3-2 線形同値の理論

$z=Z(0)-Z(1)$、$Z=\sum n_W[W]$ を族とする。
段 1（制限）．$W$ ごとに $W_U:=W\cap(U\times\mathbf A^1)$ とおく。空でない $W_U$ は $W$ の稠密な開部分なので既約で、その $\mathbf A^1$ への像は $W$ の像の稠密な部分を含むから、$W_U$ はまた族の成分である。空の $W_U$ は落とす。$Z|_{U\times\mathbf A^1}=\sum n_W[W_U]$ は $U\times\mathbf A^1$ の上の族である。引用する事実 2 により、$W_U\cap(U\times\{t\})$ の成分は $W\cap(X\times\{t\})$ の成分 $C$ のうち $U\times\{t\}$ と交わるものの $C\cap(U\times\{t\})$ で、局所環 $\mathcal O_{W,C}$ と関数 $s-t$ は $W_U$ で考えても同じである。よって $W_U(t)=W(t)|_U$ で、$z|_U=(Z|_{U\times\mathbf A^1})(0)-(Z|_{U\times\mathbf A^1})(1)\in\operatorname{Lin}(U)$ である。
段 2（直像）．$Z$ は $Y\times\mathbf A^1$ の上の族で、$Y\times\mathbf A^1$ は $X\times\mathbf A^1$ の閉部分空間である。$Z$ の成分は $X\times\mathbf A^1$ の既約閉部分としても族の成分である。引用する事実 2 により、$W(t)$ は $W$ と関数 $s-t$ だけで決まるので、$Y\times\mathbf A^1$ の中で計算しても $X\times\mathbf A^1$ の中で計算しても同じサイクルである。よって $X$ 上のサイクルとして $z=Z(0)-Z(1)$ で、これは $\operatorname{Lin}(X)$ に属する。
段 3（直積）．$w=\sum m_{W'}[W']$ とする。引用する事実 3 により、$Z\times w=\sum n_Wm_{W'}[W\times W']$ は $X\times Y\times\mathbf A^1$ の上の族で、$(Z\times w)(t)=Z(t)\times w$ である。よって $z\times w=(Z\times w)(0)-(Z\times w)(1)$ である。$w\times z$ は、因子の入れ替え $Y\times X\cong X\times Y$ によるサイクルの移し替えで $z\times w$ から得られ、移し替えは族を族に、ファイバーをファイバーに移すので、これも $\operatorname{Lin}(Y\times X)$ に属する。
段 4（増大）．$W(t)$ の成分は $W$ の中で余次元 $1$ なので、次元は $\dim W-1$ である。$W(t)$ に $[X]$ が現れうるのは $\dim W=\dim X+1$、すなわち $W=X\times\mathbf A^1$ のときに限る（$X$ が既約なので $X\times\mathbf A^1$ は既約で、同じ次元の既約閉部分はそれ自身しかない）。$W=X\times\mathbf A^1$ なら $W\cap(X\times\{t\})=X\times\{t\}$ で、$s-t$ はその生成点での局所環の極大イデアルを生成するから位数は $1$、$W(t)=[X]$ である。よって $z=Z(0)-Z(1)$ の中の $[X]$ の係数は $n_{X\times\mathbf A^1}(1-1)=0$ である。

段 1（(V.3)）．引用する事実 1 そのものである。
段 2（データ）．開部分への同型 $f\colon U\to X$ の引き戻しは、同型 $U\cong f(U)$ によるサイクルの移し替えと、開部分 $f(U)$ への制限の合成である。閉部分への同型の直像も、移し替えと閉部分からの直像の合成である。移し替えは族を族に移すので $\operatorname{Lin}$ を保つ。上の補題（線形同値と基本操作の両立）の 1、2 により、引き戻しと直像は類の上で定まる。外積は、$z\sim z'$、$w\sim w'$ なら $z\times w-z'\times w'=(z-z')\times w+z'\times(w-w')$ で、補題の 3 によりこれは $\operatorname{Lin}(X\times Y)$ に属するので、類の上で定まる。増大は補題の 4 により類の上で定まる。関手則 $(gf)^*=f^*g^*$、$(gf)_*=g_*f_*$ は、既約閉部分の逆像と像についての集合の等式なので、サイクルの水準で成り立つ。
段 3（公理 (I.1)〜(I.7) と (2)）．どれも既約閉部分について確かめれば足りる。以下 $W$、$W'$、$W''$ は既約閉部分である。
(a) (I.1)：開部分への同型 $f$、$g$ について $(f\times g)^{-1}(W\times W')=f^{-1}(W)\times g^{-1}(W')$。閉部分への同型について $(f\times g)(W\times W')=f(W)\times g(W')$。
