクルに有理同値の関係は無い）。
(3) 非特異準射影多様体の間の任意の射 $f$ に引き戻し $f^*$ がグラフを使って定まり、次数を保つ環準同型で関手的である。固有射には直像 $f_*$ があり、直積と両立し、サイクルの射影公式 $f_*(f^*x\cdot y)=x\cdot f_*y$ が成り立つ。

原論文は (1)〜(3) を同じセミナーの前の講演（Chevalley Che58II ほか）に委ね、それを使って Chow 環が公理 (I.1)〜(I.10) を満たすと述べる（§2、PDF 16〜17、印字 4-15〜4-16）。本書はこれらの講演の本文を開いていないので、この定理に依る主張は外部入力による［条件付き］になる。移動補題が準射影性を使うこと、準射影でない場合の困難と Fulton による解決は、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-3 Chow 環と交叉理論の初歩』の注意にある。

  • 使いどころ：Chow 環での公理の成立（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果 1）と射影束公式（同 主結果 3）。
  • 案内：Chow環、Cho56、Che58II、Ful98 第 8 章。

局所化の完全列とホモトピー不変性

Chow 群の局所化の完全列とホモトピー不変性

以下は後代の形（Fulton Ful98、初版 1984 年）である。$X$ を $k$ 上有限型のスキーム、$Y\subset X$ を閉部分スキーム、$U=X-Y$ とし、Chow 群を次元で添字付けて $CH_m$ と書く。
(1) 局所化：$CH_m(Y)\xrightarrow{i_*}CH_m(X)\xrightarrow{j^*}CH_m(U)\to0$ は完全である。
(2) ホモトピー：$E\to X$ が階数 $n$ のアフィン束なら、平坦引き戻し $CH_m(X)\to CH_{m+n}(E)$ は全射である。ベクトル束なら同型である。
(3) 代数的同値によるサイクル類群についても (1)(2) の形の主張が成り立つ。

原論文の公理 (E)（完全性）と (H)（ホモトピー）は (1) と (2) の $E=X\times\mathbf A^1$ の場合を公理にしたもので、原論文は線形同値の理論についてそれを非特異な空間で証明する（本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 4）。特異な空間と代数的同値への拡張（同 主結果 5）は、原論文が概略だけを書くので、本書は (1)〜(3) を引用して閉じる。原論文の (H) の後の注意は、知られた場合はすべて全単射だがそれは要らないと述べる。

  • 使いどころ：本書『3-2 線形同値の理論』の主結果 5。完全性とホモトピーの公理の動機（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の背景と動機）。
  • 案内：Chow群、Ful98 第 1 章（局所化とアフィン束）、第 3 章（ベクトル束の場合の同型）、第 10 章（代数的同値）。

可換環論の道具

原論文の Lemme 3 は、非特異な $X$ とアフィン直線の積の上の因子が、$X$ の空でない開集合の上では主因子になることを示す。証明は多項式環の高さ 1 の素イデアルについての Krull の可換環論に依る。

正規ネーター整域と高さ 1 の素イデアル
  1. Krull の主イデアル定理：ネーター環の単項イデアル $(a)$ を含む極小な素イデアルの高さは $1$ 以下である。
  2. 正規ネーター整域 $R$ の高さ 1 の素イデアル $\mathfrak q$ での局所化 $R_{\mathfrak q}$ は離散付値環で、$R=\bigcap_{\mathrm{ht}\,\mathfrak q=1}R_{\mathfrak q}$ である。零でない $a\in R$ の因子を $\operatorname{div}(a)=\sum_{\mathfrak q}v_{\mathfrak q}(a)[\mathfrak q]$（有限和）と定める。単項な素イデアル $(P)$ は高さ $1$ で、$\operatorname{div}(P)=[(P)]$（重複度 1 の素因子そのもの）である。
  3. 整域 $A$ の分数体を $K$、$S=A-\{0\}$ とすると、$A[t]$ の素イデアル $\mathfrak p$ で $\mathfrak p\cap A=0$ となるものは、$K[t]$ の素イデアル $\mathfrak p'$ と $\mathfrak p=\mathfrak p'\cap A[t]$ で一対一に対応する。$K[t]$ は単項イデアル整域である。
  4. 有限生成加群 $M$ と積閉集合 $S$ について $S^{-1}M=0$ なら、ある $f\in S$ で $fM=0$ である。
  5. $A$ が非特異なアフィン多様体の座標環なら、$f\in A-\{0\}$ について $A_f[t]$ は非特異なアフィン多様体の座標環で、とくに正規ネーター整域である。
  • 使いどころ：因子の生成的な主性（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の主結果 2）。(1)(2) は余次元 1 のサイクルと因子の読み替え（上の定理（因子と直線束の対応））にも使う。
  • 案内：Krullの主イデアル定理、正規環、離散付値環、Krull35、ZS58。

