3-1 商環と第一同型定理
整数を $n$ で割った余りだけを見るとき、差が $n\mathbb Z$ に入る整数を同一視しました。同じ操作は任意の環とイデアルで行えます。イデアルの吸収性こそ、積が代表元によらず定まる理由です。
加法剰余類
環 $R$ とイデアル $I\triangleleft R$ を取ります。$a,b\in R$ に対し
$$
a\sim b\quad\Longleftrightarrow\quad a-b\in I
$$
と定めます。これは同値関係です。
- $a-a=0\in I$ なので反射的。
- $a-b\in I$ なら $b-a=-(a-b)\in I$ なので対称的。
- $a-b,b-c\in I$ なら $a-c=(a-b)+(b-c)\in I$ なので推移的。
$a$ の同値類は
$$ a+I=\{a+x:x\in I\} $$
で、加法群における剰余類です。
剰余類全体
$$
R/I=\{a+I:a\in R\}
$$
に
$$
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,
$$
$$
(a+I)(b+I)=ab+I
$$
と定めた環を商環という。
積が代表元によらないこと
$a+I=a'+I$、$b+I=b'+I$ なら
$$
(a+b)+I=(a'+b')+I,
$$
$$
ab+I=a'b'+I.
$$
剰余類が等しいことから
$$
a-a'\in I,
\qquad b-b'\in I.
$$
従って
$$
(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')\in I,
$$
なので和の類は等しいです。
積については
$$
ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a').
$$
$I$ はイデアルなので、$b-b',a-a'\in I$ へ環の元 $a,b'$ を掛けた二項も $I$ に入り、その和も $I$ に入ります。従って積の類も等しいです。□
環公理は代表元で計算すれば $R$ の環公理から従います。零元は $0+I=I$、単位元は $1+I$、$a+I$ の加法逆元は $-a+I$ です。
$I=R$ のとき $R/I$ は一元だけの零環になり $0=1$ です。本書では通常の環について $0\ne1$ を仮定しますが、商構成の退化した結果として零環を認めます。真のイデアル $I$ なら $1\notin I$ なので $R/I$ でも $0\ne1$ です。
標準射影
写像
$$
\pi:R\to R/I,
\qquad a\mapsto a+I
$$
を標準射影といいます。
$\pi$ は全射環準同型で
$$
\ker\pi=I.
$$
商環の演算の定義から
$$
\pi(a+b)=\pi(a)+\pi(b),
\quad
\pi(ab)=\pi(a)\pi(b),
\quad
\pi(1)=1+I
$$
なので環準同型です。すべての剰余類は $a+I=\pi(a)$ の形なので全射です。また
$$
\pi(a)=0+I
\Longleftrightarrow a+I=I
\Longleftrightarrow a\in I.
$$
従って核は $I$ です。□
任意のイデアルは、この標準射影の核として実現されます。「環準同型の核」と「イデアル」は同じ構造を二方向から見たものです。
第一同型定理
環準同型 $\varphi:R\to S$ に対し、写像
$$
\overline\varphi:R/\ker\varphi\to\operatorname{im}\varphi,
\qquad
a+\ker\varphi\mapsto\varphi(a)
$$
は環同型である。従って
$$
R/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi.
