1-1 整数と多項式から環へ
整数では足し算・引き算・掛け算ができます。多項式でも同じです。一方、時計の時刻のように「$n$ で割った余り」だけを記録しても、この三つの演算は矛盾なくできます。これらに共通する計算規則を取り出したものが環です。
余りの計算は代表元によらない
$\mathbb Z/n\mathbb Z$ の元を $[a]$ と書き、整数 $a$ の $n$ で割った余りの類を表すことにします。
$$
[a]+[b]=[a+b],
\qquad
[a][b]=[ab]
$$
と定めたいのですが、同じ類には $a,a+n,a+2n,\ldots$ という多くの代表元があります。
$a\equiv a'\pmod n$、$b\equiv b'\pmod n$ なら
$$
a+b\equiv a'+b'\pmod n,
\qquad
ab\equiv a'b'\pmod n.
$$
従って上の加法と乗法は代表元の選び方によらない。
ある整数 $r,s$ により
$$
a-a'=rn,
\qquad b-b'=sn
$$
と書けます。すると
$$
(a+b)-(a'+b')=(r+s)n
$$
なので和は合同です。また
$$
ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')
=asn+b'rn=(as+b'r)n
$$
なので積も合同です。従って代表元を替えても結果の類は同じです。□
この例では「足し算について群」「掛け算は結合的」「掛け算は足し算へ分配的」という三種類の規則が同時に働いています。
環の定義
集合 $R$ に加法 $+$ と乗法があり、次を満たすとき $R$ を環という。
- $(R,+)$ は可換群である。加法単位元を $0$、$a$ の加法逆元を $-a$ と書く。
- 乗法は結合的である：$(ab)c=a(bc)$。
- 乗法単位元 $1$ がある：$1a=a1=a$。
- 左右の分配法則が成り立つ：
$$a(b+c)=ab+ac,\qquad(a+b)c=ac+bc.$$
さらに $ab=ba$ が常に成り立つとき可換環という。
本書では単位元をもつ環だけを扱い、環準同型も単位元を保つものとします。第3章以降、特に断らない限り環は可換環で $0\ne1$ とします。行列環のような非可換例を扱うときは明記します。
最初の例と非例
- $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ は通常の演算で可換環です。
- $\mathbb Z/n\mathbb Z$ は剰余類の演算で可換環です。
- 可換環 $R$ を係数とする形式的多項式環 $R[x]$ は可換環です。
- $n\times n$ 行列全体 $M_n(R)$ は環ですが、$n\ge2$ では一般に非可換です。
- 正整数全体は $0$ と加法逆元を含まないため環ではありません。
- 奇数全体は加法で閉じていないため環ではありません。
行列の非可換性は、たとえば
$$ A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} $$
で見えます。
$$ AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad BA=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}, $$
なので $AB\ne BA$ です。
公理から従う基本恒等式
高校までの計算で当然に使ってきた符号規則は、実は環の公理から証明できます。
任意の環 $R$ と $a,b\in R$ に対し
$$
0a=a0=0,
$$
$$
(-a)b=-(ab),\qquad a(-b)=-(ab),
$$
$$
(-a)(-b)=ab
$$
が成り立つ。
分配法則から
$$
0a=(0+0)a=0a+0a.
$$
両辺に $-(0a)$ を加えると $0=0a$。同様に $a0=0$ です。
次に
$$
ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0.
$$
従って $(-a)b$ は $ab$ の加法逆元であり、加法逆元の一意性から
$$
(-a)b=-(ab).
$$
同様に $a(-b)=-(ab)$。最後に前二式を順に使うと
$$
(-a)(-b)=-\bigl(a(-b)\bigr)
=-(-(ab))=ab.
$$
□
この証明は数の大小や小数表示を一切使っていません。公理を満たすどの環でも同じ符号計算が使えます。抽象化の最初の「元が取れる」瞬間です。
部分環と直積
環 $R$ の部分集合 $S$ が同じ $0,1$ を含み、加法・加法逆元・乗法で閉じているとき、$S$ を $R$ の部分環という。
たとえば $\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$ は部分環の列です。一方 $2\mathbb Z$ は加法と乗法で閉じていますが、$\mathbb Z$ と同じ乗法単位元1を含まないので、本書の約束では $\mathbb Z$ の部分環ではありません。
環 $R,S$ に対して直積集合 $R\times S$ に
$$
(r,s)+(r',s')=(r+r',s+s'),
$$
$$
(r,s)(r',s')=(rr',ss')
$$
と定めると環になります。零元は $(0,0)$、単位元は $(1,1)$。各公理は成分ごとの公理から従います。
$\mathbb Z/6\mathbb Z$ の計算表
乗法表は次のとおりです。
| $\cdot$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
ここでは $[2][3]=[0]$ となります。整数では非零数どうしの積は非零でしたが、剰余環では事情が違います。この差を次章で単元・零因子・整域という言葉にします。
任意の環で $(-1)a=-a$ と $(-1)(-1)=1$ を示せ。
基本恒等式へ $a=1,b=a$ を代入すると
$$
(-1)a=-(1a)=-a.
$$
さらに $a=b=1$ を代入すると
$$
(-1)(-1)=1\cdot1=1.
$$
□
$$
\mathbb Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb Z\}
$$
が $\mathbb R$ の部分環であることを示せ。
$0=0+0\sqrt2$ と $1=1+0\sqrt2$ を含みます。二元 $a+b\sqrt2,c+d\sqrt2$ に対し
$$
(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)=(a+c)+(b+d)\sqrt2,
$$
$$
-(a+b\sqrt2)=(-a)+(-b)\sqrt2,
$$
$$
(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2.
$$
右辺の係数はすべて整数なので、加法・逆元・乗法で閉じています。従って部分環です。□
環 $R\times S$ で $e=(1,0)$ が $e^2=e$ を満たすことを示せ。また $e\ne0,1$ となる条件を述べよ。
成分ごとの積から
$$
e^2=(1,0)(1,0)=(1,0)=e.
$$
$R,S$ がともに零環でない、すなわち各々で $0\ne1$ なら
$$
(1,0)\ne(0,0),\qquad(1,0)\ne(1,1).
$$
このように $e^2=e$ を満たす元を冪等元といい、直積分解を検出する手掛かりになります。□
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