連接層の類の環

原論文 §3 の注意 4° は、非特異な空間の連接層の類の環 $K(X)$ で射影束と旗束の環を λ 環として表示し、§4 の注意は層の類の群でも完全性とホモトピーの公理が成り立つと述べる。どちらも「手短かに述べる」概略で、Borel と Serre の論文 BS58（原論文の文献 [1]）の $K(X)$ を使う。

Borel–Serre の環と固有射の直像

連接層の類の群と環

$X$ を代数的空間とする。連接層の同型類を生成元とし、短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ ごとに $[\mathcal F]=[\mathcal F']+[\mathcal F'']$ を関係とするアーベル群を $K(X)$ と書く。$X$ が非特異なら、局所環の大域次元が有限なので $\mathcal Tor_i^{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)$ は $i>\dim X$ で消え、
$$[\mathcal F]\cdot[\mathcal G]=\sum_{i\ge0}(-1)^i[\mathcal Tor_i^{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)]$$
が $K(X)$ を $[\mathcal O_X]$ を単位元とする可換環にする。ベクトル束の類は、テンソル積で積をとる。射 $g\colon X'\to X$ の引き戻し $g^*$ はベクトル束の類の上では $[E]\mapsto[g^*E]$ である。直線束 $L$ の類は可逆で、逆元は $[L^\vee]$ である。射影束 $P(E)$ の上の $L_E$ の類を $\ell_E$ と書く。

Borel と Serre は非特異な準射影多様体の上でこの環を扱い、任意の連接層が局所自由層の有限な分解をもつことから、$K(X)$ をベクトル束の類の環と同一視した。原論文はこれを非特異な代数的空間の全体に当てる。準射影でない場合に二つの群を同一視できるかは、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』と同じく、本書は無条件には主張しない。

固有射の直像と射影公式（層の類）
  1. 固有射 $f\colon X\to Y$ について、高次順像 $R^qf_*\mathcal F$ は連接で、$q>\dim X$ で消える。これにより
    $$f_!\colon K(X)\to K(Y),\qquad f_![\mathcal F]=\sum_{q\ge0}(-1)^q[R^qf_*\mathcal F]$$
    が長完全列から well-defined な群準同型として定まり、固有射の合成について関手的である。
  2. 射影公式：$X$、$Y$ が非特異なら $f_!(f^*x\cdot y)=x\cdot f_!(y)$（$x\in K(Y)$、$y\in K(X)$）である。

射影多様体の連接層のコホモロジーの有限性は Serre Ser55 が射影空間の計算から示した。固有射一般の高次順像の連接性は Grothendieck の有限性定理（後に EGA III に収録）による（本書は確かめていない）。

  • 使いどころ：射影束上の直像の計算と冪の一次独立（本書『5-2 層の類の環と λ 環』の主結果 1・2）。
  • 案内：Grothendieck群、BS58、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』。

