0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

本書で引用として使う代数幾何の基本（原論文の意味の代数的空間、閉埋め込みと固有射、分離性とグラフ、既約多様体の積、特異点集合の次元、接空間と Jacobi の判定法、射と部分多様体の横断性、射影空間と射影束、Picard 群、旗多様体と旗束、Borel 群と単冪根基の列、一般線形群の主束の局所自明性、アフィン束）を集めた頁である。各項目は要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。射影束・旗束・Picard 群の構成と底変換は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』『1-1 射影束と標準線束』『1-2 旗多様体と完全分裂』に詳しく、本頁は定義を短く繰り返したうえで、原論文に固有の事実だけを足す。案内に挙げる文献の該当箇所は、本書では確かめていない。サイクル・Chow 環・連接層の類の環と対称式の前提は本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』に、記号と射影束の規約は本書『0-4 記号と約束』にある。
前提知識: 代数多様体, スキーム, 固有射, 接空間, 射影空間, 射影束, 旗多様体, 線形代数群

代数的空間とその基本の性質

原論文は、各「espace algébrique」に環 $A(X)$ を対応させる理論を公理で組み立てる。この語は本講演の中で定義されないので、本書の読みをまず決め、公理の確認に繰り返し現れる代数多様体の基本の性質をまとめる。

原論文の代数的空間

代数的空間（本書の読み）

$k$ を代数的閉体とする。本書では、原論文の代数的空間を、$k$ 上有限型の分離的な被約スキームと読む。これは古典的な意味の代数多様体（既約とは限らない）であり、互いに交わらない有限個の多様体の和も許す。今日の Artin の意味の代数空間（エタール同値関係による商）とは別物である。$k$ が代数的閉体なので、このようなスキームは閉点の全体（Hilbert の零点定理）と Zariski 位相と正則関数の層で決まり、本書で「点」と言えば閉点を指す。原論文の「point simple」は非特異点（下の定義（接空間と非特異点））である。$X$ の次元は既約成分の次元の最大値で、すべての既約成分が同じ次元 $n$ のとき $X$ は純次元 $n$ であるという。射は $k$ 上の射であり、一点 $\operatorname{Spec}k$ を $\mathrm{pt}$ と書く。構造射を $\pi_X\colon X\to\mathrm{pt}$、点 $a$ を像にもつ射を $u_a\colon\mathrm{pt}\to X$、積の射影を $\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2$、対角を $\Delta_X\colon X\to X\times X$ と書く（積は $k$ 上のファイバー積をとって被約化したもの。$k$ が代数的閉体なので被約化は要らない。下の定理（既約性と次元の基本）の (1)）。

原論文は、考える代数的空間の圏 $\mathcal V$ に、積・一点・同型で閉じる、ベクトル束の射影束で閉じる、開部分・非特異な閉部分・アフィン直線 $\mathbf A^1$ との積で閉じる、という三段の条件 (V.1)〜(V.3) を課す。その一覧は本書『0-4 記号と約束』に置く。

  • 使いどころ：全頁。公理の一覧と圏の条件は本書『1-1 データと公理と積の構造』、本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』。
  • 案内：代数多様体、Wei46（抽象多様体）、Ser55（代数多様体を位相空間と局所環の層の組として定める）。原論文の語の選び方は本書『0-4 記号と約束』。

閉埋め込み・固有射・分離性

原論文のデータ b は固有射に沿う直像で、公理の確認のたびに「この射は固有か」「このグラフは閉か」が問われる。そこで使う性質を一つにまとめる。

固有射と分離性の基本

代数的空間の射 $f\colon X\to Y$ が固有であるとは、分離的で有限型で、任意の底変換が閉写像であることをいう。$X\to\mathrm{pt}$ が固有なとき $X$ は完備であるという。
(1) 閉埋め込みと有限射は固有である。固有射の合成、底変換、二つの固有射の積 $f\times g\colon X\times X'\to Y\times Y'$ は固有である。
(2) $Y$ が完備なら、射影 $\mathrm{pr}_1\colon X\times Y\to X$ は固有である（(1) の底変換）。射影多様体は完備である。完備な空間から分離的な空間への射は固有で、像は閉である。
(3) $Y$ が分離的なら、任意の射 $f\colon X\to Y$ のグラフ $\Gamma_f\subset X\times Y$ は閉で、$(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times Y$ は $\Gamma_f$ への同型を与える閉埋め込みである。とくに対角 $\Delta_X$ は閉埋め込みである。
(4) 閉埋め込み $i\colon Z\to X$ と開部分 $U\subset X$ について、$Z\cap U\to U$ は閉埋め込みで、$Z\cap U$ は $Z$ の開部分である。

