1-2 横断的な底変換と射影公式

段 1（局所方程式）．$b$ は $Y$ と $Y'$ の非特異点なので、引用する事実 1 (b) により、$b$ の近傍で $Y'$ のイデアルは、微分 $dg_1(b),\dots,dg_r(b)$ が一次独立な関数 $g_1,\dots,g_r$ で生成される。引用する事実 1 (a) により $T_bY'=\bigcap_i\ker dg_i(b)$ である。
段 2（横断性の言い換え）．線形写像 $\theta\colon T_bY\to k^r$、$w\mapsto(dg_i(b)(w))_i$ は、微分が一次独立なので全射で、核は $T_bY'$ である。したがって条件 $T_bY=T_bY'+df_x(T_xX)$ は、$\theta\circ df_x\colon T_xX\to k^r$ が全射であることと同値である。$\theta\circ df_x$ の成分は $d(g_i\circ f)_x=dg_i(b)\circ df_x$ なので、これは $d(g_1\circ f)_x,\dots,d(g_r\circ f)_x$ が $(T_xX)^\vee$ で一次独立であることと同値である。
段 3（Jacobi の判定法の適用）．$x$ は $X$ の非特異点なので、引用する事実 1 (a) を関数 $g_i\circ f$ に当てると、$x$ の近傍で部分スキーム $V(g_1\circ f,\dots,g_r\circ f)$ は非特異・被約で余次元 $r$、接空間は $\bigcap_i\ker d(g_i\circ f)_x=(df_x)^{-1}(\bigcap_i\ker dg_i(b))=(df_x)^{-1}(T_bY')$ である。スキームとしての逆像 $X\times_YY'$ は、$x$ の近傍では $Y'$ のイデアルの生成元の引き戻し $g_i\circ f$ で定まるので、この部分スキームそのものである。それが被約なので、被約な閉部分 $f^{-1}(Y')$ と一致する。これで 1〜3 を得る。

段 1（点の条件）．$q'$ は $W'$ の非特異点である（$h\circ u$ の横断性）。$q$ は $W$ の非特異点である（$h$ の横断性）。上の定理（横断的な逆像）の 1 により、$h^{-1}(N)$ は $q$ の近傍で非特異なので、$q$ は $h^{-1}(N)$ の非特異点である。
段 2（接空間の条件）．上の定理の 2 により $T_q(h^{-1}N)=(dh_q)^{-1}(T_{h(q)}N)$ である。$w\in T_qW$ をとる。$h\circ u$ の横断性により $dh_q(w)=n+d(h\circ u)_{q'}(w')$ となる $n\in T_{h(q)}N$、$w'\in T_{q'}W'$ がある。すると $dh_q(w-du_{q'}(w'))=n\in T_{h(q)}N$ だから $w-du_{q'}(w')\in T_q(h^{-1}N)$。よって $T_qW=T_q(h^{-1}N)+du_{q'}(T_{q'}W')$ である。

点の条件．引用する事実 2 により、$(x,y)$ が $X\times Y$ の非特異点であることは $x$、$y$ が非特異点であることと同値である。$\Delta_S\cong S$ なので、$(s,s)$ が $\Delta_S$ の非特異点であることも、$S\times S$ の非特異点であることも、$s$ が非特異点であることと同値である。
接空間の条件．引用する事実 2 により $T_{(s,s)}(S\times S)=T_sS\oplus T_sS$、$T_{(s,s)}\Delta_S=\{(w,w)\}$、$d(f\times g)$ の像は $df_x(T_xX)\oplus dg_y(T_yY)$ である。任意の $(a,b)\in T_sS\oplus T_sS$ が $(w,w)+(v_1,v_2)$（$v_1\in df_x(T_xX)$、$v_2\in dg_y(T_yY)$）と書けることは、任意の $a-b$ が $v_1-v_2$ と書けること、すなわち $T_sS=df_x(T_xX)+dg_y(T_yY)$ と同値である（$w=a-v_1$ とおけばよい）。