$$
まずwell-defined性を示します。$a+\ker\varphi=b+\ker\varphi$ なら
$$
a-b\in\ker\varphi,
$$
従って
$$
0=\varphi(a-b)=\varphi(a)-\varphi(b)
$$
なので $\varphi(a)=\varphi(b)$。よって代表元によらず定まります。
環準同型性は
$$
\overline\varphi((a+K)+(b+K))
=\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),
$$
$$
\overline\varphi((a+K)(b+K))
=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)
$$
から従います。ここで $K=\ker\varphi$ と書きました。像の任意の元は $\varphi(a)$ の形なので全射です。
$\overline\varphi(a+K)=0$ なら $\varphi(a)=0$、すなわち $a\in K$。従って $a+K=K$ は商環の零元で、核は自明です。よって単射でもあり、環同型です。□
例1：整数の合同式
剰余写像 $\pi_n:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$ の核は $n\mathbb Z$、像は全体です。第一同型定理は
$$
\mathbb Z/n\mathbb Z
\cong\operatorname{im}\pi_n
$$
を与えます。左辺の記号が「整数環をイデアル $(n)$ で割った商」であることが明確になります。
例2：$\mathbb R[x]/(x^2+1)$
評価写像
$$
\varphi:\mathbb R[x]\to\mathbb C,
\qquad f(x)\mapsto f(i)
$$
を考えます。任意の $a+bi\in\mathbb C$ は一次式 $a+bx$ の像なので全射です。
除法算法により任意の $f(x)$ は
$$
f(x)=q(x)(x^2+1)+(ax+b)
$$
と一意に書けます。$f(i)=0$ なら
$$
ai+b=0.
$$
$a,b$ は実数なので実部・虚部を比較して $a=b=0$。従って剰余が0で
$$
\ker\varphi=(x^2+1).
$$
第一同型定理から
$$
\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C.
$$
商環では $x^2+1=0$、つまり $x^2=-1$ という関係が課されています。複素数の $i$ は、実係数多項式環にこの関係を加えて作れるわけです。
商を通る写像
$I\triangleleft R$ と環準同型 $f:R\to S$ に対し、$I\subset\ker f$ なら一意な環準同型
$$
\widetilde f:R/I\to S
$$
が存在して $f=\widetilde f\circ\pi$ となる。
$$
\widetilde f(a+I)=f(a)
$$
と定めます。$a+I=b+I$ なら $a-b\in I\subset\ker f$ なので $f(a)=f(b)$。従ってwell-definedです。和・積・単位元を保つことは $f$ が準同型であることから直ちに計算できます。また
$$
(\widetilde f\circ\pi)(a)=\widetilde f(a+I)=f(a).
$$
最後に $\pi$ は全射なので、$f=\widetilde f\circ\pi$ を満たす $\widetilde f$ の値は全剰余類上でこの式により強制され、一意です。□
体 $K$ と $c\in K$ に対し
$$
K[x]/(x-c)\cong K
$$
を示せ。
評価写像 $\operatorname{ev}_c:K[x]\to K$ は全射で、因数定理から核は $(x-c)$ です。環の第一同型定理により
$$
K[x]/(x-c)
\cong\operatorname{im}(\operatorname{ev}_c)=K.
$$
□
写像
$$
\varphi:\mathbb Z[x]\to\mathbb Z/2\mathbb Z,
\qquad f(x)\mapsto[f(0)]
$$
の核が $(2,x)$ であることを示し、商環を求めよ。
$f(x)=a_0+xg(x)$ と書けます。$\varphi(f)=0$ であることは定数項 $a_0$ が偶数、すなわち $a_0=2m$ と書けることと同値です。このとき
$$
f(x)=2m+xg(x)\in(2,x).
$$
逆に $(2,x)$ の元は $2u(x)+xv(x)$ の形で、$x=0$ を代入すると偶数なので核に入ります。従って核は $(2,x)$。写像は定数多項式で全射なので第一同型定理から
$$
\mathbb Z[x]/(2,x)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z.
$$
□
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ から $\mathbb Z/3\mathbb Z$ へ $[a]_{12}\mapsto[a]_3$ と送る写像がwell-definedな全射環準同型であることを示し、その核を求めよ。
$a\equiv b\pmod{12}$ なら $12\mid a-b$ で、$3\mid12$ だから $3\mid a-b$。従って $[a]_3=[b]_3$ でwell-definedです。和・積・1を保ち、各 $[r]_3$ は $[r]_{12}$ の像なので全射です。
核は3の倍数となる剰余類
$$
\{[0]_{12},[3]_{12},[6]_{12},[9]_{12}\}
$$
で、$\mathbb Z/12\mathbb Z$ のイデアル $([3]_{12})$ です。□
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