射影空間のコホモロジーと Künneth の公式

射影空間の連接層のコホモロジー

$P=\mathbf P^r$ とする。
(1) Serre Ser55：$H^q(P,\mathcal O(i))$ は、$q=0$、$i\ge0$ のとき次数 $i$ の斉次多項式の空間（次元 $\binom{r+i}{r}$）、$q=r$、$i\le-r-1$ のとき $H^0(P,\mathcal O(-i-r-1))$ の双対、それ以外は $0$ である。とくに $-r\le i\le-1$ ではすべての $q$ で $0$、$i=0$ では $H^0=k$ だけが残る。
(2) Künneth の公式：$X$ 上の準連接層 $\mathcal F$ について、$X\times P$ の上で $R^q\mathrm{pr}_{1*}(\mathrm{pr}_2^*\mathcal O(i)\otimes\mathrm{pr}_1^*\mathcal F)\cong\mathcal F\otimes_kH^q(P,\mathcal O(i))$ である。

射影束 $P(E)$ は局所的に $X\times\mathbf P^{p-1}$ で、$L_E$ は $\mathcal O(1)$ に移る（本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理（射影束の基本））ので、(1)(2) から $R^qf_*$ を局所的に計算でき、その結果は局所自明化によらない。原論文は (21) をこの二つから導く（PDF 25、印字 4-24）。

λ 環

λ 環と外冪の演算

可換環 $R$ と写像 $\lambda^i\colon R\to R$（$i\ge0$）の組で、$\lambda^0(x)=1$、$\lambda^1(x)=x$、$\lambda^n(x+y)=\sum_{i+j=n}\lambda^i(x)\lambda^j(y)$ を満たすものを λ 環という。生成級数 $\lambda_t(x)=\sum_i\lambda^i(x)t^i$ は加法群 $R$ から乗法群 $1+tR[\![t]\!]$ への準同型である。$\lambda^n(xy)$ と $\lambda^m(\lambda^nx)$ が $\lambda^i(x)$、$\lambda^i(y)$ の整数係数の普遍多項式で書けるとき、特殊 λ 環という。準射影的な非特異な $X$ の $K(X)$ は、ベクトル束に外冪 $\lambda^i[E]=[\bigwedge^iE]$ を対応させる演算で特殊 λ 環になる。直線束の類 $\ell$ では $\lambda_t(\ell)=1+\ell t$、階数 $p$ の束では $\lambda^i(E)=0$（$i>p$）で $\lambda^p(E)=[\det E]$ は可逆である。

λ 環の一般論（普遍多項式の存在、特殊性の分裂による確かめ方、完備 Chern 類）は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』と『4-1 λ 環と完備 Chern 類』にある。本書が足すのは、λ 環 $R_0$ の上で生成元と関係から普遍の λ 環が作れることで、生成元の集合に $R_0$ 上の自由な λ 環を作り、関係で生成される λ イデアル（λ 演算で閉じたイデアル）で割ればよい。原論文はこの一般論の出典を挙げず、旗束の K 環の関係は「λ 環の理論の意味で」導かれるとだけ述べる（PDF 26、印字 4-25）。λ 環と完備 Chern 類は、第 3 巻の原論文 Gro58 で扱われている。

  • 使いどころ：λ 関係式と旗束の K 環の λ 環としての表示（本書『5-2 層の類の環と λ 環』の主結果 3・5）。
  • 案内：λ環、BS58、Gro58。
K 理論の射影束定理と局所化（後代の結果）

原論文は、$K(P(E))$ が $\ell_E^i$（$0\le i\le p-1$）で $K(X)$ 加群として生成されることと、連接層の類の群で完全性とホモトピーの公理が成り立つことを、§4〜§6 の議論の K 版で示せると述べるだけで、証明を別の機会に送る（PDF 26・32、印字 4-25・4-31）。後代には、射影束の K 群の定理は SGA 6 SGA6 の Berthelot の講演（1971 年刊）で、連接層の類の群の局所化の完全列とホモトピー不変性は Quillen Qui73 の高次 K 理論（1973 年）で整えられ、開部分の連接層を閉包へ延ばす議論は EGA I EGA1（1960 年）にあるとされる。本書はこれらの所在を確かめていない。本書『5-2 層の類の環と λ 環』の主結果 4・6 は、これらを引用する［条件付き］の結果として書く。