1958 年の時点で、固有射（原論文の言葉では固有な対応）の定義は Chevalley の講演 Che57prop にあり、原論文はそれを文献 [2] として引く。スキームの言葉での定義と (1)〜(3) の証明は後の EGA II EGA2 にある（本書は確かめていない）。

  • 使いどころ：データ b（固有射の直像）と公理 (I.1)（本書『1-1 データと公理と積の構造』）、横断的なファイバー積の射影が固有であること、グラフによる引き戻しの表示（本書『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果 2・3・8）、射影束と旗束の射の固有性（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』、本書『2-3 旗束の環』）。
  • 案内：固有射、Che57prop、Wei46、Ful98 付録 B.2。

既約性・連結成分・特異点集合

原論文の証明には、「既約な場合に帰着する」段と「特異点集合を取り除いて次元を下げる」段が何度も現れる。前者は既約多様体の積と非特異な空間の成分の性質に、後者は特異点集合の次元に依る。

既約性と次元の基本
  1. 積：$k$ は代数的閉体なので、被約な代数的空間 $X$、$Y$ の $k$ 上のファイバー積は被約である。既約な $X$、$Y$ の積 $X\times Y$ は既約で、$\dim(X\times Y)=\dim X+\dim Y$ である。$X\times Y$ の既約成分は $X$ の成分と $Y$ の成分の積である。
  2. 非特異な空間の成分：$X$ が非特異（下の定義（接空間と非特異点））なら、局所環はすべて整域なので、$X$ の既約成分は互いに交わらず、連結成分と一致する。各連結成分は開かつ閉で、純次元である。
  3. 特異点集合：被約な $Y$ の非特異点の全体は開で稠密である。したがって特異点集合 $\operatorname{Sing}Y$ は閉で、そのどの既約成分も $Y$ のある既約成分に真に含まれ、$\dim\operatorname{Sing}Y<\dim Y$ である。$Y-\operatorname{Sing}Y$ は $Y$ の開部分で非特異である。とくに列 $Y\supset\operatorname{Sing}Y\supset\operatorname{Sing}(\operatorname{Sing}Y)\supset\cdots$（各項は被約な閉部分）は高々 $\dim Y+1$ 回で空になる。
  4. 像の次元：射 $f\colon X\to Y$ について、像の閉包 $\overline{f(X)}$ の次元は $\dim X$ 以下である。
  1. の最後の列が、本書で三度現れる「次元の帰納法と特異点集合を剥がす」骨組みの根である。$Y$ が $\mathcal V$ の対象 $X$ の閉部分なら、各段で剥がした差 $\operatorname{Sing}^{m}Y-\operatorname{Sing}^{m+1}Y$ は開部分 $X-\operatorname{Sing}^{m+1}Y$ の非特異な閉部分なので、条件 (V.3) の下で圏に入る。
  • 使いどころ：(1) は増大の乗法性（本書『1-1 データと公理と積の構造』の主結果 4）と、原論文 §1 の注意 3°（既約多様体の圏を非交和で広げる）の筋。(2) は既約な場合への帰着（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の足した仮定、本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』）。(3)(4) は次元の帰納法（本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の主結果 1、本書『4-1 積空間と層別による生成』の主結果 1、本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果 1）。
  • 案内：Wei46、Ser55、Zar47（非特異点の集合が開で稠密であること）。
反例：代数的閉体でなければ既約多様体の積は既約とは限らない

上の定理（既約性と次元の基本）の (1) から、基礎体が代数的閉体であるという仮定を外す。実数体 $\mathbf R$ の上で $X=Y=\operatorname{Spec}\mathbf C$ は一点からなり既約だが、$X\times_{\mathbf R}Y=\operatorname{Spec}(\mathbf C\otimes_{\mathbf R}\mathbf C)$ で、$\mathbf C\otimes_{\mathbf R}\mathbf C\cong\mathbf C[t]/(t^2+1)\cong\mathbf C\times\mathbf C$ だから二点からなり、既約でない。したがって増大の乗法性 $\varepsilon(x\times y)=\varepsilon(x)\varepsilon(y)$ を既約な空間の積について意味づけるには、$k$ が代数的閉体であることが要る。原論文は冒頭で $k$ を代数的閉体と置く（PDF 2、印字 4-01）。

接空間・非特異点・横断性

原論文の公理 (I.8) は、固有射の直像と引き戻しが「横断的な」状況で入れ替わることを要求する。横断性は接空間で定義され、横断的な逆像が非特異になることは Jacobi の判定法から出る。