(b) (I.2)：$f\colon X\to Y$ が既約な空間の間の開部分への同型なら、$f^{-1}(W)=X$ となるのは $W=Y$ のときに限る（$W$ が閉で稠密な開部分 $f(X)$ を含めば $W=Y$）。よって $[Y]$ の係数と $[X]$ の係数は等しい。
(c) (I.3)：$X$、$Y$ が既約なら $X\times Y$ は既約（引用する事実 1）で、$W\times W'=X\times Y$ となるのは $W=X$ かつ $W'=Y$ のときに限る。
(d) (I.4)：$(W\times W')\times W''=W\times(W'\times W'')$。入れ替え $s$ は同型（閉部分への同型）で $s(W\times W')=W'\times W$。
(e) (I.5)(I.6)：一点 $\mathrm{pt}$ の上のサイクルは $n[\mathrm{pt}]$ の形で、$\mathrm{pt}\times\mathbf A^1=\mathbf A^1$ の上の族は $m[\mathbf A^1]$ の形なので $\operatorname{Lin}(\mathrm{pt})=0$ である（補題の段 4 の計算で $m[\mathrm{pt}]-m[\mathrm{pt}]=0$）。よって $\varepsilon\colon A(\mathrm{pt})\to\mathbf Z$、$\{n[\mathrm{pt}]\}\mapsto n$ は同型で、$1_{\mathrm{pt}}=\{[\mathrm{pt}]\}$。$W\times\mathrm{pt}=W$ から (I.6)。
(f) (I.7)：$X$ が互いに交わらない開部分 $X_1,\dots,X_n$ の和なら、既約閉部分 $W$ はちょうど一つの $X_a$ に含まれるので $\mathcal Z(X)=\bigoplus_a\mathcal Z(X_a)$ で、制限と直像は互いに逆である。族も同じく $X_a\times\mathbf A^1$ ごとに分かれるので $\operatorname{Lin}(X)=\bigoplus_a\operatorname{Lin}(X_a)$ で、類の上でも互いに逆の同型になる。同型 $f$ の $f^*$ と $f_*$ は移し替えとその逆である。
(g) (2)：$X$、$Y$ の既約成分を $X_a$、$Y_b$ とすると、$X\times Y$ の既約成分は $X_a\times Y_b$ なので $[X]\times[Y]=[X\times Y]$。開部分への同型 $f\colon U\to Y$ について $f^{-1}([Y])=[U]$（成分ごとに、空でない交わりだけが残る）。$X$ が既約なら $[X]$ の係数は $1$。
段 4（(BC)）．$i\colon Y\to X$ を閉部分への同型、$j\colon U\to X$ を開部分への同型とし、移し替えにより $Y\subset X$、$U\subset X$ とみる。$Y$ の既約閉部分 $W$ について、左辺は $j^*i_*\{W\}=\{W\cap U\}$、右辺は $(i_{Y\cap U})_*\,j_{Y\cap U}^*\{W\}=\{W\cap(Y\cap U)\}$ で、$W\subset Y$ なので $W\cap(Y\cap U)=W\cap U$ である。両辺の写像は段 2 により類の上で定まっているので、類の上でも等しい。$Y\cap U$ が空のときは右辺が意味をもたないが、左辺もサイクルの水準で $0$ である。

段 1（(Z) の代表のとり方）．$X$ を既約で非特異、次元 $n\ge1$ とし、$x=\{z\}$、$z=\sum n_W[W]$ を代表とする（$n_W\ne0$）。上の定理（線形同値の理論は弱い公理系と (BC) を満たす）の段 2 により $\varepsilon(x)$ は $z$ の中の $[X]$ の係数なので、$\varepsilon(x)=0$ ならどの $W$ も $X$ の真の既約閉部分である。
段 2（(Z) の $R$ と $H$）．$R_0$ を余次元 $2$ 以上の $W$ の和、$H_0$ を余次元 $1$ の $W$ の和とする。$H_0$ が空なら、$X$ の既約な閉超曲面を一つとって $H_0$ とする（$n\ge1$ なので、空でないアフィン開部分 $X_a$ の上の定数でない正則関数 $f$ と点 $p\in X_a$ について、$f-f(p)$ の零点の既約成分（Krull の主イデアル定理により余次元 $1$）の閉包としてとれる）。$R:=R_0\cup\operatorname{Sing}H_0$ とおくと、$R$ は閉で、本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理（既約性と次元の基本）の (3) により $\dim\operatorname{Sing}H_0< n-1$ なので $\dim R\le n-2$ である。$X'=X-R$、$H:=H_0\cap X'$ とおく。$H$ は $X'$ の閉部分で、その点はすべて $H_0$ の非特異点なので $H$ は非特異である。$H_0$ の各成分は次元 $n-1>\dim R$ なので $X'$ と交わり、$H$ は $X'$ の閉な非特異超曲面である。