対称式と固定体

原論文の Lemme 1 は、普遍分解代数 $A[\xi_1,\dots,\xi_p]/(\sigma_i(\xi)-c_i)$ の基底を求める。その一次独立の証明は、普遍の場合に対称式の基本定理と有限群の固定体の次数を当て、基底と直和因子の初等的な事実で一般の係数環へ移す。本書はこの三つを初等的な代数として［完結］の証明に使ってよいものに数える（本書『0-4 記号と約束』の状態札の項）。

対称式の基本定理

$A$ を可換環とする。
(1) 対称群 $S_p$ は変数の置換で $A[\xi_1,\dots,\xi_p]$ に作用し、不変式の環は基本対称式 $\sigma_1,\dots,\sigma_p$ で生成される多項式環 $A[\sigma_1,\dots,\sigma_p]$ で、$\sigma_i$ は代数的に独立である。
(2) 重さ：$\sigma_i$ に重さ $i$ を与えると、次数 $m$ の斉次な対称式は、重さ $m$ の $\sigma$ の多項式としてただ一通りに書ける。係数は $A$ が $\mathbf Z$ なら整数である。
(3) 変数の群：変数を $p_1,\dots,p_k$ 個の群 $\xi^{(1)},\dots,\xi^{(k)}$ に分け、$G=S_{p_1}\times\dots\times S_{p_k}$ を群ごとの置換の群とすると、$G$ 不変式の環は、群ごとの基本対称式 $\sigma_i(\xi^{(j)})$（$1\le i\le p_j$、$1\le j\le k$）で生成される多項式環である。

  1. は (1) を群ごとに当て、多項式環のテンソル積をとれば出る。普遍分解代数と部分代数 $B$ の定義、基底の主張と証明は本書『2-3 旗束の環』にある。
有限群の固定体（Artin）
  1. 有限群 $G$ が体 $L$ に自己同型として忠実に作用するとき、$L$ は固定体 $L^G$ の Galois 拡大で、$[L:L^G]=|G|$ である。
  2. 有限群 $G$ が整域 $R$ に環の自己同型として忠実に作用するとき、分数体について $\operatorname{Frac}(R^G)=\operatorname{Frac}(R)^G$ である。
  1. は Artin Art42 の定理として引く。(2) は要点のみ述べる。$\operatorname{Frac}(R^G)\subset\operatorname{Frac}(R)^G$ は明らかである。逆に $x=a/b\in\operatorname{Frac}(R)^G$ について、$N(b)=\prod_{g\in G}g(b)\in R^G$ とおけば $x=a'/N(b)$、$a'=a\prod_{g\ne1}g(b)\in R$ で、$a'=x\,N(b)$ は $G$ 不変だから $a'\in R^G$ である。
自由加群の基底と直和因子

$B$ を可換環、$C$ を $B$ 代数とする。
(1) $C$ が $B$ 加群として自由で、基底が $1$ を含むなら、$B\to C$ は単射で、$B\cdot1$ は $C$ の $B$ 加群としての直和因子である。
(2) $C$ が基底 $\{e_\alpha\}$ をもつ自由な $B$ 加群なら、任意の $B$ 代数 $B'$ について $C\otimes_BB'$ は $\{e_\alpha\otimes1\}$ を基底とする自由な $B'$ 加群である。
(3) 体の拡大 $L/K$ で、$n=[L:K]$ 個の元が $L$ を $K$ 上張るなら、それらは $K$ 上一次独立である。