接空間と Jacobi の判定法

接空間と非特異点

代数的空間 $X$ の点 $x$ の局所環を $(\mathcal O_{X,x},\mathfrak m_x)$ とするとき、$T_xX:=(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2)^\vee$（$k$ 上の双対）を $x$ での接空間という。射 $f\colon X\to Y$ は接写像 $df_x\colon T_xX\to T_{f(x)}Y$ を定める。$X$ が $x$ の近くでアフィン空間 $\mathbf A^N$ の閉部分 $V(g_1,\dots,g_m)$（$g_j$ はイデアルの生成元）なら、$T_xX$ は Jacobi 行列 $(\partial g_j/\partial x_i(x))$ の核である。$\dim T_xX\ge\dim_xX$（$x$ を通る既約成分の次元の最大値）で、等号が成り立つとき $x$ を非特異点という。これは $\mathcal O_{X,x}$ が正則局所環であることと同値で、$k$ が代数的閉体なので $X$ が $x$ で $k$ 上滑らかであることとも同値である。すべての点が非特異なとき $X$ は非特異であるという。

Jacobi の判定法

$M$ を代数的空間、$x\in M$ を非特異点、$n=\dim_xM$ とする。
(1) $x$ の近傍の正則関数 $g_1,\dots,g_r$ が $g_i(x)=0$ を満たし、微分 $dg_1(x),\dots,dg_r(x)\in(T_xM)^\vee$ が一次独立なら、$x$ の近傍で部分スキーム $V(g_1,\dots,g_r)$ は非特異（とくに被約）で、純余次元 $r$ であり、$x$ での接空間は $\bigcap_i\ker dg_i(x)$ である。
(2) 逆に、閉部分 $Y'\subset M$ が $x$ で非特異で、$x$ での余次元が $r$ なら、$x$ の近傍で $Y'$（被約な閉部分としてのイデアル）は、微分が $x$ で一次独立な $r$ 個の関数で生成される。
(3) 積の接空間：$T_{(x,y)}(X\times Y)=T_xX\oplus T_yY$ で、$(x,y)$ が $X\times Y$ の非特異点であることは、$x$ と $y$ がそれぞれ $X$、$Y$ の非特異点であることと同値である。

Zariski は抽象的な代数多様体の非特異点（simple point）をこの形で論じた Zar47。本書は (1)(2) を証明せず引用し、この判定法に依る主張は本書の基準で［条件付き］になる（本書『0-4 記号と約束』の状態札の項）。

  • 使いどころ：横断的な逆像が非特異で余次元を保ち被約であること（本書『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果 1）。(3) は対角への横断性の言い換えと横断的なファイバー積（同じ頁）。第 1 章の横断的な底変換を使う主結果はすべてこれを経由する。
  • 案内：正則局所環、Zar47、ZS58。

射と部分多様体の横断性

射と部分多様体の横断性

$f\colon X\to Y$ を射、$Y'\subset Y$ を閉部分とする。$f^{-1}(Y')$ の各点 $x$ で、$x$ が $X$ の非特異点、$f(x)$ が $Y$ と $Y'$ の非特異点で、
$$T_{f(x)}Y=T_{f(x)}Y'+df_x(T_xX)$$
が成り立つとき、$f$ は $Y'$ に横断的であるという（$f^{-1}(Y')$ が空なら条件は無い）。閉部分 $Y,Y'\subset X$ が横断的に交わるとは、対角 $\Delta_X$ が $Y\times Y'\subset X\times X$ に横断的であること、すなわち $Y\cap Y'$ の各点が $X$、$Y$、$Y'$ の非特異点で $T_xY+T_xY'=T_xX$ となることをいう。直線束 $L$ の切断 $s\colon X\to L$ が零切断に横断的であるとは、射 $s$ が零切断の像に横断的であることをいう。

原論文の横断性はこの形で、PDF 6（印字 4-05）に置かれる。切断の横断性と正則パラメータ系による局所判定は、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-3 正則切断・零点サイクル・横断性』に詳しい。本書の公理での正確な使い方（横断的なファイバー積、弱い横断条件）は本書『1-2 横断的な底変換と射影公式』で定める。

接写像が全射な射の横断性

$X$、$Y$ を非特異とし、射 $f\colon X\to Y$ の接写像 $df_x$ がすべての点で全射であるとする。このとき $f$ は $Y$ の任意の非特異な閉部分 $Y'$ に横断的である。とくに任意の点 $\{a\}\subset Y$ に横断的で、ファイバー $f^{-1}(a)$ は非特異である。