段 3（(Z) の $x'$）．$x':=\{\sum_{\operatorname{codim}W=1}n_W[W\cap X']\}\in A(H)$ とおく（$W\cap X'$ は $H$ の既約閉部分）。余次元 $2$ 以上の $W$ は $R$ に含まれるので $X'$ への制限で消え、$j^*(z)=\sum_{\operatorname{codim}W=1}n_W[W\cap X']$ である。これは $x'$ の代表を $X'$ 上のサイクルとみたものなので、$j^*(x)=i_*(x')$ である。
段 4（(HD) の関数）．$X$ を既約で非特異、$Y$ を閉な非特異超曲面とし、有理関数 $g$ で $\operatorname{div}(g)=[Y]$ となるものがあるとする。引用する事実 4 により $g$ は正則で、その零点の集合は $Y$ である。$Y$ は空でないので $g$ は定数でない。$X_0:=X-\{g=-1\}$ は $Y$ を含む開部分で、$X_0$ の上で $1+g$ は可逆である。$t:=g/(1+g)$ は $X_0$ の上の正則関数である。
段 5（(HD) の族）．$\Gamma\subset X_0\times\mathbf A^1$ を $t$ のグラフとする。$\Gamma$ は $X_0\times\mathbf A^1$ の閉部分で、射影により $X_0$ と同型なので既約である。$\Gamma$ は $X\times\mathbf A^1$ でも閉である。実際、$X\times\mathbf A^1$ の上の正則関数 $\varphi=(1+g)s-g$ は $\Gamma$ の上で $0$ なので $\Gamma$ の閉包の上でも $0$ だが、$g(x)=-1$ となる点 $(x,c)$ では $\varphi(x,c)=0\cdot c+1=1\ne0$ である。よって閉包は $X_0\times\mathbf A^1$ に含まれ、$\Gamma$ に等しい。$t$ は定数でないので $\Gamma$ は族の成分である。
段 6（(HD) のファイバー）．引用する事実 2 により $\Gamma(c)$ は $\Gamma\cong X_0$ の上の関数 $s-c=t-c$ の零点のサイクルである。$c=0$ では $t=g\cdot(1+g)^{-1}$ で $(1+g)^{-1}$ は $X_0$ の上で可逆なので、引用する事実 4 により $\Gamma(0)=\operatorname{div}(g)|_{X_0}=[Y]$ である（$Y\subset X_0$）。$c=1$ では $t-1=-(1+g)^{-1}$ が $X_0$ の上で可逆なので零点が無く、$\Gamma(1)=0$ である。よって $[Y]=\Gamma(0)-\Gamma(1)\in\operatorname{Lin}(X)$ で、$i_*(1_Y)=\{[Y]\}=0$ である。

段 1（族の閉包）．仮定により、$U\times\mathbf A^1$ の上の族 $Z=\sum n_W[W]$ で $z|_U=Z(0)-Z(1)$ となるものがある。各 $W$ の $X\times\mathbf A^1$ での閉包を $\overline W$ とし、$\overline Z=\sum n_W[\overline W]$ とおく。$\overline W$ は既約で $W$ を含むので、$\mathbf A^1$ への射影はやはり支配的であり、$\overline Z$ は $X\times\mathbf A^1$ の上の族である。$W$ は $U\times\mathbf A^1$ で閉なので $\overline W\cap(U\times\mathbf A^1)=W$、すなわち $\overline Z|_{U\times\mathbf A^1}=Z$ である。
段 2（ファイバーの制限）．上の補題（線形同値と基本操作の両立）の段 1 の計算（引用する事実 2 の局所性）により、各 $t$ について $\overline Z(t)|_U=Z(t)$ である。
段 3（台）．$z':=z-(\overline Z(0)-\overline Z(1))$ とおくと、$z'$ は $z$ と線形同値で、段 2 により $z'|_U=z|_U-(Z(0)-Z(1))=0$ である。サイクルの制限が $0$ になるのは、その成分がすべて $U$ と交わらないとき、すなわち台が $X-U=Y$ に含まれるときに限る（本書『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定義（サイクルとその操作）の (2)）。

段 1（(E) の右端）．$X\in\mathcal V$、$Y$ を $X$ の閉部分で $Y\in\mathcal V$、$U=X-Y$ とする。$U$ 上のサイクルの各成分をその $X$ での閉包に替えたサイクルは、$U$ に制限すると元に戻るので、$j^*$ は全射である。
段 2（(E) の合成）．$Y$ の既約閉部分 $W$ は $U$ と交わらないので、$j^*i_*\{W\}=\{W\cap U\}=0$ である。よって $j^*i_*=0$ である。