段 1（相対外積の二つの書き方）．$i'\colon X'\times_SY'\to X'\times Y'$ を包含とする。本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「外積と積の関係」の 3 により $x'\times y'=\mathrm{pr}_1^*(x')\,\mathrm{pr}_2^*(y')$ で、同じ頁の定理「可換環の構造」の 2 により $i'^*$ は環準同型だから、$i'^*(x'\times y')=(\mathrm{pr}_1i')^*(x')\,(\mathrm{pr}_2i')^*(y')=\varphi'^*(x')\,\psi'^*(y')$ である。定義（横断的なファイバー積）の二つの式はこれで一致する。
段 2（逆像の一致）．$(x',y')\in X'\times Y'$ が $(u\times v)^{-1}(Z)$ に入ることは $f(u(x'))=g(v(y'))$、すなわち $f'(x')=g'(y')$ と同値である。よって被約な閉部分として $(u\times v)^{-1}(Z)=X'\times_SY'$ である。
段 3（横断性）．$h=f\times g\colon X\times Y\to S\times S$ とおくと $h\circ(u\times v)=f'\times g'$ である。$q'\in X'\times_SY'$ をとり $q=(u\times v)(q')$ とする。仮定 1 により $h\circ(u\times v)$ は $q'$ で $\Delta_S$ に横断的、仮定 2 により $h$ は $q$ で $\Delta_S$ に横断的である。上の補題（横断性の遺伝）により、$u\times v$ は $q'$ で $Z=h^{-1}(\Delta_S)$ に横断的である。$q'$ は任意なので、$u\times v$ は $Z$ に横断的である。
段 4（固有性）．引用する事実 3 により $u\times v$ は固有で、段 2 により $u\times_Sv$ はその閉部分の逆像への制限なので固有である。
段 5（(I.8) の適用）．(I.8) を固有射 $u\times v\colon X'\times Y'\to X\times Y$ と閉部分 $Z\in\mathcal V$ に当てる。段 2・段 3 により逆像は $X'\times_SY'\in\mathcal V$ で、横断性も成り立つ。よって $i^*(u\times v)_*=(u\times_Sv)_*i'^*$。これを $x'\times y'$ に当てると、(I.1) により左辺は $i^*(u_*x'\times v_*y')=u_*(x')\times_Sv_*(y')$、右辺は段 1 により $(u\times_Sv)_*(x'\times_Sy')$ である。

段 1（グラフ）．$\Gamma:=\{(g(y),y)\mid y\in Y\}\subset S\times Y$ は $g$ のグラフ（因子の順を入れ替えたもの）で、引用する事実 3 により閉部分であり、射影 $\pi\colon\Gamma\to Y$ は同型である。よって $\Gamma\in\mathcal V$（(V.1)）。$\Gamma=(\mathrm{id}_S\times g)^{-1}(\Delta_S)$ である。$\varphi_\Gamma\colon\Gamma\to S$ を第 1 射影の制限とすると $\varphi_\Gamma=g\circ\pi$。
段 2（弱い横断条件）．上の定理（横断的なファイバー積での直像）を次の割り当てで使う：底 $S$ はそのまま、$X$ の役に $S$（射 $\mathrm{id}_S$）、$Y$ の役に $Y$（射 $g$）、$X'$ の役に $X$、$Y'$ の役に $Y$、$u$ の役に $f$、$v$ の役に $\mathrm{id}_Y$。すると $f'=\mathrm{id}_S\circ f=f$、$g'=g\circ\mathrm{id}_Y=g$ で、仮定 1 は $f\times g$ の横断性と $X\times_SY\in\mathcal V$ そのものである。仮定 2 の $Z$ は $\Gamma$ で、$\Gamma\in\mathcal V$。$\Gamma$ の点で $(f\times\mathrm{id}_Y)(X\times Y)$ に入るものは、ある $x$ で $(g(y),y)=(f(x),y)$、すなわち $(x,y)\in X\times_SY$ となる点である。上の補題（対角への横断性の言い換え）を $f\times g$ に当てると、$x$、$y$、$s=f(x)=g(y)$ は非特異点である。同じ補題を $\mathrm{id}_S\times g$ の点 $(s,y)$ に当てると、要る条件は $s$、$y$ が非特異点であることと $T_sS=T_sS+dg_y(T_yY)$ で、後者は自明に成り立つ。よって仮定 2 が成り立つ。
段 3（公式の読み替え）．この割り当てで $X'\times_SY'$ は $X\times_SY$、その射影は $\varphi,\psi$、$u\times_Sv$ は $f\times_S\mathrm{id}\colon X\times_SY\to\Gamma$、$(x,y)\mapsto(f(x),y)$ である。上の定理を $x'=x\in A(X)$、$y'=1_Y$ に当てる。左辺は $x\times_S1_Y=\varphi^*(x)\,\psi^*(1_Y)=\varphi^*(x)$（本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「単位元と外積の基本式」の 2）の直像、右辺は $\Gamma$ の上の $f_*(x)\times_S1_Y=\varphi_\Gamma^*(f_*x)$ なので、
$$(f\times_S\mathrm{id})_*\varphi^*(x)=\varphi_\Gamma^*f_*(x)=\pi^*g^*f_*(x).$$
段 2 の定理の主張に含まれるとおり $f\times_S\mathrm{id}$ は固有である。
段 4（同型で戻す）．$\pi\circ(f\times_S\mathrm{id})=\psi$ なので、$\psi$ は固有である。段 3 の式に $\pi_*$ を当てると、$\pi$ は同型なので (I.7) により $\pi_*\pi^*=\mathrm{id}$ で、$\psi_*\varphi^*(x)=\pi_*\pi^*g^*f_*(x)=g^*f_*(x)$ を得る。