横断性の式の右辺は $df_x(T_xX)=T_{f(x)}Y$ だけで左辺を覆う。点の条件は仮定そのものである。ファイバーの非特異性は次による。$a$ の近傍で点 $\{a\}$ を、微分が $a$ で一次独立な $n=\dim_aY$ 個の関数 $g_1,\dots,g_n$ で切り出す（上の定理（Jacobi の判定法）の (2)）。$f(x)=a$ となる $x$ で $d(g_i\circ f)_x=dg_i(a)\circ df_x$ は、$df_x$ が全射なので一次独立である。同じ定理の (1) により、$x$ の近傍で $V(g_1\circ f,\dots,g_n\circ f)=f^{-1}(a)$ は非特異である。

  • 使いどころ：点への制限による一次独立の証明（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果 2。射影束の射は滑らかなのでこの命題が当てはまる）、局所から大域への定理の仮定（本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果 1・2）。
  • 案内：滑らかな射、Ful98 付録 B.7。
横断的な交わりと横断的でない交わり

射影平面 $\mathbf P^2$ の斉次座標を $x_0,x_1,x_2$ とし、アフィン座標 $x=x_1/x_0$、$y=x_2/x_0$ を使う。(a) 直線 $\{y=0\}$ と $\{x=0\}$ は原点で横断的に交わる。接空間はそれぞれ $x$ 軸方向と $y$ 軸方向で、和は $T\mathbf P^2$ になる。(b) 直線 $\{y=0\}$ と放物線 $\{y=x^2\}$ は原点で接し、接空間はどちらも $x$ 軸方向なので横断的でない。スキームとしての交わりは $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ で被約でない。(c) 直線 $L$ とそれ自身は横断的でない（$T_xL+T_xL=T_xL\ne T_x\mathbf P^2$）。交わりは $L$ そのもので、余次元は $1+1=2$ にならず $1$ である。(c) は、横断性を外すと交わりの類の積の公式が壊れる例（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果 3）の幾何的な中身である。

射影空間と射影束

原論文 §2 は、直線束の第一類と射影束の基本類から Chern 類を作る。射影束の規約は第 3 巻・第 5 巻と同じで、ファイバーの直線の空間をとる。規約とその符号の検算は本書『0-4 記号と約束』にまとめる。

射影空間と線形部分空間

射影空間の基本

$V$ を $k$ 上の $p$ 次元ベクトル空間とし、$P(V)$ を $V$ の直線の空間（$p-1$ 次元の射影空間）、$\mathcal O(-1)\subset V\otimes\mathcal O_{P(V)}$ を点 $d$ でのファイバーが直線 $d$ そのものである部分直線束、$L_V=\mathcal O(1)$ をその双対とする。
(1) $P(V)$ は非特異・既約・完備（射影的）である。
(2) $L_V$ の大域切断の空間は $V^\vee$ である。$0$ でない $\varphi\in V^\vee$ の定める切断の零点集合は超平面 $P(\ker\varphi)$ で、この切断は零切断に横断的である。
(3) 余次元 $q$ の線形部分空間 $Q=P(W)$（$\dim W=p-q$）は、$q$ 個の超平面の交わりで、順に交わるたびに横断的である。すなわち余次元 $q-1$ の線形部分空間 $Q'\supset Q$ と超平面 $H$ で、$Q'$ と $H$ が横断的に交わり $Q'\cap H=Q$ となるものがとれる。
(4) 線形部分空間の増大列 $P_0\subset P_1\subset\dots\subset P_{p-1}=P(V)$（$\dim P_i=i$）について、$P_i-P_{i-1}$ は $i$ 次元のアフィン空間 $\mathbf A^i$ に同型である（$P_{-1}=\emptyset$）。

原論文は線形部分空間を「sous-variété affine」と呼ぶ（印字 4-12。本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の引用する事実の 1）。(2) の横断性は、斉次座標 $x_1,\dots,x_p$ を $\varphi=x_p$ となるようにとれば、切断が局所座標の一つになることから見える。

  • 使いどころ：線形部分空間の類 $\xi_V^q$ の計算（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果 1）、射影空間との積の環の生成（本書『4-1 積空間と層別による生成』の主結果 4、本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果 3）。
  • 案内：射影空間、Ser55、Che58。