  • 使いどころ：普遍分解代数の基底と部分代数の表示（本書『2-3 旗束の環』の主結果 1・2）、旗束の環（同 主結果 3・5）、旗束の K 環（本書『5-2 層の類の環と λ 環』の主結果 5）。定理（対称式の基本定理）の (1)(2) は反例に使う族の構成（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の反例）にも使う。
  • 案内：対称多項式、Galois理論、Art42、BouAlgV 第 V 章。
対称式の書き直し

$p$ 変数で、冪和は $\sum_m\xi_m^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$ である。積 $\prod_{m=1}^p(1+\xi_m+\xi_m^2)$ の次数 $1$ の部分は $\sigma_1$、次数 $2$ の部分は $\sum_m\xi_m^2+\sum_{m< n}\xi_m\xi_n=(\sigma_1^2-2\sigma_2)+\sigma_2=\sigma_1^2-\sigma_2$ である。上の定理（対称式の基本定理）の (2) により、各次数の部分は $\sigma$ の整数係数の多項式にただ一通りに書ける。この書き直しは、Chern 類の特徴づけに条件が要ることを示す反例（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』）で使う。

反例：置換の群の積でない部分群では不変式は基本対称式で生成されない

上の定理（対称式の基本定理）の (3) から、群が変数の群ごとの対称群の積であるという仮定を外す。$p=3$、$A=\mathbf Q$ とし、交代群 $A_3\subset S_3$ をとる。差積 $\Delta=(\xi_1-\xi_2)(\xi_1-\xi_3)(\xi_2-\xi_3)$ は偶置換で不変だが、互換で $-\Delta$ に移るので $S_3$ 不変ではなく、$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ の多項式ではない。したがって $A_3$ 不変式の環は基本対称式で生成されない（$\mathbf Q[\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3]$ 上で $1$ と $\Delta$ で生成される）。一方、上の定理（有限群の固定体（Artin））の (1) は $A_3$ にも当てはまり、分数体の拡大次数は $|A_3|=3$ である。旗束の環の議論が型 $\tau$ に対応する群 $S_{p_1}\times\dots\times S_{p_k}$ だけを使うのは、(3) の形が要るからである。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

  • 交叉理論の一般化（1984 年）：Fulton と MacPherson の法錐への変形により、交叉積と引き戻しは移動補題なしに任意の非特異多様体で定義され、局所化の完全列とホモトピー不変性は任意の有限型スキームの Chow 群で成り立つ（Fulton Ful98）。
  • 高次 K 理論（1973 年）：Quillen は連接層の圏から高次の K 群を作り、局所化の長完全列とホモトピー不変性を示した。原論文の層の類の群の (E)(H) はその次数 $0$ の部分に当たる。
  • 旗多様体の整数係数の環（1973 年）：Demazure Dem73 は Weyl 群の整数係数の不変式と torsion を論じ、旗多様体の整数係数の Chow 環を記述した。対称式と固定体の議論が有理数係数でしか通らない所の後代の対応物である（本書『2-3 旗束の環』の「その後の発展」）。
  • 普遍分解代数：Lemme 1 の代数は、後代には「普遍分解代数」（universal splitting algebra）の名で可換環論の対象として扱われる（本書は名の初出と年を確かめていない）。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro58b である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。

本頁原論文印字頁
定義（サイクルとその操作）、定理（固有な交わりと交叉重複度）§4 の線形同値の定義、Lemme 4、Théorème 24-29〜4-30
定義（有理同値と Chow 群）、定義（線形同値）冒頭と §2 の有理同値、§4 の線形同値4-01、4-15、4-29〜4-30
定理（因子と直線束の対応）、定理（非特異準射影多様体の Chow 環）§2 の Chow 環での検証4-15〜4-16
定理（Chow 群の局所化の完全列とホモトピー不変性）§4 の公理 (E)(H) と注意4-26〜4-27、4-30〜4-31
定理（正規ネーター整域と高さ 1 の素イデアル）§4 の Lemme 34-29
定義（連接層の類の群と環）、定理（固有射の直像と射影公式（層の類））、定理（射影空間の連接層のコホモロジー）、定義（λ 環と外冪の演算）、注意（K 理論の射影束定理と局所化（後代の結果））§3 の注意 4°、(21)〜(24)、§4 の注意4-24〜4-25、4-31
定理（対称式の基本定理）、定理（有限群の固定体（Artin））、定理（自由加群の基底と直和因子）§3 の Lemme 1 とその証明4-19〜4-22