段 1（横断性）．上の定理（横断的な底変換公式）を、底 $Y$、固有射 $i\colon Y'\to Y$（閉埋め込み）、射 $f\colon X\to Y$ に当てる。$i\times f$ の $\Delta_Y$ への横断性を、点 $(y',x)$（$y'=f(x)$）で上の補題（対角への横断性の言い換え）により確かめる。$f$ の $Y'$ への横断性により、$x$ は $X$ の、$y'$ は $Y'$ と $Y$ の非特異点で、$T_{y'}Y=T_{y'}Y'+df_x(T_xX)$ である。$di(T_{y'}Y')=T_{y'}Y'$ なので、これは補題の条件そのものである。
段 2（ファイバー積）．$Y'\times_YX=\{(f(x),x)\mid x\in X'\}$ で、$\tau\colon X'\to Y'\times_YX$、$x\mapsto(f(x),x)$ は同型（逆は $\psi$ の制限）である。よって $Y'\times_YX\in\mathcal V$（(V.1)）で、$\varphi\circ\tau=f'$、$\psi\circ\tau=j$。
段 3（公式）．底変換公式により $f^*i_*=\psi_*\varphi^*$。(I.7) により $\tau_*\tau^*=\mathrm{id}$ なので $\psi_*\varphi^*=\psi_*\tau_*\tau^*\varphi^*=(\psi\tau)_*(\varphi\tau)^*=j_*f'^*$。これで 1 を得る。1 を $1_{Y'}$ に当て、$f'^*(1_{Y'})=1_{X'}$（本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「単位元と外積の基本式」）を使うと 2 を得る。

段 1（横断性）．上の定理（横断的な底変換公式）を、底 $Y$、固有射 $f\colon X\to Y$、射 $i\colon Y'\to Y$ に当てる。点 $(x,y')$（$f(x)=y'$）で、$x$ は $X$ の、$y'$ は $Y$ と開部分 $Y'$ の非特異点である。$Y'$ は開部分なので $di(T_{y'}Y')=T_{y'}Y$ で、上の補題（対角への横断性の言い換え）の条件 $T_{y'}Y=df_x(T_xX)+T_{y'}Y$ は自明に成り立つ。
段 2（ファイバー積と公式）．$X\times_YY'=\{(x,f(x))\mid x\in X'\}$ で、$\tau\colon X'\to X\times_YY'$、$x\mapsto(x,f(x))$ は同型である。よって $X\times_YY'\in\mathcal V$、$\varphi\circ\tau=j$、$\psi\circ\tau=f'$。底変換公式と (I.7) により $i^*f_*=\psi_*\varphi^*=\psi_*\tau_*\tau^*\varphi^*=f'_*j^*$。$f'$ は固有射の開部分の逆像への制限なので固有である（引用する事実 3）。