射影束と標準線束

射影束と標準線束

$X$ 上の階数 $p$ のベクトル束（局所自由層と同一視する）$E$ に対し、$P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(E^\vee)\xrightarrow{f}X$ を $E$ の射影束という。点 $x$ の上のファイバーは $E_x$ の直線の空間 $P(E_x)$ である。EGA の記法では $P(E)=\mathbb P(E^\vee)$ である。$f^*E$ の中の標準的な部分直線束を $\mathcal O(-1)$、その双対を $L_E=\mathcal O(1)$ と書く。原論文は部分直線束を $\check L_E$ と書く（PDF 12、印字 4-11）。

射影束の構成、関手による特徴づけ、底変換 $P(g^*E)\cong P(E)\times_XX'$ と $L_E$ の引き戻しが $L_{g^*E}$ であることは、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』と『1-1 射影束と標準線束』にある。本書は次の事実を足して引用する。

射影束の基本

$E$ を $X$ 上の階数 $p$ のベクトル束、$f\colon P(E)\to X$ とする。
(1) 局所自明性：$E|_U$ が自明になる開集合 $U$ の上で $P(E|_U)\cong U\times P(V)$（$\dim V=p$）で、$L_E$ は $\mathrm{pr}_2^*L_V$ に移る。$f$ は固有で滑らか（接写像が各点で全射）、相対次元は $p-1$ である（$X$ が純次元 $n$ なら $P(E)$ は純次元 $n+p-1$）。点 $a$ の（被約な）ファイバーは $P(E_a)$ である。
(2) $X$ が非特異なら $P(E)$ も非特異で、$X$ が準射影的なら $P(E)$ も準射影的である。
(3) 階数 1：直線束 $L$ について $P(L)=X$、$\mathcal O(-1)=L$、$L_L=L^\vee$ である。
(4) 部分射影束：部分束 $E'\subset E$（商が局所自由）について $P(E')\subset P(E)$ は閉部分で、$\mathcal O(-1)$ の制限は $P(E')$ の $\mathcal O(-1)$ である。ベクトル束の同型 $E\cong F$ は $X$ 上の同型 $P(E)\cong P(F)$ を誘導し、$\mathcal O(-1)$ どうし、したがって $L_E$ と $L_F$ を対応させる。完全列 $0\to E'\to E\xrightarrow{\pi}E''\to0$ と $E''$ の部分束 $F$ について、$\pi^{-1}(F)$ は $E$ の部分束で $\pi^{-1}(F)/E'\cong F$ であり、引き戻しは完全列を完全列に移す。
(5) 部分射影束の標準切断：部分束の列 $E_{j-1}\subset E_j$ で商 $L_j=E_j/E_{j-1}$ が直線束のものについて、$P(E_j)$ の上の合成 $\mathcal O(-1)\to f^*E_j\to f^*L_j$ は直線束 $L_{E_j}\otimes f^*L_j$ の切断で、その零点集合は $P(E_{j-1})$ であり、この切断は零切断に横断的である。
(6) 射影的完備化：ベクトル束の完全列 $0\to W\to F\xrightarrow{\pi}\mathcal O_X\to0$（$W$ は階数 $n$）について、$P(W)\subset P(F)$ は合成 $\mathcal O(-1)\to f^*F\to\mathcal O$ の定める $L_F$ の切断の零点集合で、この切断は零切断に横断的である。補集合 $P(F)-P(W)$ は、$F$ の中の超平面 $\pi^{-1}(1)$ に、直線をその直線と $\pi^{-1}(1)$ の交点に送る写像で同型で、線形部分が $W$ のアフィン束（下の定義（アフィン束と局所自明なファイバー空間））である。$F=W\oplus\mathcal O$ なら補集合は $W$ の全空間である。

(5)(6) の横断性はどちらも、局所的に束を自明化して部分束を座標部分空間にとれば、切断が最後の斉次座標になり、上の定理（射影空間の基本）の (2) に帰着することから見える。

  • 使いどころ：(1) は点への制限と局所的な生成（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果 2、本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果 3）。(2) は条件 (V.2) の確認（本書『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』）。(3) は正規化の符号の検算（本書『0-4 記号と約束』、本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』）。(4)(5) は旗で分裂する束の関係式（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果 2）。(6) は構造群がアフィン線形の束の環（本書『4-3 アフィン束と主束』の主結果 2）。
  • 案内：射影束、Ser55、Che58、Ful98 付録 B.5。

Picard 群と直線束の類

Picard 群と直線束の類

$X$ 上の直線束の同型類の全体はテンソル積で可換群をなす。これを $\operatorname{Pic}(X)$ と書き、$L$ の類を $cl_X(L)$ と書く。射 $g\colon X'\to X$ は群準同型 $g^*\colon\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(X')$、$cl_X(L)\mapsto cl_{X'}(g^*L)$ を定め、$\operatorname{Pic}$ は反変関手である。原論文は $\operatorname{Pic}(X)$ を $P(X)$ と書く（射影束と同じ文字なので本書は $\operatorname{Pic}$ と書く）。