段 3（(E) の中央）．$x=\{z\}\in A(X)$ が $j^*(x)=0$ を満たすとする。$z|_U\in\operatorname{Lin}(U)$ なので、上の定理（台の押し込み）により $z$ と線形同値で台が $Y$ に含まれるサイクル $z'$ がある。$X$ の既約閉部分で $Y$ に含まれるものは $Y$ の既約閉部分でもあるので、$z'$ は $Y$ 上のサイクル $z'_Y$ を $X$ 上のサイクルとみたものである。よって $x=\{z'\}=i_*\{z'_Y\}$ は $i_*$ の像に入る。段 1〜3 で (E) が成り立つ。
段 4（(H)）．上の定理（線形同値の理論は弱い公理系と (BC) を満たす）により、この理論は条件 (V.3)、§4 の弱い公理系、本書が足した仮定 (BC) を満たす。上の定理（補助公理の成立）により (Z)(HD) を満たし、段 1〜3 により (E) を満たす。したがって本書『3-1 完全性とホモトピーの公理』の主結果「完全性と補助公理からホモトピーへ」がこの理論に当てはまり、(H) が成り立つ。

段 1（Tor の交代和は零点のサイクル）．$T$ を非特異な曲線、$t\in T$ とし、$W\subset X\times T$ を既約で $T$ に支配的に射影する閉部分とする。$W\cap(X\times\{t\})$ の成分 $C$ での Serre の交叉重複度は、局所環 $\mathcal O_{T,t}$ の上で計算した $\sum_i(-1)^i\operatorname{length}\operatorname{Tor}_i^{\mathcal O_{T,t}}(\mathcal O_{W,C},k(t))$ である。$\mathcal O_{T,t}$ は離散付値環で、一意化元 $\pi$ による分解 $0\to\mathcal O_{T,t}\xrightarrow{\pi}\mathcal O_{T,t}\to k(t)\to0$ をもつ。$\mathcal O_{W,C}$ は整域で、$W$ が支配的なので $\pi$ はそこで $0$ でない。よって $\operatorname{Tor}_1$ は $\pi$ 倍の核で $0$、$\operatorname{Tor}_i=0$（$i\ge2$）、$\operatorname{Tor}_0=\mathcal O_{W,C}/(\pi)$ で、重複度は $\operatorname{ord}_C(\pi)$ である。$T=\mathbf A^1$ では $\pi=s-t$ で、非特異な $X$ では引用する事実 2 の式に一致する。したがって $X$ が非特異なら $A(X)$ は上の定義のものである。
段 2（1 の検証）．代数的空間の全体の圏は (V.3) を明らかに満たす。上の補題（線形同値と基本操作の両立）と定理（線形同値の理論は弱い公理系と (BC) を満たす）の証明で、非特異性を使ったのは、ファイバーのサイクルが局所的で、多様体と関数だけで決まり、積と両立するという引用する事実 2、3 と、単位元の計算で既約成分が互いに交わらないことだけである。前者は段 1 により関数の位数の性質（引用する事実 5）で置き換えられる。後者は、特異な $X$ では $1_X$ を既約成分の和 $[X]$ と定め、$X\times Y$ の既約成分が成分の積であること（本書『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理（既約性と次元の基本）の (1)）を使えば、(2) の検証はそのまま通る。(I.7) は、互いに交わらない開部分の和の既約閉部分がどれか一つに含まれることだけを使う。上の定理（補助公理の成立）は既約で非特異な $X$ についての主張で、段 1 によりそこでの $A(X)$ は変わらないので、そのまま成り立つ。上の定理（台の押し込み）と定理（線形同値の理論の完全性とホモトピー）の段 1〜3 は、閉包と局所性しか使わないので任意の $X$ で通る。前頁の Proposition 5 は (V.3) を満たす任意の圏についての命題で、(Z)(HD) を使うのは既約で非特異な空間に対してだけである。よって段 4 もそのまま通り、(E)(H) が成り立つ。
段 3（2 の検証）．$\operatorname{Alg}(X)$ の生成元 $Z(a)-Z(b)$ について、段 1 の $T$ での計算により $Z(a)$、$Z(b)$ はどちらも族の成分の上の一意化元の零点のサイクルである。補題の 1〜3 の証明は $\mathbf A^1$ を $T$ に、$0$、$1$ を $a$、$b$ に替えて通り、4 も同じ次元の勘定で通る（$X\times T$ 自身のファイバーは $a$ でも $b$ でも $[X]$）。よって弱い公理系と (BC) が成り立つ。$T=\mathbf A^1$、$a=0$、$b=1$ とすれば $\operatorname{Lin}(X)\subset\operatorname{Alg}(X)$ なので、(HD) は線形同値の場合から従い、(Z) の証明は代表のとり方と増大の定まり方しか使わない。台の押し込みは、$z|_U=\sum_k(Z_k(a_k)-Z_k(b_k))$ の各項の族を閉包に延ばせば同じ三段で通り、(E) が出る。前頁の Proposition 5 により (H) が出る。