段 1（割り当て）．上の定理（横断的な底変換公式）を、底 $S=Y\times Y$、固有射 $F=f\times\mathrm{id}_Y\colon X\times Y\to Y\times Y$（引用する事実 3）、射 $\delta=\Delta_Y\colon Y\to Y\times Y$ に当てる。$X\times Y$、$Y\times Y$ は (V.1) により $\mathcal V$ に属する。
段 2（横断性）．$F\times\delta$ が対角に横断的であることを、上の補題（対角への横断性の言い換え）で確かめる。点は $((x,y),y')$ で $(f(x),y)=(y',y')$、すなわち $y=y'=f(x)$ となるものである。$X$、$Y$ は非特異なので点の条件は満たされる。接空間の条件は $T_{(y,y)}(Y\times Y)=dF(T_{(x,y)}(X\times Y))+d\delta(T_yY)$ で、右辺の第 1 項は $df_x(T_xX)\oplus T_yY\supset0\oplus T_yY$、第 2 項は $\{(w,w)\}$ なので、二つで $T_yY\oplus T_yY$ を張る。
段 3（ファイバー積）．$(X\times Y)\times_{Y\times Y}Y=\{((x,f(x)),f(x))\}$ で、$\tau\colon X\to(X\times Y)\times_{Y\times Y}Y$、$x\mapsto((x,f(x)),f(x))$ は同型である。よってファイバー積は $\mathcal V$ に属し、$\varphi\circ\tau=\gamma_f:=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times Y$、$\psi\circ\tau=f$。底変換公式と (I.7) により $\delta^*F_*=\psi_*\varphi^*=f_*\gamma_f^*$。
段 4（外積に当てる）．$x\times y$ に当てる。左辺は (I.1) と $\mathrm{id}_*=\mathrm{id}$ により $\delta^*(f_*x\times y)=f_*(x)\,y$（積の定義）。右辺は、本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「外積と積の関係」の 3 と、$\gamma_f^*$ が環準同型であること、$\mathrm{pr}_1\gamma_f=\mathrm{id}_X$、$\mathrm{pr}_2\gamma_f=f$ から $f_*\gamma_f^*(\mathrm{pr}_1^*x\,\mathrm{pr}_2^*y)=f_*(x\,f^*y)$。
段 5（(I.9) を使っていないこと）．使ったのは底変換公式、(I.1)、(I.7) と、本書『1-1 データと公理と積の構造』の結果だけで、底変換公式の証明は (I.1)〜(I.8) にしか依らない。環が可換なので $x\,f^*(y)=f^*(y)\,x$ で、(I.9) の形になる。

段 1（外積の類）．$i\colon Y\to X$、$i'\colon Y'\to X$ を包含とする。(I.1) と $1_Y\times1_{Y'}=1_{Y\times Y'}$（本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「単位元と外積の基本式」）により
$$[Y]\times[Y']=(i\times i')_*(1_Y\times1_{Y'})=(i\times i')_*(1_{Y\times Y'})=[Y\times Y']_{X\times X}.$$
$Y\times Y'\in\mathcal V$ は (V.1) による。
段 2（対角への引き戻し）．仮定により $\Delta_X$ は $Y\times Y'$ に横断的で、$\Delta_X^{-1}(Y\times Y')=Y\cap Y'\in\mathcal V$ である。上の定理（横断的な引き戻しと部分空間の類）の 2 を $\Delta_X$ に当てると $\Delta_X^*[Y\times Y']=[Y\cap Y']$。段 1 と積の定義から $[Y][Y']=\Delta_X^*([Y]\times[Y'])=[Y\cap Y']$。

段 1（固有性とグラフ）．引用する事実 3 により、$Y$ が完備なので $\mathrm{pr}_1\colon X\times Y\to X$ は固有、$Y$ が分離的なので $\gamma_f=(\mathrm{id}_X,f)\colon X\to X\times Y$ は閉埋め込みで、像 $\Gamma_f$ は $X$ と同型である。よって $\Gamma_f\in\mathcal V$（(V.1)）で、$\gamma_f$ は固有である。
段 2（グラフの類）．$\gamma_f=\iota\circ\gamma$（$\gamma\colon X\to\Gamma_f$ は同型、$\iota\colon\Gamma_f\to X\times Y$ は包含）と分けると、同型に沿う単位元の直像により $\gamma_*(1_X)=1_{\Gamma_f}$ なので、$\gamma_{f*}(1_X)=\iota_*(1_{\Gamma_f})=[\Gamma_f]$。
段 3（射影公式）．本書『1-1 データと公理と積の構造』の定理「単位元と外積の基本式」の 3 により $1_X\times y=\mathrm{pr}_2^*(y)$。(I.9) を固有射 $\gamma_f$ に当てると
$$[\Gamma_f]\cdot\mathrm{pr}_2^*(y)=\gamma_{f*}(1_X)\,\mathrm{pr}_2^*(y)=\gamma_{f*}\bigl(\gamma_f^*\mathrm{pr}_2^*(y)\cdot1_X\bigr)=\gamma_{f*}\bigl(f^*(y)\bigr),$$
最後は $\mathrm{pr}_2\circ\gamma_f=f$ による。
段 4（射影で戻す）．$\mathrm{pr}_1\circ\gamma_f=\mathrm{id}_X$ なので、直像の関手性により $\mathrm{pr}_{1*}\gamma_{f*}=\mathrm{id}$。段 3 の式に $\mathrm{pr}_{1*}$ を当てて主張を得る。