原論文のデータ e は、引き戻しと両立する群準同型 $p_X\colon\operatorname{Pic}(X)\to A^1(X)$ で、公理 (I.10) は横断的な切断の零点集合の類をこれで与える（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』）。$\operatorname{Pic}$ の反変関手性と、$\operatorname{Pic}(P(E))\cong\operatorname{Pic}(X)\oplus\mathbf Z$（$X$ が連結な非特異で、$E$ の階数が $2$ 以上の場合。階数 1 なら $P(E)=X$ である）は、参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-1 射影束と標準線束』と『0-2 ベクトル束・射影束・旗多様体』にある。非特異な $X$ で $\operatorname{Pic}(X)$ が余次元 1 のサイクルの線形同値類の群に等しいことは本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』に置く。

  • 使いどころ：データ e と $\xi_E=p_{P(E)}cl(L_E)$ の定義（本書『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』）。
  • 案内：Picard群、Ser55。

旗多様体と旗束

原論文 §3 は旗束の環を Chern 類で表示する（Théorème 1）。旗束の構成と、完全旗束の上で束が線形に分裂すること、旗束への引き戻しの扱いは参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-2 旗多様体と完全分裂』にある。ここでは型をもつ旗束と、旗多様体が等質空間であることを足す。

旗多様体と旗束

正整数の組 $\tau=(p_1,\dots,p_k)$ で $p_1+\dots+p_k=p$ となるものを型という。$p$ 次元ベクトル空間 $V$ について、型 $\tau$ の旗多様体 $D_\tau(V)$ は、部分空間の列 $V_1\subset V_2\subset\dots\subset V_k=V$ で $\dim V_i=p_1+\dots+p_i$ となるものの全体である。$\tau=(1,p-1)$ なら $D_\tau(V)=P(V)$、$\tau=(q,p-q)$ なら Grassmann 多様体、$\tau=(1,\dots,1)$ なら完全旗多様体 $D(V)$ である。階数 $p$ のベクトル束 $E$ について、ファイバー $D_\tau(E_x)$ をもつ $X$ 上の束を $D_\tau(E)$ と書き、型 $\tau$ の旗束という。$D_\tau(E)$ の上で $f^*E$ は標準旗 $E_1\subset\dots\subset E_k=f^*E$ をもち、各段の商 $F_j=E_j/E_{j-1}$ は階数 $p_j$ のベクトル束である。

旗束の基本
  1. 等質空間：一般線形群 $\mathrm{GL}(V)$ は $D_\tau(V)$ に推移的に作用し、一つの旗の固定群 $P_\tau$ は上三角型の Borel 群（下の定理（一般線形群の Borel 群と単冪根基の列））を含む閉部分群である。$D_\tau(V)\cong\mathrm{GL}(V)/P_\tau$ は非特異・既約・完備で、$\mathrm{GL}(V)\to D_\tau(V)$ は Zariski 局所的に切断をもつ。
  2. 射影束の反復：$P(E)$ の上で $\mathcal O(-1)\subset f^*E$ の商を $E'$ とすると、$X$ 上の $D(E)$ は $P(E)$ 上の $D(E')$ に同型である。したがって $D(E)$ は射影束の反復で、$D(E)\to X$ は固有で滑らかである。
  3. 型をもつ旗束の上の完全旗束：$D_\tau(E)$ の上で、$D(E)$ は $D(F_1),\dots,D(F_k)$ の $D_\tau(E)$ 上のファイバー積に同型である（標準旗を細分する完全旗は、各 $F_j$ の完全旗と同じである）。
  4. $X$ が非特異（準射影的）なら $D_\tau(E)$ と $D(E)$ も非特異（準射影的）である。$E|_U$ が自明になる開集合 $U$ の上で $D_\tau(E|_U)\cong U\times D_\tau(V)$ で、$D_\tau(E)\to X$ は Zariski 局所自明である。

原論文は旗束の構成で、旗多様体が有理的で、同じセミナーの exposé 2 Che58I の意味で「spéciale」でもあることは容易に示せるが使わない、と断っている（PDF 19、印字 4-18）。(2)(3) により、条件 (V.2)（射影束で閉じる）と (V.1)（同型で閉じる）を満たす圏は旗束でも閉じる。