参考文献

[1]
Alexander Grothendieck, Sur quelques propriétés fondamentales en théorie des intersections（exposé n° 4）, Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications 2e année, tome 3, 1958, 1–36
[2]
Oscar Zariski, The concept of a simple point of an abstract algebraic variety, Transactions of the American Mathematical Society, 1947, 1–52
[3]
Wei-Liang Chow, On equivalence classes of cycles in an algebraic variety, Annals of Mathematics, 1956, 450–479
[4]
Claude Chevalley, La notion de correspondance propre en géométrie algébrique, Séminaire Bourbaki 10e année (1957/58), exposé n° 152, 1958, 219–229
[5]
Alexander Grothendieck, Théorèmes de dualité pour les faisceaux algébriques cohérents, Séminaire Bourbaki 9e année (1956/57), exposé n° 149, 1957, 169–193
[8]
Armand Borel, Jean-Pierre Serre, Le théorème de Riemann–Roch, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, 97–136
[11]
Alexander Grothendieck, La théorie des classes de Chern（Appendice au mémoire de Borel–Serre）, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, 137–154
[12]
Jean-Pierre Serre, Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics, 1955, 197–278
[13]
Armand Borel, Groupes linéaires algébriques, Annals of Mathematics, 1956, 20–82
[16]
Jean-Pierre Serre, Espaces fibrés algébriques, Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications 2e année, tome 3, 1958, 1–37
[17]
Claude Chevalley, Les classes d'équivalence rationnelle, II（exposé n° 3）, Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications 2e année, tome 3, 1958, 1–18
[19]
Séminaire C. Chevalley（Claude Chevalley 他）, Classification des groupes de Lie algébriques, tome 1（années 1956–1958）, Secrétariat mathématique, Paris, 1958
[20]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique II：Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1961, 5–222
[21]
Claude Chevalley, Les classes d'équivalence rationnelle, I, Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications 2e année, tome 3, 1958, 1–14
[22]
Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique I：Le langage des schémas, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1960, 5–228
[26]
Daniel Quillen, Higher algebraic K-theory: I, Springer, Lecture Notes in Mathematics, 1973, 85–147
[27]
Maurice Auslander, David Buchsbaum, Unique factorization in regular local rings, Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 1959, 733–734
[28]
Alexander Grothendieck, Standard conjectures on algebraic cycles, Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford University Press, 1969, 193–199
[29]
William Fulton, Robert MacPherson, Categorical framework for the study of singular spaces, Memoirs of the American Mathematical Society, 1981
[30]
Alexander Grothendieck, Torsion homologique et sections rationnelles（exposé n° 5）, Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications 2e année, tome 3, 1958, 1–29
[31]
Michel Demazure, Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion, Inventiones Mathematicae, 1973, 287–301
[32]
Armand Borel, Sous-groupes commutatifs et torsion des groupes de Lie compacts connexes, Tôhoku Mathematical Journal, 1961, 216–240
[33]
Steven Kleiman, The transversality of a general translate, Compositio Mathematica, 1974, 287–297
[34]
Dan Edidin, William Graham, Equivariant intersection theory, Inventiones Mathematicae, 1998, 595–634
[35]
Heisuke Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero I, II, Annals of Mathematics, 1964, 109–326
[36]
Fabien Morel, Vladimir Voevodsky, A¹-homotopy theory of schemes, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1999, 45–143
[38]
Burt Totaro, The Chow ring of a classifying space, American Mathematical Society, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 1999, 249–281
[40]
Spencer Bloch, Algebraic cycles and higher K-theory, Advances in Mathematics, 1986, 267–304

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