  • 使いどころ：旗束が圏に属し引き戻しが単射であること（本書『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果 3）、完全旗束の環と旗束の環（本書『2-3 旗束の環』の主結果 3・5）、旗多様体の環が理論によらないこと（同 主結果 6）。
  • 案内：旗多様体、Grassmann多様体、Bor56、Che58。
小さな旗多様体

$p=2$ では $D(V)=P(V)\cong\mathbf P^1$ である。$p=3$ では $D(V)$ は点と直線の組 $(\ell,H)$ で $\ell\subset H$ となるものの全体で、$\mathbf P^2\times\check{\mathbf P}^2$ の中の $3$ 次元の接続多様体であり、$P(V)$ 上の $\mathbf P^1$ 束でもある（上の定理（旗束の基本）の (2)）。$V=k^4$、$\tau=(2,2)$ の Grassmann 多様体 $D_\tau(V)$ は $4$ 次元で、Plücker 埋め込みで $\mathbf P^5$ の二次超曲面になる。

線形代数群と主束

原論文 §6 の最後の注意は、ベクトル束の一般線形群の主束の環を「難なく」計算できると述べる。本書はこれを、Borel 群の単冪根基を一段ずつ剥がす形で確かめる（本書『4-3 アフィン束と主束』）。そこで使う線形代数群の事実をここに置く。

Borel 群と単冪根基

一般線形群の Borel 群と単冪根基の列
  1. 一般論：連結な線形代数群 $G$ の極大な連結可解閉部分群を Borel 群という。Borel 群はすべて共役で、$G/B$ は射影多様体である。閉部分群 $H$ について、$G/H$ が完備であることと $H$ がある Borel 群を含むことは同値で、このとき $H$ を放物型部分群という。
  2. $G=\mathrm{GL}_p$ で、$T$ を対角行列、$B$ を上三角行列、$U$ を対角成分が $1$ の上三角行列の群とする。$B$ は Borel 群、$T$ は極大トーラス、$U$ は $B$ の単冪根基で、$B=T\ltimes U$ である。$B/T$ は多様体として $U\cong\mathbf A^N$（$N=p(p-1)/2$）に同型である。
  3. 単冪根基の列：$U$ の閉部分群の列 $U=U_0\supset U_1\supset\dots\supset U_N=1$ で、各 $U_i$ が $B$ で正規、$U_i/U_{i+1}\cong\mathbf G_a$（加法群）、$B$ の共役による $U_i/U_{i+1}$ への作用が $T$ の指標（$t\mapsto t_at_b^{-1}$ の形）による掛け算であるものがある。
  4. big cell：下三角で対角成分が $1$ の行列の群を $U^-$ とすると、積 $U^-\times B\to\mathrm{GL}_p$ は開集合 $U^-B$ への同型で、置換行列による $U^-B$ の平行移動は $\mathrm{GL}_p$ を覆う。したがって $\mathrm{GL}_p\to\mathrm{GL}_p/B$ は Zariski 局所的に切断をもつ。
  1. の列は、主対角から $h$ 本目の対角線より下の成分（$0< b-a< h$ の $(a,b)$ 成分）が $0$ になる部分群 $U_{(h)}$ の列 $U=U_{(1)}\supset U_{(2)}\supset\dots$ を、各段で一成分ずつ細分すれば得られる。$u\in U_{(h)}$ に $B$ の元を共役で作用させると、$h$ 本目の対角線の各成分は $T$ の指標で掛けられ、残りは $U_{(h+1)}$ に入るからである。
  • 使いどころ：主束の環の計算（本書『4-3 アフィン束と主束』の主結果 4）。(1) は等質空間の環についての原論文の所見（本書『2-3 旗束の環』の主結果 7）。
  • 案内：Borel部分群、線形代数群、Bor56、Che58。

主束・アフィン束・局所自明性

アフィン束と局所自明なファイバー空間

射 $f\colon E\to X$ がファイバー $F$ の Zariski 局所自明なファイバー空間であるとは、$X$ の開被覆 $\{X_\alpha\}$ と $X_\alpha$ 上の同型 $f^{-1}(X_\alpha)\cong X_\alpha\times F$ があることをいう。$F=\mathbf A^n$ で、変換関数 $X_\alpha\cap X_\beta\to\operatorname{Aut}(\mathbf A^n)$ が $v\mapsto A_{\alpha\beta}v+a_{\alpha\beta}$（$A_{\alpha\beta}\in\mathrm{GL}_n$）の形にとれるとき、$E$ を構造群がアフィン線形のアフィン束といい、$A_{\alpha\beta}$ が定めるベクトル束をその線形部分という。$a_{\alpha\beta}=0$ にとれればベクトル束である。階数 $p$ のベクトル束 $E$ の枠の束 $P=\operatorname{Isom}(\mathcal O_X^p,E)$ は、$\mathrm{GL}_p$ が右から作用する主束で、$E$ が Zariski 局所自明なので $P$ も Zariski 局所自明である。直線束 $L$ から零切断を除いた空間を $L^\times$ と書く。

主束とトーサーの基本
  1. ベクトル束、その射影束と旗束（上の定理（射影束の基本）の (1)、定理（旗束の基本）の (4)）、枠の束はどれも Zariski 局所自明である。$X$ とファイバー $F$ が非特異なら、Zariski 局所自明なファイバー空間 $E$ は非特異で、$f$ の接写像は各点で全射である。
  2. 枠の束 $P$ について、$P/B\cong D(E)$（完全旗束）であり、$P/T$ は $E$ を順序のついた $p$ 個の直線束の直和に分解するしかたの空間である。$P/T$ の上の標準的な直線束を $\ell_1,\dots,\ell_p$ とすると、$P$ は $\ell_1^\times,\dots,\ell_p^\times$ の $P/T$ 上のファイバー積に同型である。
  3. アフィン多様体 $S$ の上の加法群 $\mathbf G_a$ のトーサー（主束）は自明である。$H^1(S,\mathcal O_S)=0$（Serre）による。
  4. $\mathrm{GL}_p$ のトーサーはエタール局所自明なら Zariski 局所自明である（Hilbert の定理 90）。

原論文の系 1（§6）の「局所自明」は、本書では Zariski 位相で読む。これは本書が足した仮定の一つで、主結果の札と頁の注意の両方に書く（本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』、本書『0-4 記号と約束』）。(4) のように Zariski 局所自明性が自動的に従う群を、Serre は同じセミナーの講演 Ser58fib「Espaces fibrés algébriques」で「spécial」と呼んだ（本書は該当箇所を確かめていない）。

  • 使いどころ：(1) は局所自明なファイバー空間の引き戻しの全射性（本書『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果 2）。(2)(3) と上の定理（一般線形群の Borel 群と単冪根基の列）の (3)(4) は、主束の環の計算で各段が Zariski 局所自明なアフィン束であることを三段で確かめる所（本書『4-3 アフィン束と主束』の主結果 4）。
  • 案内：主束、トーサー、Ser55（アフィン多様体の連接層のコホモロジーの消滅）、Bor56。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

  • スキームの言葉（1960〜1967 年）：EGA は代数多様体をスキームとして扱い直し、固有射・分離性・滑らかな射の基本をスキームの一般の設定で整えた。EGA II EGA2 の射影束 $\mathbb P(\mathcal E)$ は商を点とする規約で、本書の $P(E)$ は $\mathbb P(E^\vee)$ に当たる。
  • 代数空間（1969〜1971 年）：Artin Art71 はエタール同値関係による商として「代数空間」を導入した。語は原論文の「espace algébrique」と同じだが、別の対象である。
  • 特殊群の分類（1958 年）：Serre Ser58fib が導入した特殊群（トーサーが Zariski 局所自明になる群）は、Grothendieck が同じセミナーの後の講演 Gro58c で、代数的閉体上では半単純部分が $\mathrm{SL}_n$ と $\mathrm{Sp}_{2n}$ の積になる連結線形群として分類したとされる。
  • 簡約群の構造（1965 年）：Borel 群・放物型部分群・Bruhat 分解の理論は、Borel と Tits により一般の体の上の簡約群へ広げられた。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro58b である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。

本頁原論文印字頁
定義（代数的空間（本書の読み））§1 冒頭4-01
定理（固有射と分離性の基本）、定理（既約性と次元の基本）§1 のデータ b、式 (13)、注意 3°、§4 の証明4-02、4-09〜4-10、4-27〜4-28
定義（接空間と非特異点）、定理（Jacobi の判定法）、定義（射と部分多様体の横断性）§1 の横断性の定義4-05
定理（射影空間の基本）、定義（射影束と標準線束）、定理（射影束の基本）§2 の (14)〜(16 bis)、Proposition 4、§6 の注意4-11〜4-14、4-35
定義（Picard 群と直線束の類）§2 のデータ e4-10〜4-11
定義（旗多様体と旗束）、定理（旗束の基本）§3 の旗束の構成4-18〜4-19
定理（一般線形群の Borel 群と単冪根基の列）、定義（アフィン束と局所自明なファイバー空間）、定理（主束とトーサーの基本）§3 の注意 3°、§6 の系 1 と最後の注意4-24、4-34〜4-35

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